湖南省兩校聯(lián)考2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

湖南省兩校聯(lián)考2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.2．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.23．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.5．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.47．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元 B.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤(rùn)最大8．在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1310．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．若，則的面積為（）A. B.C. D.11．對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550-1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，人們才認(rèn)識(shí)到指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的天然關(guān)系對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀察，需要進(jìn)行很多計(jì)算，特別是大數(shù)的連乘，需要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間．基于這種需求，1594年，奈皮爾運(yùn)用了獨(dú)創(chuàng)的方法構(gòu)造出對(duì)數(shù)方法．現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4．那么的數(shù)位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.60712．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．半徑為的球的表面積為_(kāi)______14．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____16．方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍18．（12分）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點(diǎn)、.（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)（用表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請(qǐng)研究雙曲線的性質(zhì)（從對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個(gè)角度進(jìn)行研究）.20．（12分）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn21．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A2、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D3、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B4、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.5、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.6、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過(guò)A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)樵趻佄锞€上，則.所以，即，解得：.故選：D7、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤(rùn)最大，為60萬(wàn)元，故D正確.故選：B8、C【解析】由空間中關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特征可直接得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)不變，坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.故選：C.9、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B10、D【解析】先由拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為，故選：D11、D【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)，則，求出t的范圍，即可判斷其數(shù)位.【詳解】設(shè)，則，則，則，，的數(shù)位是607.故選：D.12、A【解析】利用正弦定理可求解.【詳解】設(shè)甲驅(qū)逐艦、乙護(hù)衛(wèi)艦、航母所在位置分別為A，B，C，則，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為海里故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由球的表面積公式計(jì)算【詳解】由題意.故答案為：14、【解析】先由條件求出的通項(xiàng)公式，得到，由裂項(xiàng)相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時(shí)也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問(wèn)題，屬于中檔題.15、【解析】求導(dǎo)，根據(jù)可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論可得單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩不等實(shí)根，則可得出，進(jìn)而得出，可得恒成立，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可.【小問(wèn)1詳解】的定義域是，，①時(shí)，，則，在遞增；②時(shí)，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時(shí)，在遞增時(shí)，在遞減，在遞增【小問(wèn)2詳解】，定義域是，有2個(gè)極值點(diǎn)，，即，則有2個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩不等實(shí)根，以此求出，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求的最小值.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差，由列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法可求數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問(wèn)1詳解】依題意：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知因?yàn)椋?，所?19、（1）；（2）具體見(jiàn)解析；（3）具體見(jiàn)解析.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離，進(jìn)而將式子化簡(jiǎn)即可；（2）求出，進(jìn)而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問(wèn)題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問(wèn)1詳解】由題意，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問(wèn)3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱，還關(guān)于與垂直且過(guò)原點(diǎn)的直線對(duì)稱.，則，易得.綜上：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實(shí)軸，將代入雙曲線解得頂點(diǎn)：.于是實(shí)軸長(zhǎng)為焦距為，則離心率.20、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）由{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)注意辨析q是否為1，只要簡(jiǎn)單數(shù)字運(yùn)算時(shí)不出錯(cuò)，問(wèn)題可解，是個(gè)基礎(chǔ)題21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【小問(wèn)1詳解】解：，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，由題知，整理得，解得，（舍去），，則.【小問(wèn)2詳解】，則=.22、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用