北京郵電大學《數(shù)字信號處理》課件-第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

第2章時域離散信號

和系統(tǒng)的頻域分析北京郵電大學《數(shù)字信號處理》2本章主要內(nèi)容序列的Z變換Z變換的主要性質(zhì)序列的傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)利用Z變換解差分方程利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)32.1引言信號與系統(tǒng)的分析方法:時域分析變換域分析（本課介紹頻域分析）連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

信號用時間t的函數(shù)表示系統(tǒng)用微分方程描述離散時間信號與系統(tǒng)

信號用序列表示系統(tǒng)用差分方程描述4時域與頻域分析

傅里葉變換

時間域頻率域(復(fù)頻域

)

拉普拉斯變換

推廣離散時間傅里葉變換

時間域頻率域(復(fù)頻域

)

Z變換推廣連續(xù)時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)52.2序列的傅里葉變換

序列傅里葉變換的定義序列傅里葉變換的性質(zhì)

周期序列的傅里葉級數(shù)表示周期序列的傅里葉變換62.2.1時域離散信號傅里葉變換的定義（2.2.1）FT［x(n)］存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和（2.2.2）（2.2.3）n為離散域，ω

為連續(xù)域X(ejω)的傅里葉反變換為序列x(n)的傅里葉變換定義為:7

【例2.2.1】

設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。解（2.2.4）

當N=4時，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。8圖2.2.1

R4(n)的幅度與相位曲線92.2.2時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)1．

FT的周期性

(2.2.5)

觀察上式，得到傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。由FT的周期性進一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在ω=0，±2π,±4π,點上表示x(n)信號的直流分量；離開這些點愈遠，其頻率愈高，但又是以2π為周期，那么最高的頻率應(yīng)是ω=π。一般只分析【－π~＋π】之間或0~2π范圍的FT就夠了。10

2．線性

(2.2.6)式中,a，b是常數(shù)。

設(shè)X1(ejω)=FT［x1(n)］,

X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么11

3．時移與頻移

設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)FT[x(n-n0)]=e-jwn0X(ejw)124．FT的對稱性共軛對稱序列共軛反對稱序列共軛對稱與共軛反對稱序列的表示頻域函數(shù)共軛對稱與共軛反對稱序列的表示實因果序列h(n)的對稱性13

設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9）則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實部與虛部表示：

將上式兩邊n用－n代替，并取共軛，得到：對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：

（2.2.10）（2.2.11）兩式表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛對稱序列14

滿足下式的序列稱為共軛反對稱序列：

（2.2.12）將xo(n)表示成實部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。

共軛反對稱序列15

【例2.2.2】

試分析x(n)=ejωn的對稱性。

解:因為x*(－n)=ejωn=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對稱序列，如展成實部與虛部，則得到：x(n)=cosωn+jsinωn上式表明，共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。16一般序列可用其共軛對稱與共軛反對稱分量之和表示，即（2.2.15）將（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共軛,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面兩式，可以用x(n)分別求出其xe(n)和xo(n)。

任意序列的共軛對稱與共軛反對稱分量17

對于頻域函數(shù)X(ejω)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）Xe(ejω)為共軛對稱部分（函數(shù)），Xo(ejω)共軛反對稱部分（函數(shù)）它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同樣有下面公式成立：+Xe(ejω)、Xo(ejω)的表示，

ω連續(xù)域18

(1)將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行傅里葉變換，得到:X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)

式中，xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列。Xe(ejω)具有共軛對稱性，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ejω)具有共軛反對稱性質(zhì)，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。最后得到結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對稱性，虛部和j一起對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對稱性。式中FT的共軛對成性19

(2)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫如下：因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25）將上面兩式分別進行傅里葉變換，得到：20

因為h(n)是實序列，其FT只有共軛對稱部分He(ejω)，共軛反對稱部分為零。因此實序列的FT是共軛對稱函數(shù),其實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然，其模：偶函數(shù)相位函數(shù)：奇函數(shù)

這和實模擬信號的FT有同樣的結(jié)論。實因果序列h(n)的頻譜的對稱性21

按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因為h(n)是實因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示：

（2.2.26）（2.2.27）實因果序列h(n)的對稱性22

實因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為（2.2.28）（2.2.29）式中

（2.2.30）

因為h(n)是實序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.29）式，ho(n)中缺少n=0點h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時，要補充一點h(h)δ(n)信息。實因果序列h(n)的對稱性23實因果序列h(n)的

