湖北省武漢市華科附中、吳家山中學(xué)等五校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

湖北省武漢市華科附中、吳家山中學(xué)等五校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知一個圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（）A. B.C. D.3．設(shè)為坐標原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（）A. B.C. D.4．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.5．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.6．設(shè)命題，則為A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.528．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.9．一條直線過原點和點，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.10．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.11．設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動棱長為一個單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.12．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.63二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請?zhí)钏姓_命題的序號）14．動直線，恒過的定點是________15．點到直線的距離為______.16．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點.（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式及前10項和；（2）等比數(shù)列滿足，，求和：19．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值20．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點（1，-1）.（1）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（2）過拋物線C上一動點P作圓M：的一條切線，切點為A，求切線長|PA|的最小值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與在x=1處的切線平行，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B2、C【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.3、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標，準線方程為，再由可求得點的橫坐標為4，從而可求出點的縱坐標，進而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標，準線方程為，因為為拋物線上一點，，所以點的橫坐標為4，當(dāng)時，，所以，所以的面積為，故選：D4、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C5、A【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根式的運算，確定的大小關(guān)系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.6、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C.7、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A8、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.9、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.10、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.11、C【解析】確定正方體投影面積最大時,是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時，是投影面與平面AB'C平行，三個面的投影為兩個全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構(gòu)成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C12、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對，③錯；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時，G′（x）＜0，當(dāng)x時，G′（x）＞0，則當(dāng)x時，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.14、【解析】將直線方程轉(zhuǎn)化為，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點（2，2）故答案為：15、【解析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故答案為：.16、【解析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨立等式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接EC，設(shè)EB與AC相交于點O，結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進而可證得結(jié)論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：連接EC，設(shè)EB與AC相交于點O，如圖，因為BC//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O(shè)為EB的中點，又因為G為PB的中點，所以O(shè)G為△PBE的中位線，即OG∥PE，因為OG平面PEF，PE?平面PEF，所以O(shè)G//平面PEF，因為E，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點，所以EF//AC，因為AC平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因為OG?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因為PF?平面PEF，所以PF//平面GAC.【小問2詳解】因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因為AB⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設(shè)平面ACG的法向量為，則，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，設(shè)直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.18、（1），175（2）【解析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式先求出公差，然后結(jié)合通項公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，然后結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式可求【小問1詳解】解：等差數(shù)列滿足，，所以，，；【小問2詳解】解：因為等比數(shù)列滿足，，所以或（舍去），由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1），焦點坐標為；（2）【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）設(shè)出點坐標，根據(jù)切線垂直于半徑，根據(jù)點到點距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最小值.【小問1詳解】解：因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為；【小問2詳解】解：設(shè)，因為為圓的切線，所以，，所以，所以當(dāng)時，四邊形有最小值且最小值為.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線平行求出a，即可求出切線方程；（2）先把已知條件轉(zhuǎn)化為，令,，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切線方程是:，即；（2）當(dāng)時，恒成立等價于,令,.則，令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以,所以.即實數(shù)a的取值范圍為.