CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型摘要本文通過對(duì)體模系統(tǒng)和投影點(diǎn)坐標(biāo)的分析，提出了較為充分合理的假設(shè)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合處理。先后建立了兩個(gè)模型（理想狀態(tài)下的模型，只考慮載物臺(tái)和探測(cè)器等一些因素誤差的模型）來求解CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的問題。在對(duì)問題一的分析中，只考慮在理想情況下：即載物臺(tái)水平和探測(cè)器無偏轉(zhuǎn)，并不考慮機(jī)械誤差的情況下各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，我們以探測(cè)器左下角為（0，0），右方向?yàn)閤軸正方向，上方向?yàn)閥軸正方向，垂直于xoy平面的走直線為z軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系。運(yùn)用幾何知識(shí)作圖，通過建立相似圖形的等比例方程來研究確定幾個(gè)系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系（X射線源的位置參數(shù)、載物中心線的位置參數(shù)和探測(cè)器的位置參數(shù)）。最后討論了引入載物臺(tái)中心軸傾斜、載物轉(zhuǎn)臺(tái)不均勻轉(zhuǎn)動(dòng)和數(shù)據(jù)不確定度對(duì)誤差的影響。在分析問題二時(shí)，考慮到所給橢圓點(diǎn)集可能有偏差，于是首先運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理擬合，得到更為確信的數(shù)據(jù)并由此求出修正后的“橢圓”方程。從擬合出來的橢圓方程，我們可以得知橢圓的中心坐標(biāo)還有其大小，并因此看出我們擬合出來的橢圓并不和我們的理想模型相符合。所以我們想到了有機(jī)械誤差存在。由于同時(shí)考慮多個(gè)誤差因素將使模型計(jì)算變得極為復(fù)雜，對(duì)此，我們假設(shè)探測(cè)器無偏轉(zhuǎn)，只有載物臺(tái)傾斜，建立模型二，并對(duì)探測(cè)器上的兩個(gè)橢圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)修正。易知修正前后兩個(gè)橢圓的大小并沒有改變，只是相對(duì)位置發(fā)生了變化，發(fā)射源A在探測(cè)器上的投影坐標(biāo)也沒有改變。對(duì)此，我們以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)修正并根據(jù)擬合后的數(shù)據(jù)求出兩個(gè)類橢圓中心連線的斜率。從而求出載物臺(tái)傾斜角ａ=arctan0.00210563最后在問題三，對(duì)模型三的機(jī)械誤差進(jìn)行了分析計(jì)算。機(jī)械誤差主要來源為探測(cè)器上數(shù)據(jù)像素誤差、載物臺(tái)的轉(zhuǎn)軸偏斜，圓心距離的誤差，并對(duì)其分析了原因。關(guān)鍵詞CT系統(tǒng)載物臺(tái)轉(zhuǎn)軸偏斜數(shù)據(jù)修正擬合機(jī)械誤差參數(shù)標(biāo)定問題重述CT自發(fā)明以來，被公認(rèn)為自倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后是放射領(lǐng)域的最重要的發(fā)明之一。工業(yè)CT一般采用掃描物件旋轉(zhuǎn)和面探測(cè)器的結(jié)構(gòu)，工作示意圖如圖1示：圖SEQ圖\*ARABIC1工業(yè)CT系統(tǒng)工作原理示意圖掃描物件圍繞某一固定轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，每隔一定角度采集一張圖像，然后根據(jù)采集的圖像采用3D圖像重建算法即可將原始3D物件重建出來。在實(shí)際中，由X射線源發(fā)出X射線，經(jīng)過掃描物體衰減后照射在探測(cè)器上，探測(cè)器根據(jù)接收到的光子數(shù)的計(jì)數(shù)實(shí)現(xiàn)光電轉(zhuǎn)換，從而形成灰度圖像。一般平板探測(cè)器大小為3000×2000像素，每個(gè)像素為0.127mm。在CT系統(tǒng)安裝過程中往往存在機(jī)械誤差，而這些誤差對(duì)于物件重建的準(zhǔn)確性往往是致關(guān)重要的，實(shí)際中就需要對(duì)安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，系統(tǒng)參數(shù)主要包括X射線源的位置、載物中心線的位置和探測(cè)器的位置參數(shù)等。傳統(tǒng)的方法是采用尺子測(cè)量法，對(duì)于CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定精度要求是不夠的（通常CT重建過程中系統(tǒng)參數(shù)的機(jī)械誤差不允許超過一個(gè)像素）。