在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中球形導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷的分布

點(diǎn)電荷電場(chǎng)中球形導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷的分布姜樹(shù)青（浙江省平湖中學(xué)，浙江平湖314200）摘要：在點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)中，導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，由于靜電感應(yīng)，其表面有感應(yīng)電荷分布．本文擬對(duì)球形導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷的分布及相關(guān)問(wèn)題作出定量探討．關(guān)鍵詞：感應(yīng)電荷面密度最近點(diǎn)最遠(yuǎn)點(diǎn)界心角關(guān)鍵詞：感應(yīng)電荷面密度最近點(diǎn)最遠(yuǎn)點(diǎn)界心角切心角角差1問(wèn)題的提出如右圖1所示，導(dǎo)體球半徑為R,點(diǎn)電荷與球心相距為r（r〉1問(wèn)題的提出如右圖1所示，導(dǎo)體球半徑為R,點(diǎn)電荷與球心相距為r（r〉R）,整個(gè)裝置置于真空中.試討論在電鍵k接通和斷開(kāi)兩種情況下，導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷的分布規(guī)律.2求解和討論點(diǎn)2荷2.1電鍵k接通情形2.1.1導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷分布的定量表達(dá)式我們知道，導(dǎo)體球外部空間的電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷Q和球面感應(yīng)電荷共同疊加形成的．依據(jù)電像理論，球面感應(yīng)電荷對(duì)外部空間的電場(chǎng)貢獻(xiàn)，可由點(diǎn)電荷Q的像點(diǎn)電荷q‘等效替代.q‘位于Q與導(dǎo)體球心O連線上，距球心為X.這里q，和X之值為：,R2r=——，

r畫(huà)出點(diǎn)電荷r為正、負(fù)電性兩種情形球面某點(diǎn)P的合電場(chǎng)E如圖2P甲、乙所示.圖中E方向總與球面垂直，當(dāng)Q為正電性時(shí)，E方向PP沿徑向指向球心；當(dāng)Q為負(fù)電性時(shí)，沿徑向指向球心；當(dāng)Q為負(fù)電性時(shí)，E方向沿徑向指向球外.只要Rq，在P點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)Ep的大?。ㄍ茖?dǎo)過(guò)程從略）:(r2－(r2－R2)E-PkQ于是P點(diǎn)感應(yīng)電荷面密度。卩為E （r2－R2）c= —=—p4于是P點(diǎn)感應(yīng)電荷面密度。卩為E （r2－R2）c= —=—p4兀k 4兀R（（廠2+R2—2rRcos0）3表達(dá)式中前面的“一”號(hào)表示感應(yīng)電荷的電性與Q相反.由上式可知，在Q、R及r都確定下，球面上感應(yīng)電荷的面密度。只與。有關(guān).在。于范圍0?2n以內(nèi)，。總與Q符號(hào)相反，即整個(gè)導(dǎo)體球面上都分布著與Q電性相反的感應(yīng)電荷，且感應(yīng)電荷的分布關(guān)于Q與球心O的連線對(duì)稱.1）—e關(guān)系如圖3所示.我們知道，導(dǎo)體球接地時(shí)，整個(gè)球體電勢(shì)視

為0，設(shè)整個(gè)球面感應(yīng)電荷的總量為q，由電總感磁學(xué)知識(shí)易得q之值：總感kQ/r+kq /R=0，總感2）2）q總感=－RQ/r．總感一個(gè)自然要提出的疑問(wèn)是：按上述（1）式分布的球面感應(yīng)電荷，整個(gè)球面感應(yīng)電荷的總量是否也收斂到（2）式的結(jié)果呢？對(duì)（1）式作球面積分：q =JJcds=JJcR2sin0d申dO總感00sineTOC\o"1-5"\h\z=-QR(r2一R2)J飾L 習(xí) desinec30 0(r2+R2一2rRcosO)QR("—R2)-2兀?[一1(r2+R2-2rRcosO)一2"4兀 rR 0QR(r2一R2) 2=— ?2兀?一r(r2—R2)

