二重積分的計算與應(yīng)用

目錄摘要……………………1關(guān)鍵詞……………………1Abstract…………………...1Keywords………………....1前言……………………11.二重積分的概念………………………11.1二重積分的定義………………………11.2可積條件………………21.3可積類…………………21.4二重積分的性質(zhì)………………………22.二重積分的計算方法………………..32.1直角坐標系下的二重積分的計算……………………32.2二重積分的變量變換………………...4普通情況下的變換……………….4極坐標計算二重積分…………….43.廣義二重積分…………64.二重積分的應(yīng)用……………………...64.1體積……………………74.2曲面的面積……………84.3其它…………………....8參考文獻……………….....9二重積分的計算與應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：職稱：摘要：研究了二重積分的幾何意義，概念，性質(zhì)以及在直角坐標系及極坐標下的計算方法，并給出了計算公式及相關(guān)例題,最后總結(jié)了二重積分的計算方法.關(guān)鍵詞：二重積分;直角坐標系;極坐標;曲頂柱體ThecalculationandapplicationofdoubleintegralAbstract:Thispapermainlystudiesthegeometricsignificanceofdoubleintegral,theconcept,natureandcalculationmethodundertherectangularcoordinatesystemandpolarcoordinatecalculationmethod.KeyWords:Doubleintegral;Therectangularcoordinatesystem;Thepolarcoordinate;Curvedtopcylinder前言我們已經(jīng)很熟悉定積分的一些性質(zhì)及計算方法.同樣，二重積分在實際中應(yīng)用廣泛，且有直觀的幾何解釋，所不同的是現(xiàn)在討論的對象為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù).這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)中也常遇到，如求非均勻平面的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等.二重積分的計算的基本途徑是將其轉(zhuǎn)化成二次積分計算，計算二重積分時選擇積分順序，交換積分次序以及轉(zhuǎn)換坐標系都是至關(guān)重要的問題.本文對二重積分的計算方法進行了全面的概括和總結(jié)，并對各種計算方法的選擇進行了認真地研究，為準確的計算二重積分提供有效的幫助.1.二重積分的概念1.1二重積分的定義設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù).是一個確定的數(shù)，若對任給的某個正數(shù)，總存在某個正數(shù)，是對于的任何分割，當(dāng)它的細度||||時，屬于的所有積分和都有則成在上可積，數(shù)稱為的二重積分，記為.1.2可積條件二重積分的可積條件與定積分類似(1)必要條件：函數(shù)在上可積，則在上必有界.(2)充要條件：=1\*GB3①函數(shù)在上可積(其中S，s分別為在上的上積分和下積分).=2\*GB3②函數(shù)在上可積對，存在分割，使得=3\*GB3③函數(shù)在上可積對，存在分割，使得 1.3可積類(1)有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積.(2)若在有界閉區(qū)域上有界，且僅在內(nèi)有限條光滑曲線上不連續(xù)，則在上可積.1.4二重積分的性質(zhì)性質(zhì)4.1（線性性）.性質(zhì)4.2（線性性）.性質(zhì)4.3（分段可加性）.性質(zhì)4.4（保不等式性）設(shè),則.性質(zhì)4.5設(shè),則其中表示的面積.性質(zhì)4.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則（，）使得=.其中中值定理的幾何意義：以D為底，z=(0)為曲頂?shù)那斨w體積等于一個同底的平頂柱體的體積，這個平頂柱體的高等于在區(qū)域D某點的函數(shù)值.2.二重積分的計算方法定理1設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對每個積分存在，則累次積分也存在，且.