高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪導(dǎo)學(xué)案 9.5 橢圓

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)案51橢圓導(dǎo)學(xué)目標(biāo):1。了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。2。掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．自主梳理1．橢圓的概念在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2｜)的點(diǎn)的軌跡叫做________．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫________集合P＝{M||MF1｜＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a〉0，c>0，且a,（1)若________，則集合P為橢圓；(2）若________，則集合P為線段;（3）若________,則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b〉0）eq\f(y2，a2)＋eq\f（x2,b2)＝1(a〉b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1（－a，0),A2（a,0)B1（0，－b)，B2(0,b)A1（0，－a)，A2（0,a）B1（－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2焦距｜F1F2｜＝離心率e＝eq\f（c，a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2自我檢測(cè)1．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓eq\f(x2，3)＋y2＝1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．2eq\r（3) B．6 C．4eq\r(3) D．122．(2011·揭陽調(diào)研）“m>n〉0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知橢圓x2sinα－y2cosα＝1(0≤α<2π)的焦點(diǎn)在y軸上,則α的取值范圍是（)A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π,4）,π)) B.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,4)，\f(3π,4）))C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π)) D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2），\f(3π,4)))4．橢圓eq\f(x2,12）＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么｜PF1｜是|PF2｜的（）A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍5．（2011·開封模擬）橢圓5x2＋ky2＝5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，2)，那么k等于（)A．－1 B．1 C。eq\r(5） D．－eq\r(5）探究點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用例1（教材改編)一動(dòng)圓與已知圓O1：（x＋3）2＋y2＝1外切,與圓O2:（x－3）2＋y2＝81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．變式遷移1求過點(diǎn)A（2,0)且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．探究點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A（3,0）；（2)經(jīng)過兩點(diǎn)A（0,2)和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，\r（3）))。變式遷移2(1)已知橢圓過(3，0),離心率e＝eq\f(\r(6),3）,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(eq\r(6），1)、P2（－eq\r（3），－eq\r(2)）,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．探究點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)例3(2011·安陽模擬)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.（1）求橢圓離心率的范圍；(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．變式遷移3已知橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a〉b〉0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1,AB∥OM。（1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍．方程思想的應(yīng)用例(12分）（2011·北京朝陽區(qū)模擬)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為eq\f（1,2），且經(jīng)過點(diǎn)M（1，eq\f(3,2))，過點(diǎn)P（2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.（1)求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l,滿足eq\o(PA，\s\up6（→）)·eq\o（PB，\s\up6（→）)＝eq\o（PM,\s\up6（→)）2？若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由．【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0）,由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1，a2）＋\f(9，4b2）＝1，，\f(c，a）＝\f（1，2），，a2＝b2＋c2.))解得a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f（y2，3)＝1.