初始孔壓分布形式對豎向排水井地基固結(jié)的影響

初始孔壓分布形式對豎向排水井地基固結(jié)的影響

關(guān)于垂直排水井地板固結(jié)的分析和設(shè)計計算，國內(nèi)外均以相應(yīng)的分析理論為基礎(chǔ)。Barron首先給出了等應(yīng)變和自由應(yīng)變兩種極端情況下的砂井理論,Yoshikuni等人建立了嚴(yán)密的自由應(yīng)變條件下考慮井阻作用的豎向排水井理論,Hansbo給出了等應(yīng)變條件下考慮井阻和涂抹作用的豎向排水井理論,謝康和等證明并提出了與Carrillo理論相適應(yīng)的等應(yīng)變條件下考慮徑豎向組合滲流的豎向排水井固結(jié)方程并得到了解析解。在豎向排水井地基數(shù)值解方面,一般以Biot固結(jié)方程和有限元法為基礎(chǔ),如趙維炳提出了分析豎向排水井地基固結(jié)的平面應(yīng)變有限元法。近年來,亦有不少學(xué)者開展了關(guān)于豎向排水井地基固結(jié)的其他研究工作,如李小勇將概率方法引入豎向排水井地基固結(jié)的分析中,得出了豎向排水井地基概率設(shè)計的簡化分析方法。但是,現(xiàn)有研究大都建立在初始孔壓沿深度是均布的假定之上,而在實際工程中,外部荷載并非連續(xù)的均布荷載,其在地基中產(chǎn)生的附加應(yīng)力是沿深度變化的,也即初始孔壓沿深度是非均布的。因此,研究考慮初始孔壓非均布的豎向排水井地基的固結(jié)問題,既有理論意義也更有實際價值。本文首先推導(dǎo)等應(yīng)變條件下初始孔壓任意分布的豎向排水井地基固結(jié)一般解,并具體給出初始孔壓呈梯形、正三角形和倒三角形等分布形式時的完整解析解,然后以這些解為基礎(chǔ),編制計算程序,繪制有關(guān)固結(jié)曲線,并就初始孔壓分布形式對豎向排水井地基固結(jié)性狀的影響進(jìn)行分析和討論。最后結(jié)合某工程實例分析,將本文理論和現(xiàn)有理論的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)作比較。1數(shù)學(xué)模型1.1豎向排水井的滲透系數(shù)及豎向規(guī)劃圖1為豎向排水井地基固結(jié)計算簡圖,圖中H為地基軟土層厚度;rw、rs、re分別為豎向排水井半徑、涂抹區(qū)半徑和影響區(qū)半徑;kw、kv、kh、ks分別為豎向排水井的滲透系數(shù)、地基原狀土豎向滲透系數(shù)、水平向滲透系數(shù)和涂抹區(qū)土體滲透系數(shù);mv為土體體積壓縮系數(shù);uw、us、un分別為豎向排水井內(nèi)任一深度的超靜孔壓、涂抹區(qū)內(nèi)和未擾動區(qū)(即原狀土)內(nèi)任一點(diǎn)的孔壓;r、z為徑向及豎向坐標(biāo)。地基排水條件為單面排水或雙面排水。1.2豎向排水井與土體內(nèi)部滲流隨徑向的規(guī)律本文作以下假定:(1)等應(yīng)變條件成立,即豎向排水井地基中無側(cè)向變形,同一深度上任一點(diǎn)的豎向變形是相等的;(2)土中水的滲流服從Darcy定律;(3)任一深度處從土體中沿井周流入豎向排水井的水量等于從豎向排水井中流出的水量的增量;(4)涂抹區(qū)土體與未擾動區(qū)土體除徑向滲透系數(shù)不同外,其他性質(zhì)相同;(5)豎向排水井內(nèi)徑向滲流可以忽略,孔壓uw沿徑向不變;(6)初始孔壓非均布。1.3固結(jié)方程的計算條件根據(jù)本文假定,可得到豎向排水井地基固結(jié)方程?εv?t=-mv?ˉu?t(1)-ksγw(1r?us?r+?2us?r2)-kvγw?2ˉu?z2=?εv?t(rw≤r≤rs)(2)-khγw(1r?un?r+?2un?r2)-kvγw?2ˉu?z2=?εv?t(rs≤r≤re)(3)?