另外，同理.2.1直角坐標系下的二重積分的計算此方法的關(guān)鍵就是化二重積分為累次積分，對于一般區(qū)域，通常可以分為以下兩種區(qū)域進行計算：=1\*GB3①X型區(qū)域：平面點集則化二重積分為累次積分.=2\*GB3②Y型區(qū)域：平面點集則化二重積分為累次積分.例1設(shè)D是由直線及圍成的區(qū)域，試計算.解利用Y型區(qū)域積分：.由分部積分法得.例2計算二重積分，其中D為由直線及所圍的三角形區(qū)域.解利用X型區(qū)域，則相應(yīng)的所以.2.2二重積分的變量變換定理2設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，變換T:將平面由按段光滑閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一的映成平面上的閉區(qū)域,函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的行列式，則.普通情況下的變換例3求拋物線和直線所圍成的區(qū)域的面積（0）.解D的面積為了簡化積分區(qū)域，做變換則.由于,所以.極坐標計算二重積分當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分時，或者背積函數(shù)的形式為時，采用極坐標變換T：,則.定理3設(shè)滿足定理1的條件，且在極坐標變換下平面上有界閉區(qū)域與平面上區(qū)域?qū)?yīng)，則成立.二重積分在極坐標下化為累次積分有以情況：1.型區(qū)域：若原點，且平面上射線常數(shù)與的邊界至多交與兩點,則必可表示為,于是有.R型區(qū)域：若平面上的圓常數(shù)與的邊界至多交與兩點，則必可表示為,于是有.2．若原點為的內(nèi)點，的邊界的極坐標方程為，則必可表示成為,于是有.3．若原點O在的邊界上，則為,于是有.例4計算I=,其中為圓域解由于原點為的內(nèi)點故有例5求球體被圓柱體所割下部分的體積（稱為維維安尼體（Viviani））.解由所求立體的對稱性，只要求出第一卦限的部分體積后乘以4即可.在第一卦限內(nèi)的體積是一個曲頂柱體，其底為平面內(nèi)由和所確定的區(qū)域，曲頂?shù)姆匠虨?所以.其中D=，用極坐標變換后有.3.廣義二重積分若在無界區(qū)域上則收斂在的任何有界子區(qū)域上可積,且積分值有上界.例6證明反常積分收斂,其中并由此計算概率積分證明設(shè)則顯然在上非負.設(shè)則顯然對的任何有限子集,只要充分大,總可使得于是有即廣義積分收斂.記則其中做極坐標代換則4.二重積分的應(yīng)用二重積分在幾何、物理等許多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這里重點介紹它在幾何方面的應(yīng)用．4.1體積根據(jù)二重積分的幾何意義，表示以為曲頂，以在坐標平面的投影區(qū)域為底的曲頂柱體的體積．因此，利用二重積分可以計算空間曲面所圍立體的體積．例7求橢球面所圍之橢球的體積．解由于橢球體在空間直角坐標系八個卦限上的體積是對稱的．令表示橢球面在坐標面第一象限的投影區(qū)域，則體積作廣義極坐標變換,則此變換的雅可比行列式，與相對應(yīng)的積分區(qū)域此時從而例8求球面與圓柱面所圍立體的體積.圖1解由對稱性（圖1（）給出的是第一卦限部分）其中為半圓周及軸所圍成的閉區(qū)域（圖1（））．在極坐標系中，與閉區(qū)域相應(yīng)的區(qū)域于是4.2曲面的面積設(shè)曲面的方程為它在面上的投影區(qū)域為求曲面的面積若函數(shù)在域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可以證明，曲面的面積（1）例9計算拋物面在平面下方的面積．解下方的拋物面在面的投影區(qū)域又=代入公式（1）并用極坐標計算，可得拋物面的面積如果曲面方程為或，則可以把曲面投影到或平面上，其投影區(qū)域記為或，類似地有或4.3其它例10平均利潤某公司銷售商品Ⅰ個單位，商品Ⅱ個單位的利潤現(xiàn)已知一周內(nèi)商品Ⅰ的銷售數(shù)量在150～200個單位之間變化，一周內(nèi)商品Ⅱ的銷售數(shù)量在80～100個單位之間變化．求銷售這兩種商品一周的平均利潤．解由于的變化范圍所以的面積由二重積分的中值定理，該公司銷售這兩種商品一周的平均利潤為（元）．參考文獻：[1]趙樹原,胡顯佑,陸啟良.微積分學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社,199