第四講圓與正多邊形

正多邊形和圓【內(nèi)容概述】正多邊形的定義、正多邊形的有關(guān)概念、正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的有關(guān)計算、正多邊形與圓【知識透析】知識點1：正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形．知識點2：正多邊形的有關(guān)概念：（1）正多邊形的中心角；（2）正多邊形的中心；（3）正多邊形的半徑R；（4）正多邊形的邊心距r知識點3：正多邊形的性質(zhì)（1）正多邊形都只有一種外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形；（2）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形；（3）正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相似，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．知識點4：正多邊形的有關(guān)計算（1）正邊形的每個內(nèi)角都等于；（2）正邊形的每一種外角與中心角相等，等于．例1．如果一種正多邊形的一種內(nèi)角是135°，則這個多邊形是__________邊形例2．一種正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°和原來的圖形重疊，那么這個正多邊形是________知識點5：正多邊形的畫法

（1）用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角能夠等分圓；

（2）用尺規(guī)等分圓

對于某些特殊的正n邊形，能夠用圓規(guī)和直尺作圖．例1：畫一種邊長為2的正六邊形。如圖1，2，以2為半徑作一種⊙，用量角器畫一種等于的圓心角它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到6個等分點，順次連接各等分點，即可得出正六邊形。圖1圖2知識點6：圓與正多邊形（1）正多邊形的外接圓以及有關(guān)要素；（2）正多邊形的內(nèi)切圓以及有關(guān)要素．【典型例題】1．填寫下列表中的空格QUOTE正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積34162n2．有一邊長為4的正n邊形，它的一種內(nèi)角是120°，則其外接圓的半徑為_________3．正六邊形一組對邊間的距離為6，那么這個正六邊形的半徑是__________4．同圓中，內(nèi)接正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形中周長最大的是__________5．正九邊形的半徑為R，則它的邊長是_____6．一種正n邊形的中心角是它的一種內(nèi)角的，則n＝_________.7．如圖，已知⊙O和⊙O上一點A①用尺規(guī)作正六邊形，使得⊙O是這個證六邊形的外接圓，且點A是正六邊形的一種頂點②若這個證六邊形的邊長為2cm，這個正六邊形的面積是cm28．已知一種多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（ ）A．八邊形 B．十二邊形 C．十邊形 D．九邊形9．正邊形的一種外角等于20°，則．10．點M、N分別是正八邊形相鄰的邊AB、BC上的點，且AM＝BN，點O是正八邊形的中心，則∠MON＝°．11．已知圓內(nèi)接正六邊形面積為，求該圓外切正方形邊長．12．已知圓內(nèi)接正方形的面積為，求該圓的外切正三角形的邊長．13．如圖，正六邊形內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為10，則圓中陰影部分的面積為．14．已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．15．已知A、B、C、D是⊙O上的四點，，AC是四邊形ABCD的對角線。（1）如圖3，連結(jié)BD，若∠CDB=60°，求證：AC是∠DAB的平分線；（2）如圖4，過點D作DE⊥AC，垂足為E，若AC=7，AB=5，求線段AE的長度．圖3圖4【課堂練習】1．邊長為a的正六邊形的面積等于（）A．B．C．D．2．已知正三角形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：a：R等于()A．1：：2B．1：2：C．1：2：D．1：：23．如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．第3題第4題4．如圖，有一圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為什么（）5．下面給出六個命題：①各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；②各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；③正多邊形是中心對稱圖形；④各角均為的六邊形是正六邊形；⑤邊數(shù)相似的正邊形的面積之比等于它們邊長的平方比；⑥各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形．其中，錯誤的命題是_____________．6．（1）正邊形內(nèi)接于半徑為的圓，這個邊形的面積為2R2，則等于____________．（2）正八邊形每一種外角度數(shù)等于_______；n邊形每一種內(nèi)角等于________．7．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的內(nèi)接正△ACF的面積為。試求正六邊形的周長．8、(1)如圖（1），等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點P為弧BC上一動點，連接PA、PB、PC，那么PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系是.（不必證明）(2)如圖（2），正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P為弧BC上一動點，連接PA、PB、PC，若PA＝7，PC＝2，請求出PB的長.圖(1)圖(2)【綜合提高】1．如圖，小紅做了一種實驗，將正六邊形ABCDEF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)后達成A′B′C′D′E′F′的位置，所轉(zhuǎn)過的度數(shù)是（）A．60°B．72°C．108°D．120°2．如圖，正六邊形ABCDEF中，陰影部分面積為cm2，則此正六邊形的邊長為（）A．2cm B．2cm C．6cm D．8cm已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．4．等邊三角形的面積為，求等邊三角形外接圓的面積。5．某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形與否為正多邊形”時，進行以下討論：

甲同窗：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形．

乙同窗：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形，如圖1，△ABC是正三角形，，證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形．

丙同窗：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形，我想…，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．

（1）請你闡明乙同窗構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；

（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形；（不必寫已知，求證）

（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）圖1圖2【課后練習】1．已知正六邊形的邊心距為，則它的周長是（）A．6 B．12° C． D．2．的內(nèi)接多邊形周長為，的外切多邊形周長為3.4，則下列各數(shù)中與此圓的周長最靠近的是()A． B．C． D．3.如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，若BC＝BE.求證：△ADE是等腰三角形.4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC＝BD，連結(jié)AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E.（1）求證：AB＝AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；（3）若⊙O的半徑為5，∠BAC＝60°，求DE的長.5.（1）如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P為弧BC上一動點，你認為PD=PA+PC對的嗎？若對的闡明理由：若不對的，請舉一種反例闡明；（2）如圖2，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PC+PB．圖1 圖27．閱讀下面材料：

對于平面圖形A，如果存在一種圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不不不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不不不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