εv?t=?mv?uˉ?t(1)?ksγw(1r?us?r+?2us?r2)?kvγw?2uˉ?z2=?εv?t(rw≤r≤rs)(2)?khγw(1r?un?r+?2un?r2)?kvγw?2uˉ?z2=?εv?t(rs≤r≤re)(3)以及井周的流量連續(xù)方程?2uw?z2=-2ksrwkw?us?r|r=rw(4)?2uw?z2=?2ksrwkw?us?r|r=rw(4)式中:εv為任一深度土體的體積應(yīng)變;ˉuuˉ為任一深度的平均孔壓。平均孔壓可表示為ˉu=1π(r2e-r2w)(∫rsrw2πrusdr+∫rers2πrundr)(5)uˉ=1π(r2e?r2w)(∫rsrw2πrusdr+∫rers2πrundr)(5)式(1)～式(3)固結(jié)方程的求解條件如下。邊界條件:①r=re∶?un?r=0;②r=rs∶ks?us?r=kh?un?r;③r=rs∶us=un;④r=rw∶us=uw;⑤z=0∶uw=0,ˉu=0;⑥z=Η∶?uw?z=0,?ˉu?z=0(單面排水),uw=0,ˉu=0(雙面排水)。初始條件:t=0∶ˉu(z)=u0(z),其中u0(z)為沿深度任意分布的初始孔壓。2方程解2.1豎向排水井中孔壓uwus=γw2ks(r2elnrrw-r2-r2w2)(?εv?t+kvγw?2ˉu?z2)+uw(rw≤r≤rs)(6)un=[γw2kh(r2elnrrs-r2-r2s2)+γw2ks(r2elns-r2s-r2w2)](?εv?t+kvγw?2ˉu?z2)+uw(rs≤r≤re)(7)式中:s=rs/rw,為涂抹區(qū)半徑與豎向排水井半徑之比。將式(6)、式(7)代入式(5),并利用式(1),可得:ˉu=-r2eFa2ch(?ˉu?t-cv?2ˉu?z2)+uw(8)式中:Fa=(lnns+khkslns-34)n2n2-1+s2n2-1(1-khks)(1-s24n2)+khks1n2-1(1-14n2);cv=kvmvγw,ch=khmvγw,分別為地基土的豎向和徑向固結(jié)系數(shù);n=re/rw,為井徑比。結(jié)合式(1)、式(4)、式(6)和式(8),可得:?2uw?z2=-(n2-1)2r2eFakhkw(ˉu-uw)(9)將邊界條件⑤代入式(9),可得新的邊界條件:⑦z=0:?2uw?z2=0(單面或雙面排水)。將式(9)關(guān)于z求導(dǎo),并利用邊界條件⑥還可得到:⑧z=H:?3uw?z3=0(單面排水);⑨z=H:?2uw?z2=0(雙面排水)。聯(lián)立式(8)和式(9),可得:cv?4uw?z4-?3uw?z2?t-ch2r2eFa[1+kvkw(n2-1)]?2uw?z2+(n2-1)2r2eFakhkw?uw?t=0(10)式(10)即為豎向排水井中孔壓uw的控制方程。對式(10)采用分離變量法求解。設(shè):uw(z,t)=Zw(z)T(t),并利用式(8)和邊界條件⑤～⑧,可得:uw=∞∑m=1AmDmFa+DmsinΜzΗe-βmt(11)ˉu=∞∑m=1AmsinΜzΗe-βmt(12)式中:Μ=2m-12π,m=1,2,?;βm=cvΜ2Η2+ch2r2e1Fa+Dm;Dm=8Μ2n2-1n2G;G=khkw(Ηdw)2,為井阻因子。類似地,對于雙面排水條件,利用邊界條件⑤、⑥、⑦和⑨,可得到與式(11)和式(12)相同的uw和ˉu表達(dá)式,只是其中的M應(yīng)為:M=mπ,m=1,2,…。最后根據(jù)初始條件:t=0,ˉu(z)=u0(z),并利用三角函數(shù)正交性,可以求得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Η∫Η0u0(z)sinΜzΗdz(13)將式(1)、式(11)、式(12)代入式(6)、式(7),即可得任一深度涂抹區(qū)和未擾動區(qū)超靜孔壓的表達(dá)式:us=∞∑m=1AmFa+Dm[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(14)un=∞∑m=1AmFa+Dm[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤re)(15)綜上,式(11)、式(12)及式(14)、式(15)即為等應(yīng)變條件下考慮初始孔壓任意分布的豎向排水井地基固結(jié)的一般解。