廣東省佛山市石門高級(jí)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省佛山市石門高級(jí)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.3．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.44．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.5．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－96．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-18．某商場(chǎng)為了解銷售活動(dòng)中某商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某次銷售活動(dòng)中的商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間，并制作了下表：活動(dòng)時(shí)間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為（）A B.C. D.9．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.210．已知橢圓：的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.11．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件12．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)直線，直線，若，則_______.14．雙曲線的左焦點(diǎn)到直線的距離為________.15．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則______16．已知等差數(shù)列的公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，且過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試探究在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由21．（12分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性22．（10分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡(jiǎn)得到，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，由，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C2、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.3、B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.4、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B5、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A6、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以故選：A.8、C【解析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當(dāng)時(shí)，.故選：C.9、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結(jié)合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.10、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋运?，解?故選：C11、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B12、B【解析】求導(dǎo)，得到曲線在點(diǎn)處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處斜率為4，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】根據(jù)兩直線平行可得，，即可求出【詳解】依題可得，，解得故答案為：14、【解析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，設(shè)其左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得，解得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其到直線的距離.故答案為：.15、-2【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點(diǎn),且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.16、0【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)椋?，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對(duì)應(yīng)寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為.（2）因?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時(shí)，易得λ的值；斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，，∴；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運(yùn)用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.19、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，∴，由韋達(dá)定理得，∴.20、（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時(shí)，即存在定點(diǎn)滿足條件當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個(gè)常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點(diǎn)滿足條件.21、（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，綜上所知：和是函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面