目前，一般通過實(shí)驗(yàn)的方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)標(biāo)定。所謂實(shí)驗(yàn)的方法標(biāo)定參數(shù)就是通過掃描已知參數(shù)的體模，分析投影數(shù)據(jù)，估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)的方法。針對(duì)工業(yè)CT要求解決如下問題：（1）建立合適的坐標(biāo)系，正確描述CT系統(tǒng)的各種參數(shù)和機(jī)械誤差，并建模分析這些參數(shù)的關(guān)系和可能的機(jī)械誤差。（2）通常采用軸承鋼球作為CT參數(shù)標(biāo)定體模。因?yàn)樗哂懈飨蛲队耙恢?，邊緣清晰等?yōu)點(diǎn)，在里采用兩個(gè)鋼球?qū)崿F(xiàn)CT的參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)（如圖3所示）。兩個(gè)鋼球置于有機(jī)玻璃管中（X射線容易透過有機(jī)玻璃，容易后期球心獲取的圖像處理），鋼球直徑為8mm±0.0008mm，兩球心距離約為100mm±1mm。將有機(jī)玻璃管固定在旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)上，載物臺(tái)攜帶有機(jī)玻璃管以均勻速度旋轉(zhuǎn)，與此同時(shí)X射線源發(fā)出射線，探測(cè)器采集數(shù)據(jù)（旋轉(zhuǎn)一周，等間距采集180張）。附件1給出了根據(jù)180張采集圖像提取出的球心投影坐標(biāo)。兩個(gè)鋼球球心投影的軌跡是兩個(gè)橢圓（如圖4所示）。試根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)該CT系統(tǒng)的參數(shù)值，即給出CT系統(tǒng)的標(biāo)定。（3）在參數(shù)標(biāo)定過程中可能存在多種可能的機(jī)械誤差，試就你的參數(shù)標(biāo)定可能的誤差進(jìn)行分析。圖SEQ圖\*ARABIC2雙球體模型示意圖圖SEQ圖\*ARABIC3雙球投影軌跡（雙球軌跡坐標(biāo)見附錄1）問題分析題目要求我們求出工業(yè)CT系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)，這些參數(shù)包括以下六個(gè)：=1\*GB3①放射源到轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)軸的水平距離L1；=2\*GB3②轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)軸到探測(cè)器平面的水平距離L2；=3\*GB3③放射源到探測(cè)器平面的水平距離L3；=4\*GB3④放射源到xoz平面的垂直距離Ya；（平面xoz具體位置見問題（1）解答中的坐標(biāo)系）=5\*GB3⑤放射源與yoz平面的水平距離Xa；=6\*GB3⑥轉(zhuǎn)軸到y(tǒng)oz平面的水平距離d。如圖所示：為了使參數(shù)更容易確定，我們選取探測(cè)器作為參照物，這樣各個(gè)參數(shù)就有了參考的標(biāo)準(zhǔn)。問題一要求我們求出系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，還有根據(jù)我們所列的關(guān)系式進(jìn)行誤差分析。本題誤差主要來源于工業(yè)CT系統(tǒng)安裝過程。除了裝置本身的由于在裝系統(tǒng)時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致物臺(tái)中心軸傾斜、載物轉(zhuǎn)臺(tái)不均勻轉(zhuǎn)動(dòng)，探測(cè)器前后俯仰等，都會(huì)導(dǎo)致機(jī)械誤差的存在。我們?cè)谟?jì)算時(shí)會(huì)考慮這些因素,并建立相應(yīng)的模型。所以，在標(biāo)定時(shí)應(yīng)該給出其機(jī)械誤差大小?？梢愿鶕?jù)體模的投影數(shù)據(jù)，利用幾何知識(shí)來求解主要包括X射線源的位置、載物中心線的位置和探測(cè)器的位置并求出他們的關(guān)系。問題二則以題目給出的360個(gè)坐標(biāo)為基礎(chǔ)，運(yùn)用matlab軟件來擬合兩個(gè)橢圓，考慮到這些點(diǎn)的坐標(biāo)本身就有一點(diǎn)的誤差，經(jīng)過一定的修改和篩選后，進(jìn)行多次擬合進(jìn)而求出橢圓的方程。求出橢圓的方程后，再利用在問題（1）中各個(gè)參數(shù)的關(guān)系，就可以求出各個(gè)參數(shù)的值。根據(jù)分析，我們知道了擬合出來的兩個(gè)橢圓的中心連線并不垂直于X軸，我們可以利用繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)其進(jìn)行修正。