§20.1一元二次方程

§20.1一元二次方程谷至民安徽省馬鞍山市第十三中學一、教學目標：知識與技能：了解一元二次方程的一般形式，熟練地將相關(guān)方程寫成一元二次方程的一般形式，準確確定一般形式中的過程與方法：經(jīng)歷一元二次方程的發(fā)現(xiàn)與歸納過程，運用類比和化歸的思想方法學習和探索新知。情感、態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學活動進一步促進數(shù)學思維的形成，理解“特殊與一般”的辯證關(guān)系，進而提升思維品質(zhì)。二、教學重、難點：重點：一元二次方程的歸納和一般形式的確定。難點：準確確定一元二次方程一般形式下的三、教材分析：一元二次方程是初中階段的第二種“基礎方程”，是在一元一次方程基礎上的進一步延伸。一元二次方程不但是重要的求值工具，而且其解法中的開平方法、配方法、因式分解法及根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系所蘊涵的數(shù)學思想和方法極其重要。要熟練掌握一元二次方程的解法，必須對一元二次方程的一般形式有準確的認識，因此準確理解一元二次方程概念，準確確認一般形式中的是學好一元二次方程的重要前提。四、教學設計：教學流程：活動一一元二次方程定義鞏固練習活動二一般形式應用舉例課堂練習課堂小結(jié)作業(yè)教學過程：(一)一元二次方程定義活動一：⑴誰知道“無公害蔬菜”是怎么回事？猜想一下這個詞產(chǎn)生的背景……（?。芇40“問題1”某地為增加農(nóng)民收入，需要調(diào)整農(nóng)作物種植結(jié)構(gòu)，計劃2007年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2005年翻一番。要實現(xiàn)這一目標，問：這兩年間無公害蔬菜產(chǎn)量的總增長率是多少？……（ⅱ）2006和2007年無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率應是多少？這兩個問題中的增長率有區(qū)別么？嘗試列方程加以說明，并嘗試化簡，你所列的兩個方程是同一種方程么？學生：思考，交流，列式，回答（分組思考，學生上黑板板演）。師生：辨析，引導無公害蔬菜與綠色食品；翻一番；單位1與輔助字母……結(jié)論：⑴涉及百分比（增減率）問題關(guān)鍵弄清“單位1”是誰。⑵年平均增長率與總增長率是有區(qū)別的！由于單位1的變化不能簡單的將第一問的總增長率二等分。⑶方程分別為：與。即：與前為一元一次方程，后為一元二次方程（對比引發(fā)歸納定義——盡量由學生完成）。定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程——quadraticequaionwithoneunknow.設計說明：（?。o公害蔬菜的問題關(guān)聯(lián)了“問題1”，同時拓展了數(shù)學課的外延，加強了學生對綠色和無公害的重要性的認知。目的是貼近社會熱點和生活，從而引起學生興趣，吸引學生的注意力，避開數(shù)學課“由數(shù)學到數(shù)學”的乏味怪圈，還數(shù)學的本質(zhì)與血肉——數(shù)學是源于生活而又服務于生活的。（ⅱ）加問這一問題是為了突破學生對增減率的慣性認知，為遞增（減）率的學習提供鋪墊，引起學生認知沖突（不少學生看到第二問的“平均”會去用第一問的增長率去二等分），引發(fā)學生反省——“思考再思考”來發(fā)現(xiàn)總增（減）率與遞增（減）率的區(qū)別；同時也是有意構(gòu)造出一個一元一次方程，為一元二次方程的概念的對比歸納埋下伏筆。鞏固練習：P41練習1.判斷下列方程中，哪些是一元二次方程？（投影、口答、追問理由）⑴⑶⑷⑹結(jié)論：三關(guān)鍵——一元、二次、整式方程！(二)一元二次方程的一般形式活動二：快速搶答P41練習1.⑵是幾元幾次方程？談談你的理由……（ⅲ）學生：思考，交流，搶答。師生：辨析，引導先整理再判斷?。ɑ旧峡梢杂蓪W生爭論得出）。