［4分］(2)若存在直線l滿足條件,由題意可設(shè)直線l的方程為y＝k（x－2)＋1，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x2，4)＋\f(y2，3)＝1,,y＝kx－2＋1,））得（3＋4k2)x2－8k(2k－1）x＋16k2－16k－8＝0。[6分］因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B，設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1），（x2，y2），所以Δ＝[－8k(2k－1）］2－4·（3＋4k2)·(16k2－16k－8）〉0。整理得32（6k＋3）>0,解得k〉－eq\f（1，2）.［7分]又x1＋x2＝eq\f(8k2k－1,3＋4k2），x1x2＝eq\f(16k2－16k－8，3＋4k2),且eq\o（PA，\s\up6（→）)·eq\o(PB,\s\up6(→)）＝eq\o（PM，\s\up6(→)）2,即（x1－2）（x2－2)＋(y1－1）(y2－1）＝eq\f(5，4)，所以(x1－2)（x2－2）（1＋k2)＝eq\f(5，4)，即［x1x2－2（x1＋x2)＋4］（1＋k2）＝eq\f（5，4）.［9分]所以[eq\f（16k2－16k－8,3＋4k2）－2×eq\f（8k2k－1,3＋4k2)＋4](1＋k2)＝eq\f(4＋4k2，3＋4k2)＝eq\f(5,4），解得k＝±eq\f（1，2)。[11分]所以k＝eq\f（1,2).于是存在直線l滿足條件，其方程為y＝eq\f（1，2)x。［12分]【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問題、相交弦問題及其他綜合問題．反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍．對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解,與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān),若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過程中要格外重視．1．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,除了直接根據(jù)定義外,常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為eq\f(x2，m)＋eq\f(y2,n）＝1（m〉0,n>0且m≠n)，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B〉0且A≠B），這種形式在解題中更簡(jiǎn)便．2．橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì),如：長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率等;另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo),焦點(diǎn)坐標(biāo)等．第一類性質(zhì)是常數(shù),不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變．3．直線與橢圓的位置關(guān)系問題．它是高考的熱點(diǎn)，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識(shí)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題等,分析此類問題時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．（2011·溫州模擬）若△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－4,0）、B(4,0）,△ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A。eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，9)＝1（y≠0) B。eq\f（y2,25)＋eq\f（x2，9)＝1(y≠0）C。eq\f（x2，16）＋eq\f（y2，9）＝1(y≠0) D。eq\f(y2,16）＋eq\f(x2，9）＝1(y≠0)2．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2，m－2）＝1,長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于(）A．4 B．5 C．7 D．3．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A。eq\f（\r(3),2) B。eq\f（\r(2)，2） C.eq\r（2）－1 D。eq\r（2)4．(2011·天門期末)已知圓（x＋2）2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0），線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(）A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線5．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f（y2，9）＝1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則｜ON｜等于(）A．2 B．4 C．8 D。eq\f（3,2）二、填空題(每小題4分，共12分)6．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq\f(\r（3),2),且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為______________．7．（2011·唐山調(diào)研）橢圓eq\f（x2，9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上．若｜PF1｜＝4,則｜PF2｜＝________；∠F1PF2的大小為________．8.如圖，已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a〉b〉0）上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1，2），則此橢圓的離心率是______．三、解答題（共38分)9．（12分）已知方向向量為v＝（1，eq\r(3)）的直線l過點(diǎn)（0，－2eq\r(3)）和橢圓C：eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b〉0）的右焦點(diǎn),且橢圓的離心率為eq\f(\r（6)，3）。