FT對稱性總結(jié)共軛對稱序列、函數(shù)共軛反對稱序列、函數(shù)一般序列與共軛對稱與共軛反對稱序列的關(guān)系實因果序列h(n)（2.2.26）（2.2.27）24

【例2.2.3】x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)

按（2.2.26）式，得到：25按（2.2.27）式，得到：

x(n)、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。

圖2.2.3例2.2.3圖26

5．時域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)*h(n)則

Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2.31）證明令k=n－m，則兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系（時域卷積，頻域相乘）27

6．頻域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)h(n)則(2.2.32)證明(2.2.33)交換積分與求和的次序：(2.2.34)

該定理表明，在時域兩序列相乘，頻域時服從卷積關(guān)系。287．帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35）證明

帕斯維爾定理表明了信號時域的能量與頻域的能量關(guān)系。29表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理302.3周期序列的傅里葉級數(shù)表示及其FT

周期序列定義：周期序列不是絕對可和的，狹義的FT不存在周期序列的傅里葉級數(shù)表示ak:傅里葉級數(shù)的系數(shù)基頻序列:e1(n)k次諧波序列:ek(n)312.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)只有N個獨立諧波分量:

且因為復(fù)指數(shù)序列是k的周期函數(shù)所以，周期序列:只取k＝0到N-1的N個獨立諧波分量足以表示原信號

32周期序列離散傅里葉級數(shù)正變換

周期序列離散傅里葉級數(shù)反變換

周期序列的離散傅里葉級數(shù)33【例2.3.1】

設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

34圖2.3.1例2.3.1圖2.3.2周期序列的傅里葉變換在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在處的一個沖激，強度為2

，即對于時域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在處的一個沖激，強度為2

，考慮到時域離散信號傅里葉變換的周期性，因此的傅里葉變換應(yīng)寫為：假設(shè)的周期為N，將它用傅里葉級數(shù)來表示，即上式的求和號中的每一項都是復(fù)指數(shù)序列，其中第K項即為第K次諧波的傅里葉變換，根據(jù)其周期性能夠表示為：周期序列由N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N為周期，而r變化時，δ函數(shù)變化2

r，因此如果讓k在(-∞,∞)變化，上式可以簡化為上式就是一般周期序列的傅里葉變換表達式。一般周期序列的傅里葉變換表達式38例2.1：令，為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解:將用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅里葉變換為上式表明，余弦信號的傅里葉變換是在處的沖激函數(shù)，強度為

，同時以2

為周期進行周期性延拓，如下圖所示。對于正弦序列，為有理數(shù)，它的傅里葉變換為2.4的FT與的FT之間的關(guān)系41對上式進行傅里葉變換得到理想采樣信號：

2.4的FT與的FT之間的關(guān)系42

對比時域離散信號x(n)的傅里葉變換：得到：并且在數(shù)值上

，上式也可以表示成上面三個公式均表示時域離散信號的傅里葉變換和模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系43■時域離散信號的頻譜也是由模擬信號的頻譜周期性延拓形成的，延拓周期是，因此由采樣得到x(n)也要滿足采樣定理，否則也會產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在附近最嚴重，在數(shù)字域，則是在π附近最嚴重。模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系：442.5序列的Z變換Z變換及其收斂域的定義幾種序列的Z變換及其收斂域逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理利用Z變換求解差分方程利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性452.5.1Z變換及其收斂域的定義

序列x(n)的Z變換定義雙邊Z變換單邊Z變換

因果序列的Z變換:因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換相同Z平面:Z變換定義式中z所在的復(fù)平面z是一個連續(xù)復(fù)變量，具有實部和虛部

變量z的極坐標形式

|z|=1為單位圓：

46Z變換的收斂域根據(jù)級數(shù)理論，式(2.1)收斂的充分必要條件是滿足絕對可和條件，即收斂域:對于給定的任意序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合組成的區(qū)域。

根據(jù)羅朗級數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個環(huán)域

收斂半徑Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收斂域以原點為中心，Rx-和Rx+為半徑的環(huán)域

