借助信息技術提升推理教學的四大法寶

借助信息技術提升推理教學的四大法寶柯郎在《什么是數(shù)學》的序言中這樣評述：今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴重的危機之中，數(shù)學工作者要對此負一定的責任。數(shù)學教學有時竟變成空洞的解題訓練。這種訓練雖可以提高推導的能力，但無法促進真正的理解與深入的獨立思考。那么，什么樣的數(shù)學教育才有利于真正的理解、有利于獨立思考呢？筆者認為是突出數(shù)學基本思想的數(shù)學教育?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出，將“雙基”改成“四基”。基礎教育階段，一種好的數(shù)學教育，應當更多地傾向于培養(yǎng)學生數(shù)學思維習慣：在錯綜復雜的事物中把握本質(zhì)，增強抽象能力；在雜亂無章的事物中理清頭緒，提高推理能力；在千頭萬緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)展建模能力。推理是數(shù)學基本思想之一。推理，是由一個或幾個已知命題推出一個新命題的思維形式，一般包括合情推理和演繹推理兩種。推理能使學生深刻地理解數(shù)學研究對象之間的邏輯關系，用抽象了的術語和符號清晰地描述這種關系。結合小學生以形象思維為主的特點，筆者合理使用現(xiàn)代信息技術，讓技術有效融入數(shù)學教學過程，從而讓推理過程不斷走向深入。一、觀察分享：利用生活經(jīng)驗讓演繹推理走向深入演繹推理是從事實（包括定義、公理、定理等）和規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。它的命題內(nèi)涵由大到小，是一種從一般到特殊的推理，是為了證明的推理。在學生學習新知后，教師讓學生借助演繹推理及時對特殊對象進行判斷，這是數(shù)學教學中常用的方法。特殊對象從哪里來？生活經(jīng)驗便是非常好的教學資源。弗蘭登塔爾認為，數(shù)學教育應當從學生熟悉的現(xiàn)實生活開始和結束。源于生活，用于生活，這才是活的數(shù)學。演繹推理的特征是邏輯的嚴謹。小學生的抽象思維還未發(fā)展成熟，作為教學資源的生活經(jīng)驗在演繹推理過程中的利用就顯得非常重要。根據(jù)實際需要，教師可以借助技術讓教學更有效地向課前延伸，讓學生課前收集相關資料后發(fā)送到平臺共享，一來可了解學生的生活經(jīng)驗，二來有利于培養(yǎng)學生的自主學習能力。技術在這里的介入，服務于自主學習和深度學習一學生的反饋更便捷，呈現(xiàn)的資源更豐富，互動評價更充分?！笆箤W生結合具體情境認識周期現(xiàn)象，探索并發(fā)現(xiàn)簡單周期現(xiàn)象中事物的排列規(guī)律”是蘇教版教材數(shù)學四年級上冊“簡單的周期”一課的教學目標之一。“周期現(xiàn)象”需要“結合具體情境”來認識，教材提供了一個節(jié)假日張燈結彩的生活情境，但僅有這些對于課堂教學來說是不夠的。為此，筆者設置了課前觀察分享和課上反饋檢驗的教學環(huán)節(jié)，讓學生通過某軟件平臺分享圈上傳自己課前收集的周期現(xiàn)象，再根據(jù)周期概念來推理，從而進一步比較深入地認識周期現(xiàn)象。課前收集：請找一找生活中的周期現(xiàn)象，并拍照上傳至某課堂平臺。課前談話：“大家找到了很多，看這是誰呀？好像被拍到了好幾次背影，浦某某成為班級的網(wǎng)紅了！這些是不是周期現(xiàn)象呢？學習新知后，再回答。”課上反饋：課前，大家預習后，還發(fā)現(xiàn)了很多生活中的周期現(xiàn)象。