湖南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版含解析）

第第頁(yè)湖南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版含解析）湖南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知全集，集合，則（）

A．B．C．D．

2．已知向量，則（）

A．B．C．D．

3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）

A．B．C．D．3

4．為研究變量的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個(gè)樣本點(diǎn)：

56.5788.5

98643

若由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則據(jù)此計(jì)算殘差為0的樣本點(diǎn)是（）

A．B．C．D．

5．已知，則（）

A．B．C．D．

6．如圖，在正方體中，分別是棱和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與垂直的直線（）

A．有且僅有1條B．有且僅有2條C．有且僅有3條D．有無(wú)數(shù)條

7．若等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則“”是“成等比數(shù)列的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分條件也不必要條件

8．已知，則（）

A．B．C．D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．

9．圖①是某市某條公共汽車線路收支差額y（萬(wàn)元）（門票銷售額減去投入的成本費(fèi)用）關(guān)于乘客人數(shù)x（萬(wàn)人）的函數(shù)圖象，營(yíng)運(yùn)初期該條公共汽車線路為虧損狀態(tài)，為了實(shí)現(xiàn)扭虧為盈，公共汽車采取了兩種措施，圖②和圖③中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）

圖①圖②圖③

A．圖①中點(diǎn)A的實(shí)際意義表示該條公共汽車線路投入的成本費(fèi)用為1萬(wàn)元

B．圖①中點(diǎn)B的實(shí)際意義表示當(dāng)乘客人數(shù)為1.5萬(wàn)人時(shí)，該條公共汽車線路的收支恰好平衡

C．圖②該條公共汽車線路實(shí)行的措施是降低門票的售價(jià)

D．圖③該條公共汽車線路實(shí)行的措施是減少投入的成本費(fèi)用

10．已知是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）

A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)

C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)

11．已知數(shù)據(jù)成公差大于0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則（）

A．極差不變B．第25百分位數(shù)變大C．平均數(shù)不變D．方差變小

12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A．的最小正周期為

B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C．若在上單調(diào)遞增，則

D．當(dāng)時(shí)，

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)_________．

14．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要將共5名航天員全部安排開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙至少要安排2人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙都至少要安排1人，則不同的安排方案共有__________種．（用數(shù)字作答）

15．米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行必備的用具．如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)型米斗，高為，且正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球的球面上，一個(gè)底面的中心與球的球心重合，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________．

16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．

17．（本小題滿分10分）

在中，角的對(duì)邊分別為，且．

（1）求的大??；

（2）若，角的平分線交于，求的長(zhǎng)．

18．（本小題滿分12分）

如圖，在多面體中，四邊形均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面交于點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求平面與平面的夾角的余弦值．

19．（本小題滿分12分）

已知數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：．

20．（本小題滿分12分）

某中學(xué)為了解學(xué)生課外玩網(wǎng)絡(luò)游戲（俗稱“網(wǎng)游”）的情況，使調(diào)查結(jié)果盡量真實(shí)可靠，決定在高一年級(jí)采取如下“隨機(jī)回答問(wèn)題”的方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，4個(gè)紅球，所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問(wèn)卷，否則按方式②回答問(wèn)卷”。

方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問(wèn)卷中畫(huà)“√”，否則畫(huà)“×”；

方式②：若你課外玩網(wǎng)游，則在問(wèn)卷中畫(huà)“√”，否則畫(huà)“×”．

當(dāng)所有學(xué)生完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫(huà)“√”，畫(huà)“×”的比例，用頻率估計(jì)概率．

（1）若高一某班有45名學(xué)生，用X表示其中按方式①回答問(wèn)卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若所有調(diào)查問(wèn)卷中，畫(huà)“√”與畫(huà)“×”的比例為1∶2，試用所學(xué)概率知識(shí)求該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計(jì)值．（估計(jì)值）

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（1）求證：；

（2）求函數(shù)的極值．

22．（本小題滿分12分）

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為2，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）已知正方形有三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上，求該正方形面積的最小值．

湖南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1．【答案】C

【解析】依題意，全集，而，所以，故選C．

2．【答案】D

【解析】由．

對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若，由，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，由，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若，則，符合，故D正確，故選D．

3．【答案】A

【解析】由題設(shè)知，，解得，故選A．

4．【答案】C

【解析】由題意可知，，所以回歸方程的樣本中心點(diǎn)為，故殘差為0的樣本點(diǎn)是，故選C．

5．【答案】A

【解析】因?yàn)椋?，所以．故選A．

6．【答案】D

【解析】正方體中，分別是棱和線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面，交于點(diǎn)，則．