47

序列Z變換與序列傅里葉變換關(guān)系

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，但z的收斂域必須包含單位圓。

對比傅里葉變換定義式：

得到：48例:求序列的Z變換

例2.5.3求序列的Z變換。

解：序列x(n)是因果序列，根據(jù)Z變換的定義

分析收斂性：X(z)是無窮項冪級數(shù)。X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為

當|z|≤a時級數(shù)發(fā)散，當|z|＞|a|時級數(shù)收斂。49例:求序列的Z變換

例2.5.4求序列的Z變換。

解：序列x(n)是一個左序列,

X(z)存在要求502.5.2序列特性對收斂域的影響結(jié)論：Z變換相同，收斂域不同，對應(yīng)的序列也不同。序列的X(z)與其收斂域是一個不可分離的整體，求Z變換就要包含其收斂域。對比例2.5.3和例2.5.4結(jié)果：51有限長序列

有限長序列只在有限區(qū)間n1≤n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零：Z變換

收斂域與n1、n2取值情況有關(guān)：

52例：求有限長序列的Z變換例2.5.2求序列的Z變換及收斂域。

討論：X(z)有一個z=1的極點，但也有一個z=1的零點，所以零極點對消，X(z)在單位圓上收斂

。收斂域為0＜|z|≤+∞。

解：根據(jù)Z變換的定義

53右邊序列

右邊序列只在有限區(qū)間n≥n1

內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

上式中第一項為有限長序列，收斂域為，第二項為因果序列，收斂域為，共有收斂域為。54左邊序列

左邊序列只在有限區(qū)間n≤n2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零Z變換

如果，z=0點收斂，但z=∞點不收斂，收斂域為

如果，收斂域為55雙邊序列

雙邊序列指n從-∞到+∞都具有非零的有限值，可看成左邊序列和右邊序列之和Z變換

討論：X1(z)收斂域為|z|＜Rx+；X2(z)收斂域為Rx-＜|z|。雙邊序列Z變換的收斂域是二者的公共部分。如果滿足Rx-<Rx+

，則X(z)的收斂域為環(huán)狀區(qū)域，即Rx-＜|z|＜Rx+

；如果滿足Rx-≥Rx+，則X(z)無收斂域。

56例：求雙邊序列的Z變換例2.5.5己知序列，a為實數(shù)，求其Z變換及其收斂域。

解：上式第一項收斂域為：

上式第一項收斂域為：如果如果無公共收斂域，不存在當時，x(n)和的圖形如右圖所示572.5.3逆Z變換

逆Z變換:

由X(z)及其收斂域求序列x(n)的變換求逆Z變換的方法:圍線積分法(留數(shù)定理)部分分式展開法冪級數(shù)法(長除法)58序列的Z變換逆Z變換用留數(shù)定理求逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點的逆時針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圖2.5.3圍線積分路徑59如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。逆Z變換對于N階極點，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和。60

如果F(z)在z平面上有N個極點，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點，設(shè)有N1個極點，用z1k表示；另一部分是c外極點，有N2個，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：成立的條件:F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分別是M與N階多項式。成立的條件是N－M－n+1≥2因此要求n<N－Mc圓內(nèi)極點中有多階極點，而c圓外沒有多階極點，則逆Z變換的計算可以按該式，改求c圓外極點留數(shù)之和，最后加一個負號。61【例2.5.6】

已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

解

分析F(z)的極點：

1、n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個極點：z1=a；

2、n<0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有2個極點：z1=a,z2=0是一個n階極點。所以，應(yīng)當分段計算x(n)

n≥0時，62n<0時，z=0是n階極點，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查n≤N-M-1是否滿足?？梢圆捎昧魯?shù)輔助定理求解，改求圓外極點留數(shù)，但對于F(z)，該例題中圓外沒有極點。故n<0,x(n)=0。最后得到該例題的原序列為x(n)=anu(n)事實上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n<0部分一定為零，無需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。63【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，有兩個極點：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對應(yīng)的

x(n)是因果序列（2）|z|<|a|，對應(yīng)的

x(n)是左序列（3）|a|<|z|<|a－1|，對應(yīng)的

x(n)是雙邊序列64下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。（1）收斂域為|z|>|a－1|:

這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n<0時的x(n)。當n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an－a-n)u(n)。65（2）收斂域為|z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算n≥0情況。實際上，當n≥0時，圍線積分c內(nèi)沒有極點，因此x(n)=0。n<0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。

n<0時,最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a-n－an)u(－n－1)66（3）收斂域為|a|<|z|<|a－1|:這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|67部分分式展開法