2.2在特殊情況下，初孔壓分布根據(jù)初始孔壓u0(z)具體分布情況(見圖2),可進(jìn)一步得到各種特殊情況下的豎向排水井地基平均孔壓和平均固結(jié)度的表達(dá)式。2.2.1豎向排水固結(jié)度計算對于梯形分布的初始孔壓(見圖2(a)),u0(z)=pΤ+(pB-pΤ)zΗ,將其代入一般解,在單面排水條件下,可得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Μ[pΤ-(-1)mpB-pΤΜ](16)ˉu=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2sinΜzΗe-βmt(17)uw=∞∑m=12Dm[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)sinΜzΗe-βmt(18)us=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(19)un=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤re)(20)進(jìn)一步,可以求得豎向排水井地基任一深度處的固結(jié)度U(z,t)和總平均固結(jié)度ˉU如下:U(z,t)=1-ˉuu0(z)=1-∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2[pΤ+(pB-pΤ)z/Η]sinΜzΗe-βmt(21)ˉU=1-Η∫0ˉudzΗ∫0u0(z)dz=1-∞∑m=14Μ2(pB+pΤ)[pΤ-(-1)mpB-pΤΜ]e-βmt(22)式中:Μ=2m-12π,m=1,2,?。在雙面排水情況下,同理可求得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Μ[pΤ-(-1)mpB](23)ˉu=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]sinΜzΗe-βmt(24)uw=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]DmFa+DmsinΜzΗe-βmt(25)us=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]1Fa+Dm[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(26)un=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]1Fa+Dm[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤rc)(27)U(z,t)=1-∞∑m=12[pΤ-(-1)mpB]Μ[pΤ+(pB-pΤ)z/Η]sinΜzΗe-βmt(28)ˉU=1-∞∑m=14Μ2[pΤ-(-1)mpB](pΤ+pB)[1-(-1)m]e-βmt=1-∞∑m=14Μ2[1-(-1)m]e-βmt(29)式中:M=mπ,m=1,2,…。從式(29)可見,在雙面排水的條件下,平均固結(jié)度ˉU不受初始孔壓分布形式的影響。