必修四-平面向量知識點梳理課件

必修四平面向量

知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理知識網絡平面向量加法、減法數(shù)乘向量坐標表示兩向量數(shù)量積零向量、單位向量、共線向量、相等向量向量平行的充要條件平面向量基本定理兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件兩點的距離公式向量的概念解決圖形的平行和比例問題解決圖形的垂直和角度,長度問題向量的初步應用必修四_平面向量知識點梳理向量定義：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：長度為0的向量，記作0.（2）單位向量：長度為1個單位長度的向量.（3）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：長度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理幾何表示

:有向線段向量的表示字母表示坐標表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)則AB=

(x2－x1,y2－y1)一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理向量的模（長度）1.設a=(x

,y),則2.若表示向量a的起點和終點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理1.向量的加法運算ABC

AB+BC=三角形法則OABC

OA+OB=平行四邊形法則坐標運算:則a+b=重要結論：AB+BC+CA=0設a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理2.向量的減法運算1）減法法則：OAB2）坐標運算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則a－b=

3.加法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：2）結合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理練習必修四_平面向量知識點梳理120oADBCO`必修四_平面向量知識點梳理120oADBCO`return必修四_平面向量知識點梳理4.實數(shù)λ與向量a的積定義：坐標運算：其實質就是向量的伸長或縮短！λa是一個向量.它的長度|λa|=|λ||a|；它的方向若a=(x

,y),則λa=

λ(x

,y)=

(λx

,λy)(2)當λ＜0時,λa的方向與a方向相反.(1)當λ≥0時,λa的方向與a方向相同；一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理則存在唯一實數(shù)

，使得結論:

設表示與非零向量同向的單位向量.定理1:兩個非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念必修四_平面向量知識點梳理向量垂直充要條件的兩種形式:二、平面向量之間關系向量平行(共線)充要條件的兩種形式:必修四_平面向量知識點梳理（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相等.

即:

那么

三、平面向量的基本定理如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使必修四_平面向量知識點梳理1、平面向量數(shù)量積的定義：2、數(shù)量積的幾何意義：OABθB1(四)數(shù)量積4、運算律:3、數(shù)量積的坐標運算必修四_平面向量知識點梳理5、數(shù)量積的主要性質及其坐標表示：必修四_平面向量知識點梳理①②OBA綜上所述：原命題成立必修四_平面向量知識點梳理CNDBMOA解:必修四_平面向量知識點梳理CNDBMOA必修四_平面向量知識點梳理例3、已知a=(3,-2)

，b=(-2,1)，

c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b必修四_平面向量知識點梳理OABP另解:可以試著將必修四_平面向量知識點梳理

說明：(1)

本題是個重要題型：設O為平面上任一點，則：

A、P、B三點共線

或令

=1

t，

=t，則

A、P、B三點共線

(其中

+

=1)

(2)

當t=時，常稱為△OAB的中線公式(向量式)．必修四_平面向量知識點梳理例5.設AB=2(a+5b)，BC=

2a+8b，CD=3(a

b)，求證：A、B、D三點共線。分析要證A、B、D三點共線，可證AB=λBD關鍵是找到λ解：∵BD=BC+CD=

2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD∴

A、B、D三點共線AB∥BD且AB與BD有公共點B必修四_平面向量知識點梳理例6.設非零向量不共線，若試求k.

解：∵∴由向量共線的充要條件得：即又∵不共線∴由平面向量的基本定理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理解：設頂點D的坐標為（x，y）

例8．已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標．必修四_平面向量知識點梳理例9.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標P，Q的坐標.解：(1)求中點M的坐標，由中點公式可知M(－，2)(2)因為

=(1，3)－(－2，1)=(3，2)必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理例10.設A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足(1)λ為何值時,點P在直線y=x上?(2)設點P在第三象限,求λ的范圍.解:(1)設P(x,y)，則

(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),

所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.必修四_平面向量知識點梳理

例11（1）已知=（4，3），向量是垂直于的單位向量，求.必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC必修四_平面向量知識點梳理（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共線∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)必修四_平面向量知識點梳理（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BD·DC=+=∴AD=BD·DC22例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC必修四_平面向量知識點梳理例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（）

A. B. C. D.

解析設a和b的夾角為θ，|a|cosθ=

C必修四_平面向量知識點梳理解：必修四_平面向量知識點梳理解：∵∴同理可得

∴θ=120°必修四_平面向量知識點梳理[解][答案]C必修四_平面向量知識點梳理ABC必修四_平面向量知識點梳理ABCP必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理[解析]必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理【例23】已知向量a=(cosx,sinx),

b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.必修四_平面向量知識點梳理解＞0∴|a+b|=2cosx.必修四_平面向量知識點梳理(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[]，∴≤cosx≤1，∴當cosx=時，f(x)取得最小值為-；當cosx=1時，f(x)取得最大值為-1.必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理必修四_平面向量知識點梳理反饋練習：1.判斷下列命題是否正確：（1）（3）（5）若，則對于任一非零有

（4