對于大多數(shù)單階極點的X(z)，常用部分分式展開法求逆Z變換。方法：將有理分式X(z)，展開成簡單常用的部分分式之和，求各簡單分式的逆Z變換，再相加

得到x(n)。假設(shè)有N個一階極點，可展成如下部分分式:68部分分式展開法

觀察上式，/z在z=0的極點留數(shù)等于系數(shù)，在極點的留數(shù)就是系數(shù)。求出系數(shù)后，查表2.5.1可求得序列x(n)6970最后得到的原序列為：712.5.4Z變換的性質(zhì)和定理

１．線性：滿足疊加原理

ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+

(2.20)

例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z變換。由于出現(xiàn)零極點抵消，收斂域增大了。由于x(n)是n≥0的有限長序列，收斂域是除|z|=0之外的全部z平面。

72Z變換性質(zhì)２．序列的移位：證明３．乘以指數(shù)序列

：證明73Z變換性質(zhì)４．序列的線性加權(quán)（乘以n的ZT）

：證明

5．復(fù)共軛序列的ZT設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+則ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

74Z變換性質(zhì)－－初值定理

６．初值定理：若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n＜0，則證明：x(n)是因果序列，有

顯然

若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n＞0，有

75Z變換性質(zhì)－－終值定理

７．終值定理：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部極點，除在z=1處可以有一階極點外，其余極點都在單位圓內(nèi)，則

證明：由移位性質(zhì)可得

x(n)是因果序列，則有

76Z變換性質(zhì)８．時域卷積定理

：W(z)=ZT[x(n)*y(n)]=X(z)·Y(z)，R-＜|z|＜R+

證明交換求和次序，并代入m=n-k得77

【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解

y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解線性卷積

78

（2）Z變換法由收斂域判定y(n)=0

n<0n≥0時，將y(n)表示為：

79

9．復(fù)卷積定理

如果ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24）W(z)的收斂域為

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被積函數(shù)的收斂域為Z變換性質(zhì)80證明

由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：因此81【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］，0＜a＜1。

解

W(z)的收斂域為|a|<|z|≤∞；被積函數(shù)υ平面上的收斂域為max(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上極點：a、a－1，c內(nèi)極點：z=a。令則：82

10．帕斯維爾（Parseval）定理設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Ry－<|z|<Ry+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收斂域為利用復(fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理Z變換性質(zhì)832.5.5利用Z變換求解差分方程

N階線性常系數(shù)差分方程

x(n)是系統(tǒng)的輸入序列y(n)是系統(tǒng)的輸出序列ak和bk均為常數(shù)y(n－k)和x(n－k)項只有一次冪，也沒有相互交叉相乘項，（2.5.30）a0=184N階線性常系數(shù)差分方程的求解時域求解（遞推解）

Z變換移位性質(zhì)

Z變換求解

差分方程代數(shù)方程Z變換式輸出序列逆Z變換解方程85

1．求穩(wěn)態(tài)解

如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時加上的，n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對（2.5.30）式求Z變換，得到：式中：

X(z)86

2．求暫態(tài)解

對于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件:y(－1),y(－2),

,y(－N)。設(shè)

（2.5.33）

-(n-m)（2.5.30）87（2.5.34）零狀態(tài)解:上式第一部分(與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān))零輸入解:上式第二部分(與輸入信號無關(guān))求零狀態(tài)解時，可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。88Z變換求差分方程

例2.5.11

已知一個線性時不變系統(tǒng)的差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，設(shè)初始條件y(-1)=2，輸入求系統(tǒng)的輸出y(n)。

解：于是

零輸入解和零狀態(tài)解分別為，

892.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的零、極點分布與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點系統(tǒng)函數(shù)的極點分布與系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的時域特性用單位脈沖響應(yīng)表示，對進行傅里葉變換，得到

稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，或稱系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。

將進行Z變換，得到一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。91頻率響應(yīng)函數(shù)的表示

復(fù)函數(shù)

是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù)，用實部和虛部表示為

用幅度與相位表示為

的幅度響應(yīng)

的相位響應(yīng)

92

系統(tǒng)函數(shù)的表示

系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)

