廣西南寧市外國語學校2023年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

廣西南寧市外國語學校2023年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，隨機變量X的分布列如下表所示，隨機變量Y滿足，則當a在上增大時，關于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大2．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（）A.3 B.6C.8 D.123．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.644．在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（）A. B.C. D.5．已知是等差數(shù)列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.26．設正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且，則（）A. B.C. D.7．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.98．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.410．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.11．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則_______14．點到拋物線上的點的距離的最小值為________.15．在棱長為1的正方體中，___________.16．若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）設，分別是橢圓（）的左、右焦點，E的離心率為.短軸長為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過點的直線l交橢圓E于A，B兩點，是否存在實數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.19．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知直線經(jīng)過點，，直線經(jīng)過點，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設直線與直線的交點為，求外接圓的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先求得參數(shù)b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調(diào)性.【詳解】由得則，由得a在上增大時,增大.故選：A2、B【解析】根據(jù)橢圓中的關系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.3、B【解析】由等比數(shù)列的下標和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.4、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設與圓切點分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A5、C【解析】設的首項為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設的首項為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C6、B【解析】當可求得；當時，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可推導得到，由求得后，利用可求得結果.【詳解】當時，，解得：；當時，由得：，即，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗：滿足，，故選：B.7、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對數(shù)冪的互化和對數(shù)的運算公式即可解出不等式.【詳解】設該駕駛員至少需經(jīng)過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C8、A【解析】根據(jù)橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.9、A【解析】由橢圓的定義得，進而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A10、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C11、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應用定義法判斷條件間充分、必要關系.【詳解】當，，則，當時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A12、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先對函數(shù)求導，然后令可求出的值【詳解】因為，所以，則，解得故答案為：14、【解析】設出拋物線上點的坐標，利用兩點間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設拋物線上的點坐標，則，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：15、1【解析】根據(jù)向量的加法及向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：116、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動點的軌跡方程【詳解】點到點的距離比它到直線的距離少1，所以點到點的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，所以方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結合組合法求和，即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意，設公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.18、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設，，可得，，由此證明，再證明當直線的斜率不存在時也成立，由此確定存在實數(shù)t，使得恒成立【小問1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，，聯(lián)立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當直線l的斜率不存在時，，聯(lián)立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實數(shù)使得恒成立.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進行證明即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，交于點M，連接ME，則M為中點．根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)可證得，再由線面平行的判定定理可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判定可得證.【詳解】證明：（1）連接，交于點M，連接ME，則M為中點因為E、F分別是與的中點，所以，則，從而為平行四邊形，則又因為平面平面，所以平面（2）由平面，因為平面，所以而，M為的中點，所以因為，所以平面，由（1）有，故平面21、（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）對函數(shù)進行求導、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）對進行常變量分離，然后構造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導，判斷其單調(diào)性，進而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，.由，得.當變化時，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）對，恒成立，即對，恒成立.令，則.由得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學運算能力和分類討論思想.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩點式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關系即可求l2的方程；（2）先求出C點坐標，通過三角形的長度關系知道三