結(jié)論：看問題應看實質(zhì)，不要被表面現(xiàn)象所迷惑（引出“一般形式”的話題）。一般形式：形如的方程叫一元二次方程的一般形式或標準形式。其中叫二次項，是二次項系數(shù)；叫一次項，是一次項系數(shù)；叫常數(shù)項。說明：⑴代數(shù)中的規(guī)范表達采用了前面我們學過的多項式的降冪排列形式，使人一目了然，應養(yǎng)成習慣。誰能快速說出一元三次方程的一般形式……（ⅳ）⑵為什么要（學生可以完成）。設計說明：（ⅲ）此練習的抽入是為引起向一般形式的過渡和思考。（ⅳ）適時適度鞏固拓展，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。(三)應用舉例P41“例”把方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。學生：對比板演。師生：辨析，點評。結(jié)論：⑴一般形式：二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是8。⑵注意：項及系數(shù)是帶符號的，如一次項是！一次項系數(shù)是而非5??！(四)課堂練習——分題投影1.牛刀小試：p42練習2.指出下列方程中的……（ⅴ）⑴⑵⑶⑷2.生活中的一元二次方程——列出方程后，將方程轉(zhuǎn)化成標準形式（不求解）。⑴P40“問題2”在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩縱一橫，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成6塊建成小花壇。要使花壇總面積為570，問小路的寬應為多少？……（ⅵ）⑵P42練習3.將48張桌子排成若干行，且每行的桌子數(shù)目相同，已知每一行的桌子數(shù)比總行數(shù)多2，求這些桌子排了多少行？3.打開思維：⑴P41練習1.第五小題：是一元二次方程么？說說你的看法……(ⅶ)⑵P42練習4.下面哪些數(shù)是方程的根？你有什么發(fā)現(xiàn)?……（ⅷ）0,1,2,3.設計說明：（ⅴ）此處拿掉文字說明，改為直接確定是為了加深學生對字母系數(shù)的關(guān)注，為后面的解法等知識點的學習做準備，同時這幾道題的講解應突出各系數(shù)的符號性及方程兩邊可同時乘使二次項系數(shù)為正數(shù)為要點。（ⅵ）“問題2”原來的作用是想與“問題1”一起來歸納一元二次方程定義，但經(jīng)過對“問題1”的處理，學生已經(jīng)能通過“問題1”兩個方程的對比認知一元二次方程的定義；其次從認知心理學的角度來說，學生的注意力在開課后8——10分鐘達到峰值，所以將“問題2”后置于練習，與“練習3”一并。在“問題2”的練習時應讓學生大膽思考回答，力爭從多角度加以解讀，特別是從圖形的平移的角度應作為重點加以突破。(ⅶ)此題單獨抽出是基于它的多種解讀途徑：一是突出對二次項系數(shù)的理解；二是對多字母在沒有確定誰是未知數(shù)時的思考的嚴密性的鍛煉（也可以是未知數(shù)?。?。（ⅷ）后面一問的添加是為了強化本題的承上啟下（由概念過渡到下節(jié)的解法）的作用。（五）課堂小結(jié)投影：⑴今天我們見到了哪種新方程？它的一般形式是怎樣的？為什么？其他種類的一元整式方程的一般形式會寫了么？⑵如何確定？哪兒容易出錯？⑶總增（減）率和遞增（減）率的區(qū)別關(guān)鍵是什么？⑷學習中應注意類比與轉(zhuǎn)化思想的運用?。┳鳂I(yè)：P42習題20.11、2、3.有興趣了解一元二次方程的解法的同學可以適當預習20.2。五、板書設計:左側(cè)：標題、定義、要點、注意事項中、右側(cè)：例題、練習、解答六、教學設計說明：1、關(guān)注課堂引入，化有痕為無痕，直接關(guān)注學生生活體驗和熱點，力爭信手拈來，短小精悍。2、關(guān)注學生認知前區(qū)，注意滲透類比，自然促成認知矛盾，激發(fā)探索興趣，提供探索平臺，促成結(jié)果發(fā)現(xiàn)，體驗成功，養(yǎng)成習慣，增強信心。3、關(guān)注練習的對應性和典型性。4、關(guān)注適度延展，承接認知后區(qū)。5、注意積極評價，分