問題三中的誤差分析，本題中考慮的機(jī)械誤差來源有兩圓心距離誤差，載物臺(tái)的中心轉(zhuǎn)軸傾斜，這些根據(jù)問題二中的數(shù)據(jù)，我們已經(jīng)對(duì)它進(jìn)行了修正。模型的假設(shè)與符號(hào)說明模型假設(shè)假設(shè)光子波動(dòng)不明顯，即忽略光的衍射現(xiàn)象；將兩個(gè)鋼球的球心看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；假設(shè)實(shí)驗(yàn)所收集的數(shù)據(jù)能客觀反映實(shí)際情況；玻璃管在隨著轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，始終垂直固定于轉(zhuǎn)盤；載物臺(tái)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，玻璃管與兩個(gè)鋼球始終保持相對(duì)靜止。符號(hào)說明及名詞解釋符號(hào)符號(hào)含義數(shù)據(jù)類型L放射源到轉(zhuǎn)軸的水平距離待求參數(shù)L轉(zhuǎn)軸到探測(cè)器平面的水平距離待求參數(shù)L放射源到探測(cè)器平面的水平距離待求參數(shù)X放射源到y(tǒng)oz平面的距離待求參數(shù)Y放射源到xoz平面的垂直距離待求參數(shù)d轉(zhuǎn)軸到y(tǒng)oz平面的距離待求參數(shù)r有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑中間值a上橢圓的短軸中間值a下橢圓的短軸中間值b兩橢圓長(zhǎng)軸的平均值中間值m兩橢圓最高點(diǎn)間的距離中間值k兩橢圓最低點(diǎn)間的距離中間值t放射源在探測(cè)器上的投影與上橢圓最低點(diǎn)的距離中間值h兩鋼球球心間的距離已知量模型建立及問題求解問題一建立合適的坐標(biāo)系，正確描述CT系統(tǒng)的各種參數(shù)和機(jī)械誤差，并建模分析這些參數(shù)的關(guān)系和可能的機(jī)械誤差。將探測(cè)器所在的平面定為參照物，結(jié)合題目已給出的二維坐標(biāo)系xoy，在探測(cè)器平面左下方原點(diǎn)（0，0）引一條Z軸，形成三維坐標(biāo)系，如下圖示：依照題意，我們首先得求出載物臺(tái)的轉(zhuǎn)盤半徑r，為了求出轉(zhuǎn)盤的半徑，我們先作了這樣的一個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們以探測(cè)器左下角為（0，0），右方向?yàn)閤軸正方向，上方向?yàn)閥軸正方向，垂直于xoy平面的走直線為z軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系。，再讓發(fā)射源與玻璃管中的下邊小球處于同一個(gè)小平面上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)過程中，我們能在探測(cè)器上得到玻璃管中上面小球所形成的一條直線為2b，而下面小球的投影則形成一個(gè)類橢圓，我們可以通過探測(cè)器上的數(shù)據(jù)擬合得到橢圓的方程，從而得到我們想要橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)還有中心坐標(biāo)，進(jìn)而可以計(jì)算出有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑r。圖4為了簡(jiǎn)單分析，我們分別畫出圖1的正視圖和俯視圖如下：俯視圖正視圖根據(jù)正視圖和俯視圖，我們利用相似三角形和勾股定理得到了以下關(guān)系式：L1+L1-rrb=聯(lián)立（1）（2）（3）可解得：r=b*h2*m*h1根據(jù)以上的式子，我們可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)求出r的值，然而對(duì)于相同的這個(gè)裝置來說，以下的實(shí)驗(yàn)中有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑r是不會(huì)改變的，還有因?yàn)槠涓┮晥D中的2b的值是發(fā)射源垂直于xoy平面發(fā)射出來的投影的長(zhǎng)度，而在其他情況下是求不出那個(gè)值，為了計(jì)算方便，在以下的運(yùn)算中，我們將有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑r作為一個(gè)常數(shù)a進(jìn)行計(jì)算，即令r=a（a則為由上面（4）求出的數(shù)值）接著，我們按照題目的要求保持發(fā)射源A與載物臺(tái)和探測(cè)器的水平距離不變，即相對(duì)位置不變，而在豎直方向上移動(dòng)發(fā)射源A，使其與兩個(gè)小球都不在同一個(gè)水平面進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn)，其三維圖如下：為了方便分析，我們作出它的正視圖如下：根據(jù)其正視圖，利用相似三角形定理和勾股定理可以得到以下關(guān)系式：L1+rL1-ryB-r=a（其中a為一個(gè)常數(shù)）（8）根據(jù)CT系統(tǒng)的工作原理，即令掃描物件圍繞某一固定轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，并每隔一定角度采集一張圖像，然后根據(jù)采集的圖像采用3D圖像重建算法將原始3D物件重建出來。