《簡單計數(shù)問題》教學(xué)設(shè)計(部級優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

簡單計數(shù)問題：容斥原理【教材分析】本節(jié)課是有限集合中元素個數(shù)的計算，本質(zhì)是容斥原理的應(yīng)用.在計數(shù)類問題中，容斥原理與排列組合、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造對應(yīng)關(guān)系等是常用的幾種方法.【課型】新授課【教學(xué)目標(biāo)】1、通過排列組合基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，掌握有關(guān)計數(shù)辦法，知道容斥原理的基本形式.2、通過韋恩圖了解容斥原理的二元和三元形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3、了解并知道容斥原理的一般表達(dá)形式，會在實際應(yīng)用中解答相關(guān)問題.【教學(xué)重點】容斥原理的二元和三元形式.【教學(xué)難點】容斥原理在復(fù)雜計數(shù)問題中應(yīng)用.【教學(xué)過程】一、新課引入問題1：集合A和集合B分別有3和4個元素，試問集合有幾個元素？問題2：在正整數(shù)1,2,3，，500中，能被2或3或5整除的數(shù)有幾個？請帶著上述問題，閱讀必修I課本第13-14頁.二、知識講授1.有限集合元素個數(shù)的記法：若集合A的元素個數(shù)是有限個，則A中元素個數(shù)記為，也可以記為.2.容斥原理：（1）若有限集合A,B,C，則：;.（2）設(shè)為有限集，則:3.典型例題例1.在正整數(shù)1-500中，能被2或3或5整除的數(shù)有幾個？解：令正整數(shù)1-500中，能被2或3或5整除的數(shù)的集合分別為A,B,C.則,所以=250+166+100-83-50-33+16=366即在正整數(shù)1-500中，能被2或3或5整除的數(shù)有366個.例2.有3個紅球，3個黃球，3個藍(lán)球，同色球不加區(qū)別，現(xiàn)將這9個球排成一行，要求同色球不全相鄰，有多少個不同的排法？解：用S表示這9個球排成一行的全排列的集合，A,B,C分別表示S中3個紅球，3個黃球，3個藍(lán)球排在一起的全排列的集合.則：即同色求不全相鄰的排法有1314種.例3.將與105互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成一個數(shù)列，求這個數(shù)列的第1000項.解：設(shè)則S中與105互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為：記所有與105互質(zhì)的數(shù)記為數(shù)列.例4．（錯排問題）設(shè)集合的一個排列滿足，則這樣的排列為的一個錯位排列.求的所有錯位排列的個數(shù).解：將集合的所有排列記為S.當(dāng)n=2時，；當(dāng)n=3時，；當(dāng)n=4時，；當(dāng)n=5時，注：本題就是錯裝信封問題，雅各布伯努利與柯西分別獨立解答了這個問題。其中雅各布伯努利的解答是利用容斥原理，歐拉的解答是構(gòu)造數(shù)列，你敢嘗試嗎？他們兩人都是偉大的數(shù)學(xué)家，具體簡介見閱讀材料。4.課堂練習(xí)（1）某校足球隊有38人，籃球隊有15人，排球隊有20人.3個隊隊員總數(shù)為58人，且只有4個人同時參加3個隊，則同時參加兩個隊的隊員有人.（2）不超過120的素數(shù)有個.（3）六個字母a,b,c,d,e,f的全排列中，不出現(xiàn)ace和df的排列數(shù)有個.（4）求由9個字母的全排列中，只有四個字母不在原來位置的排列數(shù).答案答案（1）19（2）30（3）582（4）1134閱讀材料：錯裝信封問題的典故雅各布伯努利瑞士的伯努利家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數(shù)數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，然而卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中，有人調(diào)侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當(dāng)?shù)卣退痉ú块T任高級職務(wù)。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞爾，畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年17歲時獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)指“自由藝術(shù)”，包括算術(shù)、幾何學(xué)、天文學(xué)、數(shù)理音樂和文法、修辭、雄辯術(shù)共7大門類。遵照父親的愿望，他于1676年22歲時又取得了神學(xué)碩士學(xué)位。然而，他也違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在那里寫內(nèi)容豐富的《沉思錄》。1678年和1681年，雅各布·伯努利兩次外出旅行學(xué)習(xí)，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學(xué)家，寫有關(guān)于彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教師學(xué)報》上發(fā)表數(shù)學(xué)論文《用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法》，同年成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，直至1705年8月16日逝世。1699年，雅各布當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士；1701年被柏林科學(xué)協(xié)會（后為柏林科學(xué)院）接納為會員。許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相聯(lián)系。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。雅各布對數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是在概率論研究方面。他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著《猜度術(shù)》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布醉心于研究對數(shù)螺線，這項研究從1691年就開始了。他發(fā)現(xiàn)，對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后仍然是對數(shù)螺線，如它的漸屈線和漸伸線是對數(shù)螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發(fā)光點經(jīng)對數(shù)螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數(shù)螺線。他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。歐拉歐拉1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。他生于牧師家庭。15歲在巴塞爾大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，翌年得碩士學(xué)位。1727年，歐拉應(yīng)圣彼得堡科學(xué)院的邀請到俄國。1731年接替丹尼爾·伯努利成為物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄國的14年中，他在分析學(xué)、數(shù)論和力學(xué)方面作了大量出色的工作。1741年受普魯士腓特烈大帝的邀請到柏林科學(xué)院工作，達(dá)25年之久。在柏林期間他的研究內(nèi)容更加廣泛，涉及行星運動、剛體運動、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)，這些工作和他的數(shù)學(xué)研究相互推動。歐拉這個時期在微分方程、曲面微分幾何以及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究都是開創(chuàng)性的。1766年他又回到了圣彼得堡。

歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)用到了幾乎整個物理領(lǐng)域。他又是一個多產(chǎn)作者。他寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。除了教科書外，他的全集有74卷。

歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)式。1766年他出版了《關(guān)于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論。這篇著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，是微分幾何發(fā)展史上的一個里程碑。歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉。如他引入了Γ函數(shù)和B函數(shù)，證明了橢圓積分的加法定理，最早引入了二重積分等等。數(shù)論作為數(shù)學(xué)中一個獨立分支的基礎(chǔ)是由歐拉的一系列成果所奠定的。他還解決了著名的組合問題：柯尼斯堡七橋問題。在數(shù)學(xué)的許多分支中都常常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。

小時候他就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。這本書連他的幾位老師都沒讀過?？尚W拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事后再向別人請教。1720年，13歲的歐拉靠自己的努力考入了巴塞爾大學(xué),得到當(dāng)時最有名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導(dǎo)．。這在當(dāng)時是個奇跡，曾轟動了數(shù)學(xué)界。小歐拉是這所大學(xué)，也是整個瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生。歐拉淵博的知識，無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，半個多世紀(jì)寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式等等，數(shù)也數(shù)不清．他對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)更