2.2.2基固結(jié)解析解在此情況下,pB=pT=q0(見圖2(b)),則式(17)、式(22)退化為現(xiàn)有等應(yīng)變條件下的豎向排水井地基固結(jié)解析解,即對于單面排水條件,有:ˉu=∞∑m=12q0ΜsinΜzΗe-βmt；ˉU=1-∞∑m=12Μ2e-βmt(30)對于雙面排水條件,由式(24)可以得到:ˉu=∞∑m=12q0Μ[1-(-1)m]sinΜzΗe-βmt(31)由此可以看出,現(xiàn)有等應(yīng)變條件下,打穿豎向排水井地基固結(jié)理論解是本文解的特例。2.2.3u+m的me-mtˉu=-∞∑m=12pBΜ2(-1)msinΜzΗe-βmt；ˉU=1+∞∑m=14Μ3(-1)me-βmt(32)在雙面排水的條件下,由式(24)可以得到:ˉu=-∞∑m=12pBΜ(-1)msinΜzΗe-βmt(33)2.2.4初始孔壓分布形式ˉu=∞∑m=12pΤΜ[1+(-1)mΜ]sinΜzΗe-βmt；ˉU=1-∞∑m=14Μ2[1+(-1)mΜ]e-βmt(34)在雙面排水的條件下,由式(24)可以得到:ˉu=∞∑m=12pΤΜsinΜzΗe-βmt(35)由式(31)、式(33)和式(35)可見,平均孔壓ˉu仍受初始孔壓分布形式的影響。3初始孔壓分布為分析初始孔壓非均布對豎向排水井地基固結(jié)性狀的影響和本文理論的實際應(yīng)用,根據(jù)上述解編制了計算程序?？紤]初始孔壓非均布的豎向排水井地基的固結(jié)主要取決于無量綱參數(shù):n,s,kw/kh,kh/ks和初始孔壓分布形式等。關(guān)于井阻和涂抹作用對豎向排水井地基固結(jié)性狀的影響,文獻(xiàn)已做過分析,因此這里將著重分析初始孔壓分布形式對固結(jié)性狀的影響。若記α=pT/pB(參見圖2),則當(dāng)初始孔壓均布時,α=1;當(dāng)初始孔壓為正三角形分布時,α=0;當(dāng)初始孔壓為倒三角形分布時,α=∞;當(dāng)初始孔壓為梯形分布時,0<α<∞。因此,只需考慮α=0、α=1和α=∞三種情況,初始孔壓為梯形分布的固結(jié)曲線必介于α=0和α=∞的兩條曲線之間。計算中:(1)α=0時,取pT=0kPa,pB=100kPa;α=1時,取pT=pB=100kPa;α=∞時,取pT=100kPa,pB=0kPa;(2)不考慮涂抹作用,即假設(shè)s=1或kh/ks=1。計算結(jié)果如圖3～圖6所示,圖中q0=100kPa,為參考壓力;Tv=cvt/H2,為時間因子。圖3、圖4分別為井徑比n=10、n=20時,考慮不同初始孔壓分布形式的豎向排水井地基的固結(jié)度曲線。從中可見,在單面排水條件下,初始孔壓為倒三角形時,豎向排水井地基固結(jié)最快;初始孔壓均布時,次之;初始孔壓為正三角形分布時固結(jié)最慢。而在雙面排水條件下,不管初始孔壓如何分布,平均固結(jié)度曲線均相同(見式(29)),且比單面排水時固結(jié)要快。比較兩圖可見,井徑比n越大,固結(jié)越慢。圖5和圖6分別為在單面、雙面排水條件下,當(dāng)井徑比n=20、Tv=0.01時考慮不同初始孔壓分布的豎向排水井地基的平均超靜孔壓沿深度分布曲線。從圖中可以看出,初始孔壓分布形式對超靜孔壓的影響比對固結(jié)度的影響更加顯著。在同一時刻,初始孔壓均布時的超靜孔壓最大。4量綱計算參數(shù)現(xiàn)利用本文理論對杭甬高速公路軟基處理試驗段進(jìn)行計算分析。軟土層物理力學(xué)指標(biāo)及砂井設(shè)計參數(shù)為:H=15m,de=1.58m,dw=0.068m,kh=1.81×1010m/s,kv=1.2×1010m/s。預(yù)壓荷載值為q=0.056MPa。土層排水情況為單面排水。無量綱計算參數(shù)在表1中列出。根據(jù)附加應(yīng)力計算結(jié)果,按初始孔壓為梯形分布考慮,取土層頂面(上)初始孔壓pT=q=0.056MPa,土層底面(下)初始孔壓pB=0.008MPa,由本文理論計算得到500d時的固結(jié)度為81.31%。如采用現(xiàn)有