再根據(jù)重建出來的圖像來標(biāo)定我們的系統(tǒng)參數(shù)，由此可知，凡是在重建圖像所需要的數(shù)據(jù)誤差都會(huì)影響我們的參數(shù)標(biāo)定。因此，根據(jù)上方我們所列出來的關(guān)系式可以看出此過程中存在的誤差有以下這幾種：載物臺(tái)沒有正常勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，引起重建圖像不連續(xù)掃描物件的放置發(fā)生傾斜或在運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生抖動(dòng)，引起重建圖像不規(guī)則載物臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度發(fā)生偏離或載物臺(tái)的轉(zhuǎn)軸發(fā)生傾斜，引起重建圖像的數(shù)據(jù)不好處理實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)鋼球的半徑大小有一定的誤差，使得有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑r存在誤差從而影響參數(shù)標(biāo)定。問題二根據(jù)照題目給出的數(shù)據(jù)，我們用MATLAB軟件進(jìn)行擬合，繪制出上下兩個(gè)橢圓的圖形（算法詳見附錄2），由圖形反映擬合情況，并解出橢圓一般方程的系數(shù)p1、p2數(shù)據(jù)圖形擬合上方橢圓的中心坐標(biāo)為（1421.7199，1812.5604，0）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1351.2899，短半軸長(zhǎng)為172.8553（單位為像素）下方橢圓的中心坐標(biāo)為（1427.2216，188.4994，0）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1342.6651，短半軸長(zhǎng)為上方橢圓的方程為：(x-1421.7199)下方橢圓的方程為：(x-1427.2216)由此，我們可以得出B,D,C,E各點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y將其坐標(biāo)代入（5）（6）（7）（8）式可得：LLLya=811.83225，x即我們可以得出發(fā)射源A的坐標(biāo)為（1423.832，811.83225，11.58469ａ）綜上所述，我們可以對(duì)給定CT系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定（單位為像素）：X射線源的位置與載物臺(tái)中心線的距離：LX射線源的位置與探測(cè)器的距離：L若以坐標(biāo)和方程的形式給出，則表示為：發(fā)射源A的坐標(biāo)為（1423.832，811.83225，11.58469ａ）載物臺(tái)中心線的方程x=探測(cè)器的位置：x-o-y平面模型的進(jìn)一步分析與修正在上述的分析過程中，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過擬合出來的兩個(gè)橢圓的中心連線并不垂直于X軸，與實(shí)際中我們預(yù)測(cè)分析的有所不同。由于影響系統(tǒng)的機(jī)械誤差有很多，在此，我們只認(rèn)為這是因?yàn)檩d物臺(tái)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所繞的轉(zhuǎn)軸傾斜產(chǎn)生偏角所導(dǎo)致的，與其它因素?zé)o關(guān)。所以，我們對(duì)其作了修正如下（左為修正前，右為修正后）：由問題二我們已經(jīng)求出了發(fā)射源A的坐標(biāo)為（1423.832，811.83225，11.58469），由于此過程中只在xoy平面上修正，所以修正后發(fā)射源的坐標(biāo)是不會(huì)改變的。對(duì)此，我們以A點(diǎn)在xoy平面上的投影A’為中心，線段OBOC繞著中心A’旋轉(zhuǎn)到線段OBOC垂直于X軸，此時(shí)，上下兩個(gè)橢圓的中心坐標(biāo)分別為OB（1423.832，1812.56265，0上方橢圓的方程：(x-下方橢圓的方程：(x-此時(shí)我們還可以求出修正的角度ａ，其修正的圖形在xoy平面的角度ａ如下圖所示：以上方橢圓的中心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)，則修正前的角度ａ有如下關(guān)系：tan代入數(shù)據(jù)可以求出：tanａ即修正的角度的大小為：ａ=arctan經(jīng)過了這樣的修正，我們可以更加準(zhǔn)確的利用探測(cè)器上的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合圖像，使得重建的圖像更加具有準(zhǔn)確性，我們能夠更好的進(jìn)行標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)。