(1)求橢圓C的方程;(2)若已知點(diǎn)D(3，0)，點(diǎn)M,N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且eq\o（DM，\s\up6（→))＝λeq\o(DN,\s\up6（→）），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．10．(12分）（2011·煙臺(tái)模擬）橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(2），OC的斜率為eq\f（\r(2)，2)，求橢圓的方程．11．（14分)（2010·福建）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2,3)，且點(diǎn)F（2，0)為其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程．(2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4?若存在，求出直線l的方程；若不存在,說明理由．學(xué)案51橢圓自主梳理1．橢圓焦點(diǎn)焦距（1）a>c(2)a＝c（3)a<c自我檢測(cè)1．C2.C3.D4。A5.B課堂活動(dòng)區(qū)例1解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓的圓心為C,半徑為r.則由圓相切的性質(zhì)知，|CO1｜＝1＋r，｜CO2|＝9－r,∴|CO1｜＋|CO2｜＝10，而|O1O2|＝6,∴點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝10，2c＝6，b＝4?！鄤?dòng)圓圓心的軌跡方程為eq\f(x2，25）＋eq\f（y2,16)＝1.變式遷移1解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：(x＋2）2＋y2＝62，圓心B(－2,0)，r＝6。設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x，y)，動(dòng)圓與已知圓的切點(diǎn)為C。則|BC｜－｜MC｜＝｜BM｜，而｜BC｜＝6，∴｜BM｜＋｜CM|＝6.又｜CM|＝｜AM｜，∴|BM|＋|AM|＝6〉|AB｜＝4.∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(－2,0）、A(2，0)為焦點(diǎn)、線段AB中點(diǎn)（0,0）為中心的橢圓．a(chǎn)＝3，c＝2，b＝eq\r（5)?！嗨筌壽E方程為eq\f(x2，9）＋eq\f（y2，5）＝1。例2解題導(dǎo)引確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,必須要有一個(gè)定位條件（即確定焦點(diǎn)的位置）和兩個(gè)定形條件(即確定a，b的大?。?dāng)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí),應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a>b>0)或eq\f(y2,a2）＋eq\f（x2,b2）＝1（a〉b>0)，或者不必考慮焦點(diǎn)位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m〉0，n>0，且m≠n)．解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b〉0）．∵橢圓過點(diǎn)A(3,0），∴eq\f（9,a2）＝1，∴a＝3,又2a＝3·2b,∴b＝1，∴方程為eq\f（x2,9)＋y2＝1.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)方程為eq\f（y2,a2)＋eq\f（x2，b2）＝1(a〉b>0）．∵橢圓過點(diǎn)A（3,0），∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程為eq\f(y2，81)＋eq\f(x2，9）＝1。綜上可知橢圓的方程為eq\f(x2，9)＋y2＝1或eq\f（y2，81)＋eq\f(x2，9）＝1.（2)設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0，2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）,\r(3））)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1，將A，B坐標(biāo)代入方程得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1，\f（1，4）m＋3n＝1））?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝1，n＝\f（1,4)）),∴所求橢圓方程為x2＋eq\f（y2,4）＝1。變式遷移2解（1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∵a＝3，eq\f(c,a）＝eq\f(\r（6）,3）,∴c＝eq\r（6），從而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1。當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，∵b＝3，eq\f（c，a）＝eq\f(\r(6)，3)，∴eq\f(\r(a2－b2)，a)＝eq\f（\r（6),3)，∴a2＝27.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，9）＋eq\f(y2，27)＝1?！嗨髾E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9）＋eq\f(y2,3）＝1或eq\f（x2,9）＋eq\f（y2,27）＝1.(2）設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m〉0，n>0且m≠n)．∵橢圓經(jīng)過P1、P2點(diǎn)，∴P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，①，3m＋2n＝1,②））①②兩式聯(lián)立,解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝\f（1，9），，n＝\f（1，3）.））∴所求橢圓方程為eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，3)＝1。例3解題導(dǎo)引（1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1｜＋｜PF2|＝2a，得到a、c的關(guān)系．(2)對(duì)△F1PF2的處理方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（定義式的平方，余弦定理，面積公式））?