因?yàn)槭巧系膭?dòng)點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)與垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，所以滿足條件的點(diǎn)也有無(wú)數(shù)個(gè)，所以有無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的直線，即滿足與垂直的直線有無(wú)數(shù)條．故選D．

7．【答案】C

【解析】若，則，，

同理，

因此對(duì)任意的構(gòu)成等比數(shù)列，公比為．

再證明：若對(duì)任意的構(gòu)成等比數(shù)列，則．

若，則為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，與已知矛盾，

故成立，故選C．

8．【答案】B

【解析】因?yàn)椋?/p>

所以，即，故，所以，故選B．

9．【答案】ABD

【解析】對(duì)于A：圖①中點(diǎn)A的實(shí)際意義表示該條公共汽車線路投入成本為1萬(wàn)元，正確；

對(duì)于B：圖①中點(diǎn)B的實(shí)際意義表示當(dāng)乘客人數(shù)為1.5萬(wàn)人時(shí)，該條公共汽車線路的收支恰好平衡，正確；

對(duì)于C：圖②該條公共汽車線路實(shí)行的措施是提高門票的售價(jià)，錯(cuò)誤；

對(duì)于D：圖③該條公共汽車線路實(shí)行的措施是減少投入的成本費(fèi)用，正確．故選ABD．

10．【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意，可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，可得，即，即，所以為偶函數(shù)．

由，即為奇函數(shù)，所以A正確；

由，即為偶函數(shù)，所以B正確；

由，所以為偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；

由，所以為偶函數(shù)，所以D正確．故選ABD．

11．【答案】AC

【解析】對(duì)于A，原數(shù)據(jù)的極差為，去掉后的極差為，即極差不變，故A正確；

對(duì)于B，原數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為，去掉后的第25百分位數(shù)為，即第25百分位數(shù)變小，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，即平均數(shù)不變，故C正確；

對(duì)于D，則原數(shù)據(jù)的方差為，

去掉后的方差為，

故，即方差變大，故D錯(cuò)誤，故選AC．

12．【答案】BC

【解析】對(duì)于A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；

對(duì)于C，．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，可得，

從而有，即；

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，可得，

從而有，即，綜上知，，故C正確；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以，故D錯(cuò)誤，故選BC．

13．【答案】

【解析】因?yàn)?，所以?/p>

14．【答案】80

【解析】由題意可先分兩類，第一類核心艙安排3人，其他兩實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則有種安排方案；

第二類核心艙安排2人，其他兩實(shí)驗(yàn)艙一個(gè)2人，一個(gè)1人，則有種安排方案，故不同的安排方案共有80種．

15．【答案】

【解析】由題意，作正四棱臺(tái)的對(duì)角面，如圖，為正四棱臺(tái)上底面正方形對(duì)角線，為正四棱臺(tái)下底面正方形對(duì)角線，為外接球球心，為線段中點(diǎn)，

則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

因?yàn)?，所以?/p>

所以正四棱臺(tái)的的體積．

16．【答案】

【解析】因?yàn)椋裕?/p>

即，

所以，所以．

設(shè)，則，所以，

由得，

所以，所以，

在中，由，

得，所以．

17．解：（1）因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

又，所以；

（2）在中，由余弦定理得，即，

所以，所以．

因?yàn)榈钠椒志€交于，所以，所以，

在中，由正弦定理得，解得．

解法二：由易求得．

18．（1）證明：，

四邊形為平行四邊形，．

又平面平面平面，

平面，平面平面；

（2）解：由（1）知，，∴F為的中點(diǎn)．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸和軸的正方向，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則．

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得可取，

則．

同理可求得平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)平面與平面的夾角為，則，

故所求夾角的余弦值為．

19．（1）解：當(dāng)時(shí)，，

即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此．

當(dāng)時(shí)，，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，因此．

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）證明：由（1）知，，記．

則①,

②，

①－②得，

化簡(jiǎn)得．

故．

20．解：（1）每次摸到黑球的概率，摸到紅球的概率，

每名學(xué)生兩次摸到的球的顏色不同的概率．

由題意知，高一某班45名學(xué)生按方式①回答問(wèn)卷的人數(shù)，

所以的數(shù)學(xué)期望；

（2）記事件為“按方式①回答問(wèn)卷”，事件為“按方式②回答問(wèn)卷”，事件為“在問(wèn)卷中畫(huà)‘√’號(hào)”．

由（1）知，，，．

由全概率公式，得，

所以，所以．

故由調(diào)查問(wèn)卷估計(jì)，該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計(jì)值是．

21．解：（1）令．

由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

又，所以，故；

（2）．

當(dāng)時(shí)，，所以．

設(shè)，其中，則，所以在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，且．

又，則．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，且．

又