2024屆湖南省常德市芷蘭實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆湖南省常德市芷蘭實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，當有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或2．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.33．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題4．已知直線過點，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.5．為了了解1200名學(xué)生對學(xué)校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.126．設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.9．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.710．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.11．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5012．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______14．分別過橢圓的左、右焦點、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________15．已知點P是橢圓上的一點，點，則的最小值為____________.16．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）籃天技校為了了解車床班學(xué)生的操作能力，設(shè)計了一個考查方案；每個考生從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成零件加工，規(guī)定：至少正確加工完成其中個零件方可通過．道備選題中，考生甲有個零件能正確加工完成，個零件不能完成；考生乙每個零件正確完成的概率都是，且每個零件正確加工完成與否互不影響（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列（列出分布列表）；（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學(xué)期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且．數(shù)列是等比數(shù)列，，（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）如圖在直三棱柱中，為的中點，為的中點，是中點，是與的交點，是與的交點.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求直線與平面的距離.20．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，求此圓的標準方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知得集合M表示以點圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點為，集合N表示以點為圓心，以r為半徑的圓，當圓C與圓O相外切于點P，有且僅有一個元素時，圓C過點M時，有且有兩個元素，當圓C過點N，有且僅有一個元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點為，集合表示以點為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當圓C與圓O相外切于點P時，有且僅有一個元素時，此時，當圓C過點M時，有兩個元素，此時，所以，當圓C過點N時，有且僅有一個元素，此時，所以，所以當有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為或，故選：B.2、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B3、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B4、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C5、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結(jié)果.【詳解】由總數(shù)為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.8、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標，然后進行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當最小時，則值最大，所以當直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標為1，即P的坐標，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化9、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D10、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A12、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因為,所以,圓的圓心的坐標為，半徑，將圓化為標準方程為，其圓心的坐標為，半徑，圓心距，兩圓內(nèi)切，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.14、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點，即，即，，即.故填：.【點睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是常考題型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.15、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當x=1時，最小.故答案為：.16、【解析】取的中點，連接，，過點A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點，連接，，過點A作，交DE的延長線于點，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因為三棱錐的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點O作OF⊥AH于點F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析（2）甲的試驗操作能力較強，理由見解析【解析】（1）設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，計算出兩個隨機變量在不同取值下的概率，可得出這兩個隨機變量的概率分布列；（2）計算出、、、的值，比較、的大小，以及、的大小，由此可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：【小問2詳解】解：，，，，所以，，從做對題的數(shù)學(xué)期望分析，兩人水平相當；從通過考查的概率分析，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的試驗操作能力較強.18、（1），（2）【解析】（1）利用求出通項公式，根據(jù)已知求出公比即可得出的通項公式；（2）利用錯位相減法可求解.【小問1詳解】因為數(shù)列的前項和為，且，當時，，當時，，滿足，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，所以；【小問2詳解】因為，，則，兩式相減得，所以.19、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）法一：通過建立空間直角坐標系，運用向量數(shù)量積證明，法二：通過線面垂直證明，法三:根據(jù)三垂線證明；（2）法一：通過建立空間直角坐標系，運用向量數(shù)量積證明，法二：通過面面平行證明線面平行；（3）法一：通過建立空間直角坐標系，運用向量方法求解，法二：運用等體積法求解.【小問1詳解】證明：法一：在直三棱柱中，因為，以點為坐標原點，方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.因為，所以，所以所以，所以.法二：連接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，則，因為，所以面因為面，所以因為，所以四邊形為正方形，所以因為，所以面因為面，所以.法三：用三垂線定理證明：連接，在直三棱柱中，有面因為面，所以，又，則，因為，所以面所以在平面內(nèi)的射影為，因為四邊形為正方形，所以，因此根據(jù)三垂線定理可知【小問2詳解】證明：法一：因為為的中點，為的中點，為中點，是與的交點，所以、，依題意可知為重心，則，可得所以，，設(shè)為平面的法向量，則即取得則平面的一個法向量為.所以，則，因為平面，所以平面.法二：連接.在正方形中，為的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以又為中點，所以四邊形是矩形，所以且因為且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小問3詳解】法一：由（2）知平面的一個法向量，且平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等，，所以，所以點到平面的距離所以到平面的距離為法二：因為分別為和中點，所以為的重心，所以，所以到平面的距離是到平面距離的.取中點則，又平面平面，所以平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等.設(shè)點到平面的距離為，由得，又，所以，所以到平面的距離是，所以到平面的距離為.20、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得21、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