教師用課件出示豎紋衣物、橡皮和鉛筆、校園里的彩旗、家里的裝飾等。“一起看，能找到其中的周期現(xiàn)象嗎？”學生交流后指出：生活中的很多物品可根據(jù)周期規(guī)律來設計，周期有一種整齊、勻稱的美。二、錄屏交流：實踐操作讓演繹推理走向深入筆者讓學生通過演繹推理及時對特殊對象進行判斷，這里的特殊對象除了來自生活經(jīng)驗，還可以由實踐操作生成。思想的感悟和經(jīng)驗的積累，更主要的是依賴學生參與其中的數(shù)學活動，依賴學生的獨立思考，這是一種注重過程的教育，是學生理解數(shù)學的思維過程。小學生的抽象思維沒有發(fā)展成熟，作為教學資源的實踐操作在演繹推理過程中的融合尤為必要。根據(jù)實際需要，筆者借助技術讓課堂充分展現(xiàn)學習過程，讓學生將思維過程完整錄屏后發(fā)送平臺分享圈，一來便于教師了解學生的思維軌跡，二來有利于培養(yǎng)學生的自主學習能力。技術在這里的介入，服務于個性學習和深度學習一一學生的個性化思維得到充分彰顯，有正確的也有錯誤的，有循規(guī)蹈矩的也有標新立異的。“用圖形設計周期進一步認識周期現(xiàn)象，探索并發(fā)現(xiàn)簡單周期現(xiàn)象中事物的排列規(guī)律”也是蘇教版教材數(shù)學四年級上冊“簡單的周期”一課的教學目標之一。在結合具體情境認識周期現(xiàn)象后，教材還編排了請學生根據(jù)提供的幾何圖形設計周期的活動。筆者嘗試讓學生利用平板電腦在某平臺上用彩色的幾何圖形來設計周期（如圖1）。理由有三：一是平臺畫圖操作方便，易于修改；二是平臺畫圖能夠清晰地呈現(xiàn)復制圖形的過程，不斷強化“重復出現(xiàn)”這一關鍵要素；三是平臺畫圖能夠多元化地呈現(xiàn)作品。之后，再通過正反例的辨析與變式，讓學生根據(jù)周期概念來推理，從而進一步深入地認識周期現(xiàn)象。圖1用幾何圖形設計周期課前設計：請選擇圖形設計周期，總數(shù)12個，并錄屏上傳某課堂平臺。課上反饋：大家都很有主見，很多同學給某某點贊，也有同學提出修改建議。這些是大家設計的周期，一起來判斷它們是否為周期。筆者出示例子，讓學生辨析是否為周期。其中第二幅圖不是周期，請學生變化一個圖形或者兩個圖形，使它成為周期，最后演示第三幅圖，讓學生明白：從不同的角度觀察，可以發(fā)現(xiàn)不同的周期規(guī)律（如圖2）。▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲(1)⑵▲-（3）圖2探究周期規(guī)律三、動態(tài)演示：直觀想象讓歸納推理走向深入合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，是為了推斷的推理。其中，歸納推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。小學生學習數(shù)學過程中，很多概念、法則的獲得都通過不完全歸納法實現(xiàn)，需要從經(jīng)驗和概

念出發(fā)，借助“歸納推理”推斷數(shù)學結果的可能性。歸納推理的特征在于想象的豐富。一個好的歸納推理過程，應當直觀生動、豐富多樣，能夠充分展現(xiàn)小學生的想象能力、抽象能力；應當讓小學生體會知識形成的過程，感悟歸納推理的方法和效能。這時候，幾何畫板可以很好地輔助數(shù)學教學。它具有很強的幾何圖形生成和變化功能，可幫助學生從動態(tài)中去觀察、探索和發(fā)現(xiàn)對象之間的數(shù)量變化關系與空間結構關系。幾何畫板是數(shù)學實驗中的有效工具，具有傳統(tǒng)的一塊黑板、一支粉筆無法比擬的優(yōu)勢。蘇教版教材數(shù)學五年級上冊“多邊形的面積”單元教學結束后，筆者嘗試設計了一節(jié)基于該單元的思維練習拓展課。