問題三除了問題二中所提到的載物臺(tái)的轉(zhuǎn)軸偏斜引起誤差之外，還存在以下兩種誤差可能引起參數(shù)標(biāo)定不準(zhǔn)確。首先，如果載物臺(tái)沒有正常勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，那么掃描物件的旋轉(zhuǎn)速度會(huì)受到影響，探測(cè)器所采集到的具體數(shù)據(jù)可能會(huì)發(fā)生斷點(diǎn)或重點(diǎn)，如下圖的斷點(diǎn)情況示意圖：其次，掃描物件的放置發(fā)生傾斜或在運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生抖動(dòng)會(huì)導(dǎo)致探測(cè)器所采集到的圖像數(shù)據(jù)發(fā)生偏差，影響了Matlab的擬合效果以及相關(guān)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。如圖12所示，很明顯地，投影得到的圖形發(fā)生了扭曲，形成機(jī)械誤差，影響到了參數(shù)的標(biāo)定。模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：對(duì)體模的投影點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)的修正，使得計(jì)算的結(jié)果更加準(zhǔn)確；考慮到的誤差比較合理，有較大的實(shí)際意義運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算和圖表擬合，使得計(jì)算更加簡(jiǎn)單準(zhǔn)確。缺點(diǎn)：機(jī)械誤差存在的因素考慮還不夠全面，且僅限于理論上的分析，有待實(shí)踐過程中的進(jìn)一步檢驗(yàn)與改進(jìn)在數(shù)據(jù)誤差處理時(shí)僅用理論知識(shí)進(jìn)行處理，實(shí)際操作有些難度。參考文獻(xiàn)[1]百度文庫/[2]中國(guó)知網(wǎng)/kns50/index.aspx[3]謝照鴻，范正森等人編著，《數(shù)學(xué)建模技術(shù)》，中國(guó)水利水電出版社，2003年9月[4]周永正，詹棠森，方成鴻，邱望仁，《數(shù)學(xué)建?！?，同濟(jì)大學(xué)出版社，2011年1月附錄附錄1雙球模型投影在探測(cè)器上的坐標(biāo)上方球心坐標(biāo)下方球心坐標(biāo)x軸y軸x軸y軸2762179227372142754178627272172745178127152202735177527012242723176926872272710176426712312695175826532342679175326352372661174726152402643174225942432623173725722462602173225492492580172725252522557172225002552532171724742572507171324472602481170824192622454170423902652425170023602672396169623302692367169222992712336168822672742305168422352752273168122022772240167721682792207167421342812173167120992832138166820642842103166520282852068166319922872032166019552881995165819182891959165518812901921165318432911884165118052921846165017672931807164817282941769164616902941730164516512951691164416122951652164315732961613164215332961573164114942961534164014552961494164014152961454164013762961415163913372961375163912972961336164012582951296164012192951256164011802941217164111412931178164111032931139164210642921100164310262911061164498829010231646951289985164791428894716498772869101651841285873165280528383616547692828001657734280764165970027872916616662776941664632275660166760027362616