H(z):表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入序列z變換的比值

線性時不變系統(tǒng)93N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)因果輸入序列，零初始狀態(tài)，差分方程取z變換，得到N階差分方程的系統(tǒng)函數(shù)：線性時不變系統(tǒng)輸入和輸出滿足差分方程

94

與頻率響應(yīng)

在數(shù)值上等于H(z)在z平面單位圓上的取值（H(z)必須在單位圓上收斂）。

如果已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)，則可求得其頻率響應(yīng)，即

95頻率響應(yīng)的物理意義設(shè)輸入序列是頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列，則由線性卷積公式，得到系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)即：離散線性時不變系統(tǒng)對輸入為單頻復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)，仍為同頻率ω的單頻復(fù)指數(shù)序列。其幅度放大倍，相移變化為。

是一個與系統(tǒng)頻率特性有關(guān)的量，如果輸入為一般x(n)，則系統(tǒng)響應(yīng)為對輸入x(n)的所有頻率成分響應(yīng)的加權(quán)和。96正弦輸入序列的系統(tǒng)頻率響應(yīng)可見，當離散線性時不變系統(tǒng)輸入單頻正弦序列時，輸出仍為同頻率的單頻正弦序列，其幅度為頻率響應(yīng)幅度

的乘積，而相位為輸入相位θ與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。

972.6.2系統(tǒng)的極點分布與因果性和穩(wěn)定性

如何根據(jù)H(z)的極點分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性?因果穩(wěn)定的充分必要條件：一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的收斂域必須在某個圓的外部，該圓包含H(z)所有的極點，而且<1（收斂域必須包含單位圓）。即

Rx-＜|z|≤+∞，0＜Rx-＜1

如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則系統(tǒng)的所有極點都在單位圓內(nèi)。收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定；收斂域包含無窮遠，系統(tǒng)因果。98例：分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性例：已知一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試確定系統(tǒng)的收斂域，并分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

解：對H(z)的分母進行因式分解得極點為-0.25，-0.5；零點為0，0.5，如右圖所示。兩個極點把平面劃分為三個區(qū)域，所以H(z)的收斂域有三種可能的情況，下面分別進行討論。99

如果收斂域是極點-0.5所在的圓的外部區(qū)域，收斂域包含∞點，有，因此系統(tǒng)是因果的。系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為0.5＜|z|≤+∞

，而且包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點-0.25所在的圓的內(nèi)部區(qū)域，有，因此系統(tǒng)是逆因果的，收斂域為0≤|z|＜0.25。收斂域不包含單位圓，所以對應(yīng)系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。如果收斂域是極點-0.25和-0.5所在的兩個圓之間的環(huán)域，即0.25≤|z|＜0.5，收斂域不包含∞點，單位圓也沒有位于收斂域內(nèi)，所以對應(yīng)系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定的。100

【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。

解

H(z)的極點為z=a,z=a－1，如圖2.5.5所示。（1）收斂域為a－1<|z|≤∞:對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an－a－n)u(n)，這是一個因果序列，但不收斂。（2）收斂域為0≤|z|<a:對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a－n－an)u(－n－1)，這是一個非因果且不收斂的序列。（3）收斂域為a<|z|<a-1:對應(yīng)一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列。1012.6.3系統(tǒng)的零極點分布與系統(tǒng)頻率響應(yīng)

對系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式進行因式分解

H(z)在z=cr處有零點，在z=dr處有極點

N＞M時，在z=0處有一個(N-M)階零點

零點和極點分別由差分方程的系數(shù)ai和bi決定

除常數(shù)A外，系統(tǒng)函數(shù)完全由零點cr極點dr唯一確定

零、極點也是描述系統(tǒng)的一種方法，因為已知系統(tǒng)的零、極點分布，就可以大致了解系統(tǒng)的性能

102

將上式分子、分母同乘以zN+M，得到：設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)2頻率響應(yīng)的幾何確定法

零點矢量

：極點矢量：矢量的模即矢量長度；矢量的幅角是對應(yīng)矢量與正實軸的夾角。

103頻率響應(yīng)幾何確定法系統(tǒng)頻率響應(yīng)式可表示

幅度響應(yīng)等于各零點矢量長度之積除以各極點矢量長度之積，再乘以常數(shù)A

相位響應(yīng)等于各零點矢量的相角之和減去各極點矢量的相角之和，再加上線性分量ω(N-M)。

104頻率響應(yīng)幾何確定法圖示105零極點位置對頻率響應(yīng)的影響零點位置:

主要影響幅度響應(yīng)的谷點值及形狀。當B點旋轉(zhuǎn)到某個零點cr

附近時，如果零點矢量長度最短，則幅度響應(yīng)在該點可能出現(xiàn)谷點；零點cr

越靠近單位圓，零點矢量長度越短，則谷點越接近零；如果零點cr

在單位圓上，零點矢量長度為零，則谷點為零。

極點位置:

主要影響幅度響應(yīng)的峰值及尖銳程度。當B點旋轉(zhuǎn)到某個極點dr附近時，如果極點矢量長度最短，則幅度響應(yīng)在該點可能出現(xiàn)峰值；極點dr越靠近單位圓，極點矢量長度越短，則幅度響應(yīng)在峰值附近越尖銳；如果極點dr在單位圓上，極點矢量長度為零，則幅度響應(yīng)的峰值趨于無窮大，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。

106小結(jié)單位圓附近的零點位置對幅度響應(yīng)波谷的位置和深度有明顯的影響，零點可在單位圓外。在單位圓內(nèi)且靠近單位圓附近的極點對幅度響應(yīng)的波峰的位置和高度則有明顯的影響，極點在單位圓上，則不穩(wěn)定。利用直觀的幾何確定法，適當?shù)乜刂屏恪O點的分布，就能改變系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特性，達到預(yù)期的要求，因此它是一種非常有用的分析系統(tǒng)的方法。107

【例2.6.2】

已知H(z)=z-1，分析其頻率特性。

解：由H(z)=z－1，可知極點為z=0，幅頻特性|H(ejω)|=1,相頻特性φ(ω)=－ω，當ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時，極點向量的長度始終為1。

圖2.6.2

H(z)=z－1的頻響特性當ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時，極點向量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：位于原點處的零點或極點，由于零點向量長度或者極點向量長度始終為1，因此原點處的零極點不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性，但對相頻特性有貢獻。108【例2.6.3】

設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)用幾何法分析其幅度特性。解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點z=b，零點z=0，當B點從ω=0逆時針旋轉(zhuǎn)時，在ω=0點，由于極點向量長度最短，形成波峰；在ω=π點形成波谷；z=0處零點不影響幅頻響應(yīng)。極零點分布及幅度特性如圖所示。如果-1<b<0，則峰值點出現(xiàn)在ω=π處，形成高通濾波器。

109【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解

H(z)的極點為z=0，這是一個N階極點，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點有N個，由分子多項式的根決定

即N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如圖2.6.5所示。當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。110例2.6.4的梳狀濾波器的極零點分布及幅頻、相頻特性N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如圖2.6.4所示。當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。根據(jù)其形狀，稱之為梳狀濾波器。1112.6.4幾種特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其特點全通濾波器梳狀濾波器最小相位系統(tǒng)1121全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡(luò)，全通濾波器）

定義：如果濾波器的幅頻特性對所有頻率均等于常數(shù)或1.

表明信號通過全通濾波器后，幅度譜保持不變，僅相位譜隨φ(ω)改變，起純相位濾波作用全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的一般形式：

頻率響應(yīng)函數(shù)1131全通系統(tǒng)（全通網(wǎng)絡(luò)，全通濾波器）

或?qū)懗啥A濾波器級聯(lián)形式：全通濾波器零點與極點互為共軛倒易關(guān)系用零極點表示如下：

全通濾波器一組零極點示意

可以證明上式表示的濾波器具有全通幅頻特性114例：二階全通系統(tǒng)

例：

設(shè)二階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，并畫出相應(yīng)曲線。

解：2梳狀濾波器系統(tǒng)函數(shù)，其頻率響應(yīng)函數(shù)以2π為周期，將

的變量

用代替，得到的，其頻率響應(yīng)是以為周期的，所以在區(qū)間【0，2π】上就有

N個相同的頻率特性周期，從而可以構(gòu)成各種梳狀濾波器。115梳狀濾波器可以濾除輸入信號中的的頻率分量?？捎糜谙盘栔械碾娋W(wǎng)諧波干擾和其它頻譜的等間隔分布的干擾。11