2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)上海中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)上海中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.2．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.3．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或4．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-95．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．等差數(shù)列中，,，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在7．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.8．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要9．中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點(diǎn)都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.212．中秋節(jié)吃月餅是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤(pán)中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤(pán)中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________14．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為_(kāi)____15．下列是某廠1~4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，則_______.月份1234用水量4.5432.516．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點(diǎn)，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問(wèn)題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點(diǎn)，求二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)，時(shí)，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.20．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：（1）共面；（2）求證：21．（12分）有三個(gè)條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③，，中，從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并回答問(wèn)題已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和22．（10分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B2、A【解析】利用排除法：對(duì)于B,令得,,即有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對(duì)于D,的定義域?yàn)椋环项}意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)3、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當(dāng)直線向下平移時(shí)，增大，因此把直線向上平移，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，故選：D5、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當(dāng)取最大值時(shí)，的值為或故選C7、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)椋钥梢钥闯梢辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】求出直線與平行的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當(dāng)時(shí)，與平行，當(dāng)時(shí)，與平行，則直線與直線平行等價(jià)于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B9、D【解析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D10、A【解析】由題意可知，對(duì)任意的恒成立，可得出對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，所以，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：A.11、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D12、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：應(yīng)用換元法，令，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，確定關(guān)系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對(duì)稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，考查了復(fù)合函數(shù)問(wèn)題求解的換元法14、【解析】利用已知條件求出p，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后求解的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可知：，設(shè)點(diǎn)，P到直線的距離為d，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，的最小值為，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題15、25【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出，代入，即可求出.【詳解】解：由題意知：，，將代入線性回歸方程，即，解得：.故答案為：5.25.16、2【解析】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對(duì)任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因?yàn)椋?，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以是等邊三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因?yàn)?，所以?又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因?yàn)椋?，平?所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，得，，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)題干提示來(lái)證明，注意證明首項(xiàng)不是零；（2）利用裂項(xiàng)求和來(lái)解決.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，當(dāng)時(shí)，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項(xiàng)相加，可得，當(dāng)n=1成立，故19、（1）；（2）.【解析】（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算，接著根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可;（2）因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線的方程，代入點(diǎn)求解，最后寫(xiě)出切線方程即可.【詳解】（1）.，.所以曲線在處的切線方程為，即（2）設(shè)切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)得，，.所以曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即.20、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎(chǔ)題21、；【解析】選①，由數(shù)列為常數(shù)列可得，由此可求，根據(jù)任意相鄰兩項(xiàng)均不相等可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，選③由取與原式相減可得，取可求，由此可得，故，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，【詳解】解：選①：因?yàn)椋瑪?shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因?yàn)閿?shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且，所以數(shù)列為2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即；所以選②：因?yàn)?，易知，，所以兩式相減可得，即，以下過(guò)程與①相同；選③：由，可得，又，時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以也滿足上式，所以，即，以下過(guò)程與①相同22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