可見(jiàn)，兩種方法所得結(jié)果一致．2.1.2球面最近點(diǎn)感應(yīng)電荷的面密度。近C=一(+RQ近 4兀R(r-R)2如圖j如圖C=一(+RQ近 4兀R(r-R)2如圖j設(shè)想Q距球心的距離發(fā)生變化：rfR時(shí)，|。|f-，即當(dāng)點(diǎn)電荷Q由遠(yuǎn)及近以至充分近接近球面時(shí)，理論上球面最近點(diǎn)感應(yīng)電荷面密度的絕對(duì)值逐漸增大并趨于無(wú)窮大;r—8時(shí)，。|f0.畫(huà)出|。|—r關(guān)系如圖4所示.近 近2.1.3球面最遠(yuǎn)點(diǎn)感應(yīng)電荷的面密度。遠(yuǎn)如圖2中，球面上距Q最遠(yuǎn)點(diǎn)N，以下簡(jiǎn)稱最遠(yuǎn)點(diǎn).令（1）式中e=n，得到球面最遠(yuǎn)點(diǎn)感應(yīng)電荷的面密度4)c一(r-R)Q4)遠(yuǎn) 4兀R(r+R)2畫(huà)出|。|—r關(guān)系如圖5所示.在遠(yuǎn)rfR和rfg兩種極端情況下，均有。」一0，故適當(dāng)取r值，|。一|可取極遠(yuǎn)； 遠(yuǎn)；大值.極值點(diǎn)的位置在何處？把（4）式變形為(r-R)Qc=—遠(yuǎn) 4兀R(r+R)21 ，4R2(r-R)+4R +4R](r-R)可知：當(dāng)（r-R）=4R2/（r-R），即r=3R時(shí)，|取極大值（另遠(yuǎn)一根r=—R舍棄），此時(shí)。為遠(yuǎn)c=-（r-R）Q]―亠.遠(yuǎn)max 32nR2如果設(shè)想把一Q的電量全部導(dǎo)入一半徑為R的中性絕緣導(dǎo)體球，則當(dāng)—Q在導(dǎo)體球面上均勻分布后，電荷的面密度為。'=—Q/4nR2.顯

然，上述最遠(yuǎn)點(diǎn)處的感應(yīng)電荷面密度。 也才是。'的1/8.可見(jiàn)遠(yuǎn)max最遠(yuǎn)點(diǎn)處感應(yīng)電荷分布得較“稀疏”.2.1.4感應(yīng)電荷面密度之比。/o及其隨r的變化近遠(yuǎn)球面最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)感應(yīng)電荷面密度的比值為(r+R)Q

4nR(r—R)4兀R(r+R)2

(r+R)Q

4nR(r—R)4兀R(r+R)2

(r—R)Q=(1+5)由（5）式可以看出，當(dāng)點(diǎn)電荷Q與球心距離r在區(qū)間（R,?）內(nèi)逐漸增大時(shí)，o/o從無(wú)窮大逐漸近遠(yuǎn)衰減并趨于1.這表明當(dāng)點(diǎn)電荷Q與導(dǎo)體球逐漸遠(yuǎn)離時(shí)，o和。一近 遠(yuǎn)方面均漸減小且趨于0,另一方面球面感應(yīng)電荷的分布也漸趨均勻.畫(huà)出。/o——r關(guān)系如圖6所示.近遠(yuǎn)表1列出由（5）式求出的幾個(gè)Ber100R10.0R3.00R2.00R1.50R1.10R1.01Ro/o 近 遠(yuǎn)—1.0621.8268.00027.00125.092618.121X106r值所對(duì)應(yīng)的0近/o遠(yuǎn)之值’以便比較.表1 近—遠(yuǎn)_—: : : : : : 2.1.5右半球面感應(yīng)電量g一占整個(gè)球面感應(yīng)總電量q的百分比遠(yuǎn)半 總感在圖1中，我們把導(dǎo)體球面分成靠近Q一側(cè)的左半球面和遠(yuǎn)離Q一側(cè)的右半球面，感應(yīng)電量分別記為q和qq遠(yuǎn)半為近半遠(yuǎn)半.右半球面的電量q遠(yuǎn)半右半球面）cds= d申 c-r2sin0d0o 企2|冗Q|冗Q(r2—R2)=2兀[2RsinG3(r2+R2—2Rrcos6)2]d6=(r2—R2)QR (r2+=(r2—R2)Rr-[Rr(r2—R2)Q2r

可以證明，在r-R下，上述q-0.前已討論，當(dāng)r_R時(shí)，遠(yuǎn)半最遠(yuǎn)點(diǎn)|。 |—0，最近點(diǎn)|。 I—?;而由球面感應(yīng)總電量遠(yuǎn)近q、=—RQ/r知，當(dāng)r—R時(shí)，q——Q.如果我們把上述變化綜合總感 總感起來(lái)考查，展現(xiàn)在眼前的是這樣一幅物理圖景：隨著點(diǎn)電荷Q逐漸向?qū)w表面移近，整個(gè)球面感應(yīng)電荷的總量逐漸增大并趨于一Q,感應(yīng)電荷的分布也逐漸向左半球面聚攏，最終感應(yīng)電荷幾乎全部地聚集于最近點(diǎn)處.這是不難理解的，因?yàn)楫?dāng)r—R時(shí)，點(diǎn)電荷Q非常接近導(dǎo)體球面，對(duì)點(diǎn)電荷Q而言，球面則相當(dāng)于“無(wú)窮大的平面”了，它發(fā)出的電場(chǎng)線將幾乎全部地終止于球面上最近點(diǎn)附近很小的面積區(qū)域內(nèi).右半球面感應(yīng)電量q一與整個(gè)球面感應(yīng)總電量q、之比為遠(yuǎn)半 總感(r2-R2)Q 1 1—. ———q遠(yuǎn)半= 2r (廠2+R2r+Rq RQ總感 — r)．6)r2—)．6)2R表2列出由⑹求得的幾個(gè)r值下的q遠(yuǎn)半人總感百分比之值，供讀者比較.表2r1.01R1.10R1.50R2.00R10.0R100Rq一/q、遠(yuǎn)半 總感(X100%)0.2071%2.063%9.668%17.08%42.54%49.25%由上表可直觀地看到，隨著點(diǎn)電荷Q逐漸向?qū)w球靠近，導(dǎo)體球遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷Q一側(cè)的半球面所帶電量q占整個(gè)導(dǎo)體球面感應(yīng)總遠(yuǎn)半電量q的百分比越來(lái)越小，或者說(shuō)導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷的分布重心逐總感漸向靠近點(diǎn)電荷Q一側(cè)移動(dòng)，而當(dāng)點(diǎn)電荷Q逐漸遠(yuǎn)離導(dǎo)體球時(shí)，遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷Q一側(cè)的半球面所帶電量q占整個(gè)導(dǎo)體球面感應(yīng)總電量遠(yuǎn)半q的百分比越來(lái)越趨近于50％.總感2.2電鍵k斷開(kāi)情形當(dāng)k斷開(kāi)時(shí)，根據(jù)電像理論，導(dǎo)體球表面電荷在球外空間的電場(chǎng)貢獻(xiàn)可由兩個(gè)像電荷q'、q〃共同等效替代：q，和“2.1電鍵k接