705682715931673536268561167650626652916794762644991683447261468168641825943916903912564101694364254383169833925135617023142483301706291245305171126824228117152472392591720227236237172520723321617301902301971735173226179174015822316217451442191461750131216132175612021211917611102091071767102205971773952028917789019882178486194761790841907217968318770180285183691808881797018149217573182199171771827107167841833117164921839129160102184514315611318521581521271858176148143186419514516018702171411791877240137201188326513422418892911302491895320127276190035112330419063831203351912417117367191745311440119234901104381928529108475193357010551419386121025551942656100598194770197642195174795687195579593734195984491782196389389832196694487882197099686933197210498598619751103841039197711578310931979121182114819811267811203198313228112591984137881131519851434811371198514898114271986154581148419861600821540198516558315961985171083165219841764841707198318178617611981187087181519801922891868197819739119211975202392197219732071952022197021199720721967216599212019632210102216619602253104221219562295107225519522336110229719482374113233919432412116237819382447119241519342480123245019292512126248419232542130251619182570133254719132596137257519072621140260219012643144262618962664148264918902683152267018842699156268918782714159270618722727163272218662739167273518592748171274618532756175275618472761179276418412765183277018352768186277418282768190277618222767194277718162765198277618102760201277318042754205276917982747209注：探測(cè)器左下角為（0，0），右方向?yàn)閤軸正方向，上方向?yàn)閥軸正方向附錄2用matlab軟件求橢圓方程的程序和輸出結(jié)果：求上橢圓方程（先將上橢圓的180個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)導(dǎo)進(jìn)，記作x1，y1，用矩陣表示）F=@(p,x)p(1)*x(:,1).^2+p(2)*x(:,2).^2+p(3)*x(:,1)+p(4)*x(:,2)+p(5);p0=[0.0050.0050.0050.0050.005];x=[x1,y1]warningoffp=nlinfit(x,zeros(size(x,1),1),F,p0)plot(x(:,1),x(:,2),'ro');holdon;xmin=min(x(:,1));xmax=max(x(:,1));ymin=min(x(:,2));ymax=max(x(:,2));ezplot(@(x,y)F(p,[x,y]),[-1+xmin,1+xmax,-1+ymin,1+ymax]);formatlongpA=sqrt(p(3)^2/(4*p(1)^2)+p(4)^2/(4*p(1)*p(2))-p(5)/p(1))B=sqrt(p(3)^2/(4*p(1)*p(2))+p(4)^2/(4*p(2)^2)-p(5)/p(2))x0=p(3)/(2*p(1))y0=p(4)/(2*p(2))C=A^2D=B^2輸出結(jié)果：p=1.0e-022*0.00000.0000-0.0000-0.00010.1249p=1.0e-022*0.000000000621500.00000003798134-0.00000176718735-0.000137686937760.12490432520128A=1.351289908892398e+003B=1.728