2024屆安徽省黃山市黟縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆安徽省黃山市黟縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.2．“若”為真命題，那么p是（

）A. B.C. D.3．若，則（）A.1 B.0C. D.4．下列命題中，正確的是（）A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若ac>bc，則a<bC.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D.若，則a<b5．已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.187．過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=08．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.9．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.10．在中，已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.11．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是______14．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的最小值為_(kāi)________15．我國(guó)民間剪紙藝術(shù)在剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對(duì)折次可以得到兩個(gè)規(guī)格相同的圖形，將其中之一進(jìn)行第次對(duì)折后，就會(huì)得到三個(gè)圖形，其中有兩個(gè)規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個(gè)之一進(jìn)行第次對(duì)折后，就會(huì)得到四個(gè)圖形，其中依然有兩個(gè)規(guī)格相同，以此類(lèi)推，每次對(duì)折后都會(huì)有兩個(gè)圖形規(guī)格相同.如果把次對(duì)折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對(duì)折次，則________.16．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點(diǎn)，則圓O的過(guò)點(diǎn)的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點(diǎn)，過(guò)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程.請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）已知函數(shù)R)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.2、A【解析】求不等式的解集，根據(jù)解集判斷p.【詳解】由解得-2<x<4，所以p是.故選：A.3、C【解析】由結(jié)合二項(xiàng)式定理可得出，利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得的值.【詳解】，當(dāng)且時(shí)，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)和的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟悉二項(xiàng)式系數(shù)和公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】運(yùn)用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，對(duì)選項(xiàng)注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A中，若，時(shí)，則成立，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，若，顯然，由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式不變號(hào)，即.故選：D5、B【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C7、A【解析】設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的平行問(wèn)題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設(shè)為8、B【解析】由漸近線方程得到，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：，利用點(diǎn)到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B9、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)?，且所以，故選：B10、C【解析】利用三點(diǎn)共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)得，進(jìn)而根據(jù)題意在上有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求解.【詳解】解：，∵在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，∴在上有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，∴，解得∴a的取值范圍是.故答案為：14、16【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，由，即可得也是等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】是等比數(shù)列，，即，也是等比數(shù)列，且，，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為16.故答案為：1615、①.②.【解析】首先根據(jù)題意得到，再計(jì)算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?.故答案為：；16、【解析】先求出命題p,q為真命題時(shí)的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時(shí)，有，命題q：，為真時(shí)，則有，即，故為真命題時(shí)，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案?！拘?wèn)1詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問(wèn)2詳解】?jī)蓛纱怪?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由拋物線的定義，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn)19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問(wèn)2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上：.20、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫(xiě)出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長(zhǎng)；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)Q，當(dāng)CQ垂直于AB時(shí)，AB最短.【小問(wèn)1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長(zhǎng)；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過(guò)定點(diǎn)Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時(shí)，最短，而，故與垂直時(shí)最大，此時(shí)，，∴線段長(zhǎng)度的最小值4.21、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方