河北省承德市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

河北省承德市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A. B.C. D.2．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.644．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學(xué)生為24人7．直線經(jīng)過兩點(diǎn)，那么其斜率為（）A. B.C. D.8．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.9．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.10．曲線在點(diǎn)處的切線方程是A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.12．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為_____.14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是_________15．正方體的棱長為2，點(diǎn)為底面正方形的中心，點(diǎn)在側(cè)面正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若，則點(diǎn)的軌跡的長度為______16．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)=________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.（1）求橢圓M的方程；（2）C，D為橢圓M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD與AB垂直，求四邊形ACBD面積的最大值.18．（12分）已知直線l過點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值19．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）某話劇表演小組由名學(xué)生組成，若從這名學(xué)生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學(xué)生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：22．（10分）設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：C2、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.3、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，解得，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則故選：B6、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題7、B【解析】由兩點(diǎn)的斜率公式可得答案.【詳解】直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則故選：B8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B9、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長趨勢即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長趨勢，排除C.故選：B10、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】，選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.12、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線方程是，即故答案為：.15、【解析】取中點(diǎn)，利用線面垂直的判定方法可證得平面，由此可確定點(diǎn)軌跡為，再計(jì)算即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；由題意得：，，，，；平面，，平面，，在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)軌跡為線段；故答案為：.16、【解析】由可求得【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，，的中點(diǎn)為，利用“點(diǎn)差法”求解；（2）由求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)，設(shè)直線的方程為，由，求得的長，然后由四邊形的面積為求解.【小問1詳解】解：把右焦點(diǎn)代入直線，得，設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，，相減得，即，即，即.又，，則.又，解得，，故橢圓的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立消去，可得，解得或，故交點(diǎn)為，.所以.因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得到，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得，且，又，則.故四邊形的面積為，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.所以四邊形的面積的最大值為.18、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過的點(diǎn)及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線法二：∵，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線19、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項(xiàng)公式.當(dāng)①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因?yàn)?，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以時(shí)，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)椋?，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以.又因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)?，所以，從而無解，所以等差數(shù)列不存在，故不合題意.【點(diǎn)睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力與方程思想，屬于中檔題.20、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因?yàn)榍?，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個(gè)空中選個(gè)空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.21、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.【小問1詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；【小問2詳解】證明：因?yàn)?，∴，∴∴，又∵，∴，所?2、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設(shè)A(x1