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜PF1｜＋｜PF2｜2＝2a2，，4c2＝｜PF1|2＋｜PF2｜2－2|PF1||PF2｜c(diǎn)osθ，，S△＝\f(1，2)｜PF1|｜PF2|sinθ.））(1）解設(shè)橢圓方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a〉b>0)，｜PF1|＝m，｜PF2|＝n。在△PF1F24c2＝m2＋n2－2mncos60°?！適＋n＝2a，∴m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝4a2－2mn?！?c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2。又mn≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（m＋n,2）））2＝a2（當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào))，∴4a2－4c2≤3a2?！鄀q\f（c2,a2）≥eq\f(1，4)，即e≥eq\f（1，2)?！鄀的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），1））。（2）證明由（1)知mn＝eq\f（4，3）b2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2）mnsin60°＝eq\f(\r（3），3)b2，即△PF1F2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)變式遷移3解(1）∵F1（－c,0)，則xM＝－c，yM＝eq\f(b2,a)，∴kOM＝－eq\f(b2,ac）。∵kAB＝－eq\f(b，a)，OM∥AB,∴－eq\f（b2，ac)＝－eq\f（b，a)，∴b＝c，故e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(2）,2)。（2）設(shè)|F1Q｜＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，｜F1F2|＝2ccosθ＝eq\f(r\o\al（2,1）＋r\o\al(2，2）－4c2,2r1r2)＝eq\f（r1＋r22－2r1r2－4c2,2r1r2）＝eq\f（a2,r1r2）－1≥eq\f（a2，\f（r1＋r2，2）2)－1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)r1＝r2時(shí)，cosθ＝0，∴θ∈[0，eq\f(π,2)]．課后練習(xí)區(qū)1．A2.D3.C4。B5.B6.eq\f(x2，36)＋eq\f(y2,9）＝17.2120°8.eq\f（\r（5），3）9．解(1)∵直線l的方向向量為v＝(1，eq\r（3）)，∴直線l的斜率為k＝eq\r（3）.又∵直線l過點(diǎn)(0，－2eq\r（3)),∴直線l的方程為y＋2eq\r(3）＝eq\r（3）x?！遖〉b，∴橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)．∴c＝2.又∵e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(6）,3），∴a＝eq\r（6)?！郻2＝a2－c2＝2?！鄼E圓方程為eq\f(x2，6)＋eq\f(y2，2)＝1.(6分)(2）若直線MN⊥y軸，則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，λ＝eq\f（3＋\r(6)，3－\r（6)）或λ＝eq\f(3－\r(6)，3＋\r(6)）,即λ＝5＋2eq\r（6）或5－2eq\r（6).若MN與y軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為x＝my＋3（m≠0）．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2，6)＋\f（y2，2)＝1，,x＝my＋3）)得（m2＋3)y2＋6my＋3＝0。設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，（x2，y2），則y1＋y2＝－eq\f（6m，m2＋3),①y1y2＝eq\f(3,m2＋3)，②Δ＝36m2－12（m2＋3)＝24m2－36〉0,∴m2〉eq\f(3,2）∵eq\o（DM，\s\up6(→））＝（x1－3，y1），eq\o（DN,\s\up6（→)）＝(x2－3,y2),eq\o(DM，\s\up6（→))＝λeq\o(DN,\s\up6(→）)，顯然λ〉0，且λ≠1，∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3,y2)．∴y1＝λy2。代入①②，得λ＋eq\f(1,λ)＝eq\f（12m2，m2＋3)－2＝10－eq\f(36，m2＋3）.∵m2〉eq\f(3，2）,得2<λ＋eq\f（1,λ)<10，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ2－2λ＋1>0，，λ2－10λ＋1<0,))解得5－2eq\r（6)<λ〈5＋2eq\r(6)且λ≠1。綜上所述，λ的取值范圍是5－2eq\r（6)≤λ≤5＋2eq\r(6),且λ≠1.（12分）10．解方法一設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）,代入橢圓方程并作差得a（x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)（y1－y2)＝0.而eq\f(y1－y2,x1－x2）＝－1,eq\f（y1＋y2，x1＋x2)＝kOC＝eq\f（\r（2）,2)，代入上式可得b＝eq\r(2）a.（4分）由方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(ax2＋by2＝1，x＋y－1＝0）），得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0,∴x1＋x2＝eq\f(2b，a＋b)，x1x2＝eq\f(b－1,a＋b)，再由｜AB|＝eq\r(1＋k2)｜x2－x1|＝eq\r（2）｜x2－x1｜＝2eq\r（2），得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2b，a＋b）))2－4·eq\f（b－1,a＋b)＝4，（8分)將b＝eq\r(2)a代入得a＝eq\f(1，3），∴b＝eq\f(\r(2）,3）.∴所求橢圓的方程是eq\f(x2,3）＋eq\f（\r(2）y2，3）＝1.（12分)方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ax2＋by2＝1，，x＋y＝1)）得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.（2分)設(shè)A(x1，y1）、B（x2，y2),則|AB｜＝eq\r（k2＋1x