筆者參考一位特級教師設計的習題進行再設計，并借助幾何畫板的強大功能讓學生基于直觀表象充分想象，在經(jīng)歷歸納推理的過程中進一步感悟多邊形特征及相互關系。首先，筆者用課件出示問題：已知一個平面圖形中兩條互相垂直的線段長度分別是8厘米和5厘米，就能計算出它的面積，你們能想象出這是一個怎樣的平面圖形嗎？請在方格圖里畫一畫。（每個小方格邊長1厘米，底和高取整厘米數(shù)。）接著筆者讓學生理解題意。學生獨立嘗試畫出多種可能圖形后反饋交流。情境一：豎線段在橫線段一邊（幾何畫板演示如圖3和圖4）。交流明確：能畫出無數(shù)個像這樣符合要求的三角形，即只要以一條邊為底，然后在對面的平行線上任意找到一個點連接，組成的三角形都是等底等高的。同樣，能畫出無數(shù)個像這樣符合要求的平行四邊形或長方形。無法畫出梯形。圖3豎線段左右移動，形成等底等高、不斷變化的平行四邊形（含長方形）掃碼看視頻圖6豎線段上下、左右移動，形成不斷變化的多邊形（二）交流明確：能畫出無數(shù)個像這樣符合要求的情境二：豎線段在橫線段兩邊（幾何畫板演示如圖5和圖6圖3豎線段左右移動，形成等底等高、不斷變化的平行四邊形（含長方形）掃碼看視頻圖6豎線段上下、左右移動，形成不斷變化的多邊形（二）交流明確：能畫出無數(shù)個像這樣符合要求的多邊形，即高左右平移，上下平移。接下來計算面積。交流發(fā)現(xiàn)：上下每組多邊形面積相等，等積變形。最后進行反思提升。交流明確：換個角度，可以畫出很多符合要求的圖形；遇到比較復雜的多邊形，換個角度，難題就變得簡單了，這里其實應用了轉(zhuǎn)化思想。四、多重變化：轉(zhuǎn)化思想讓類比推理走向深入合情推理中的類比推理是一種從特殊到特殊的推理，即已知一類事物的屬性，參照這些已知屬性對另一類事物的相似屬性進行推斷。從某種角度看，很多數(shù)學學習是在不斷轉(zhuǎn)化的過程中完成類比推理的，將新知轉(zhuǎn)化成舊知，將復雜轉(zhuǎn)化成簡單，當然也可以突破定式、逆向而行。不管怎樣的轉(zhuǎn)化過程，最終都指向知識的融會貫通，指向思維的靈活性和深刻性。小學生合情推理的主要矛盾還是在于抽象和形象的矛盾，技術融入是化解這一矛盾的有效措施。有效的技術融入可以將復雜的數(shù)學問題變得簡單，有助于探索解決問題的思路，推斷結果。多邊形的面積，小學數(shù)學教材呈現(xiàn)的學習路徑是平行四邊形一三角形一梯形，能否從轉(zhuǎn)化的角度來深入探究呢？筆者研讀《小學數(shù)學文化》一書后得到啟發(fā)，嘗試引導學生倒過來從梯形面積推導三角形和平行四邊形面積。同樣，借助幾何畫板能讓學生充分感受多重變化的動態(tài)過程，在經(jīng)歷類比推理的過程中進一步感悟多邊形關系及面積內(nèi)涵。第一步，變化圖形。師：如果一個梯形上下底的和是10厘米，高是4厘米，它的形狀會是怎樣的？在方格圖里畫一畫，并分別標出上下底的長度。（每個小方格邊長1厘米，上下底取整厘米數(shù)。）交流明確表1信息，并且發(fā)現(xiàn)：如果上下底都是5厘米，梯形就會變成平行四邊形或長方形；如果上底是0,梯形就會變成三角形。進一步交表1圖形參數(shù)變化上底（厘米）1234下底（厘米）9876高（厘米）4444流明確：在這樣的變化過程中，形狀變了，但面積不變，等積變形。第二步，換個角度整理公式。師：平行四邊形、長方形、三角形等都可以看成特殊的梯形?？梢愿鶕?jù)梯形面積公式來推導其他多邊形的面積公式嗎？師：根據(jù)梯形的面積公式，怎樣推導平行四邊形的面積公式？學生觀察動態(tài)演示過程，理解后回答，略。第三步，反思。交流明確：換個角度，學生對多邊形面積的理解就更深刻了，這里應用了轉(zhuǎn)化