通情形”完全相同，而q〃置于球心，電量為導(dǎo)體球帶電量與q，之差．以下本文只對(duì)整個(gè)導(dǎo)體為電中性情形作出討論．2.2.1整個(gè)導(dǎo)體球?yàn)殡娭行郧樾蜗?，表面感?yīng)電荷分布的定量表達(dá)式此時(shí)球外空間的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷Q及兩個(gè)像電荷q'、q〃共同產(chǎn)生,q，=_q"=—RQ/r.三者在球面外側(cè)附近的合場(chǎng)強(qiáng)E方向沿法線，大小為(r2—R2) kQ 了q"TOC\o"1-5"\h\zE=— - +k—R (r2+R2—2rRcos0)3 r2r2－R2) kQ Q? +k—于是球面某點(diǎn)P感應(yīng)電荷面密度表達(dá)為Q(r2—R2)c=—R (于是球面某點(diǎn)P感應(yīng)電荷面密度表達(dá)為Q(r2—R2)c=—7)故令（77)故令（7）式。=0,得4兀R（r2+R2—2rRcos6）3 4兀rR2.2.2中性導(dǎo)體球面上感應(yīng)電荷的界心角右圖7為中性導(dǎo)體球在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的剖面圖，A、A為圓周上正、負(fù)感應(yīng)電荷的12分界點(diǎn)（圖中以正點(diǎn)電荷Q為例畫(huà)出）.我們定義，分界點(diǎn)A、A和圓心O的連線所夾靠12R2+r2—*'r2(r2—R2R2+r2—*'r2(r2—R2)9二arccos—1這里。、1R2+r2—3r2(r2—R2)22, 9二2兀一arccos2Rr 2 2Rr9分別對(duì)應(yīng)圖7中A和A兩分界點(diǎn).于是界心角為2128)2RrR2+r2—3：r2r2—R2)2a二29二8)2Rr1可以證明，（8）式在r—R和r—g下，分別有a一。和a一兀，表明隨著點(diǎn)電荷Q接近中性絕緣導(dǎo)體球，與Q異性的感應(yīng)電荷只分布在球面上很小比例的面積區(qū)域內(nèi)；而當(dāng)Q遠(yuǎn)離中性絕緣導(dǎo)體球并趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，球面上正、負(fù)感應(yīng)電荷的分布均漸趨占據(jù)半個(gè)球面.2.2.3中性導(dǎo)體球面感應(yīng)電荷的界心角和切心角的關(guān)系

過(guò)點(diǎn)電荷Q向?qū)w球做切線，剖面如圖8所示.其中B］、B2為兩個(gè)切點(diǎn).為敘述方便，把切點(diǎn)B］、B2和圓心O的連線所夾靠近點(diǎn)電荷Q一側(cè)的角ZBOB叫切心角，用卩表示，有卩=2arccos蘭?r有人從“想當(dāng)然”出發(fā)，錯(cuò)誤地認(rèn)為導(dǎo)體球感應(yīng)電荷的界心角a等于切心角卩.以下我們用反證法證明，只有在r一R和r-g兩種極端情況下二者相等外，其它情況下并不相等．a(chǎn)=2arccosm3-2m+—m卩=2arccos—.m亦即1m+—-m2: c 1a=2arccosm3-2m+—m卩=2arccos—.m亦即1m+—-m2: c 1■m3-2m+一m|]

m3'm3-2m+—3 m<m2-1兩邊同時(shí)立方并整理，得到（m2-1）2<0因r>R,必有r/R二m〉l，故上面不等式不成立！結(jié)論：只要滿足條件g>r>R，必有a>卩，即導(dǎo)體球感應(yīng)電荷的界心角a總大于切心角卩.2.2.4角差及其極值把界心角a與切心角卩之差叫角差，用y表示.有1■n1