2023-2024學(xué)年豫西名校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年豫西名校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱(chēng)該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3．直線分別與曲線，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.24．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.5．為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，打算從中抽取一個(gè)容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個(gè)個(gè)體，在整個(gè)過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.6．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）.A. B.C. D.8．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.11．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)首日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個(gè)人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里12．已知直線，兩個(gè)不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)_______14．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)____.15．已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為的遞增數(shù)列，若，，則滿(mǎn)足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_____16．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年級(jí)全面實(shí)施新課程改革，為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．已知圖中前三個(gè)組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人數(shù)；（3）估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）18．（12分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，P（異于點(diǎn)M，N）為圓C上一點(diǎn)，求△PMN面積的最大值19．（12分）中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，通過(guò)“增強(qiáng)防疫意識(shí)，激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，來(lái)回顧中國(guó)共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對(duì)建黨100周年以來(lái)的豐功偉績(jī)的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類(lèi)比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說(shuō)明理由20．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱(chēng)為“天文愛(ài)好者”，否則稱(chēng)為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長(zhǎng)是該邊上高的倍，求22．（10分）已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.2、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D3、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B4、D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D5、D【解析】根據(jù)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個(gè)數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是相等的，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率也都是相等的，所以每個(gè)個(gè)體被剔除的概率為，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率為，故選：D.6、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.7、A【解析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，做出關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用連點(diǎn)之間相對(duì)最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，到準(zhǔn)線的距離為2，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C9、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】先令函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由對(duì)稱(chēng)性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當(dāng)；當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對(duì)稱(chēng)性可知，.故選：C11、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C12、C【解析】對(duì)于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對(duì)于B,可能相交，故可判斷B;對(duì)于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對(duì)于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【詳解】對(duì)于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B,，那么可能相交，故可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對(duì)于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯(cuò)誤，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可得點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)M作圓的切線與CM所在的直線垂直，求出斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標(biāo)為(0,

0)，圓的半徑,而所以點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又，得到CM所在直線的斜率為，所以切線的斜率為，則切線方程為：即故答案為：.14、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進(jìn)而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，又因?yàn)槠矫鍮CD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，則的中點(diǎn)即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.15、，答案不唯一【解析】由，，可得，進(jìn)而解得，然后寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得，因?yàn)椋?，所以有，解得，只要公差d滿(mǎn)足即可，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出即可，我們可以取，此時(shí).故答案為：，答案不唯一.16、【解析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關(guān)系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為c，設(shè)，，，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡(jiǎn)為，即，②在雙曲線中，，①化簡(jiǎn)為，即，③聯(lián)立②③得，，即，記，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位數(shù)69.4【解析】（1）由各矩形面積和為1列式即可；（2）由高分頻率乘以600即可；（3）由平均數(shù)與中位數(shù)的估算方法列式即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：解得小問(wèn)2詳解】高分的頻率約為：故高分人數(shù)為：【小問(wèn)3詳解】平均值為，設(shè)中位數(shù)為x，則故中位數(shù)為69.418、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為，，由中點(diǎn)公式求參數(shù)a、b，進(jìn)而求半徑，即可得圓C的方程；（2）利用弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求，再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值，即可得△PMN面積的最大值【小問(wèn)1詳解】設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為，，則，，所以，，則圓C半徑，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】圓心C到直線l的距離，則，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，所以，△PMN面積的最大值為19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計(jì)算可得之間共有6人，滿(mǎn)足題意，分析即可得答案.【小問(wèn)1詳解】，解得成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問(wèn)2詳解】選成績(jī)最好的同學(xué)去參賽，分?jǐn)?shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”，記“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛(ài)好者”有20人，“非天文愛(ài)好者”有30人，所以按分層抽樣在50個(gè)女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P21、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，最后根據(jù)，利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設(shè)