人大四版微積分第4章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四章

中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§

4.1

中值定理§

4.2

洛必達法則§

4.3

函數(shù)的增減性§

4.4

函數(shù)的極值§

4.5

最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題§

4.6

曲線的凹向與拐點§

4.7

函數(shù)圖形的作法§

4.8

邊際分析與彈性分析介紹三個定理——極限計算——函數(shù)性態(tài)的研究經(jīng)濟應(yīng)用——2§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理3羅爾中值定理則

①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);③

f(a)=f(b).若f(x)

滿足：一、羅爾中值定理幾何意義注：1.

定理的條件：三個缺一不可.2.

定理的應(yīng)用：導(dǎo)函數(shù)零點(根)的存在問題.1111-111Rolle,(法)1652-17194例1.驗證f(x)

x2

2x

3在[-1,3]上滿足羅爾定理條件，找出滿足f

(

)=0的

.注意到f(x)(x

1)(x

3),在[-1,3]上顯然連續(xù); f

(x)

2x

2

2(x

1)

在(-1,3)上顯然可導(dǎo)； f(

1)

f(3)

0

存在

1

(

1,3)

使f

(1)

0

解

故f(x)滿足羅爾定理的條件.羅爾定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.5例2

不求導(dǎo)

判斷函數(shù)f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)的導(dǎo)數(shù)有幾個實根、及其所在范圍

解

而f

(x)是二次多項式

僅有上述兩個根

f(1)

f(2)

f(3)

0

∴

f(x)在[1,2]

[2,3]上滿足羅爾定理條件

∵

f(x)在R上連續(xù)、可導(dǎo)且根據(jù)羅爾定理，有：羅爾定理是其他微分中值定理的基礎(chǔ)，該定理對判別方程根的存在性特別有效.6所以最值不可能同時在端點取得.使有證對于有

由極限的保號性78拉格朗日中值定理則

使得①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo).若f(x)

滿足：二、拉格朗日中值定理幾何意義注：2.拉格朗日公式的等價形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是羅爾定理的推廣.Lagrange(法)1736-1813

9分析定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù).將變?yōu)槭沟膯栴}.10的單調(diào)性、極值、凹凸性及某些等式與不等式的證明.在微分學(xué)中占有極重要的地位.它表明函數(shù)在區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)拉格朗日中值定理微分中值定理11證

例3

證明不等式

arctan

x2

arctanx1

x2

x1(x1

x2)

設(shè)f(x)

arctan

x

arctan

x2

arctanx1

x2

x1

在[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日定理，有

如果f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo),要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理.12例4證由上式得設(shè)由

關(guān)鍵

滿足拉格朗日中值定理的條件,證明函數(shù)不等式的慣用手段！13推論2設(shè)f和g

在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只差一個常數(shù)，即是I上的常值函數(shù).推論1設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且,則f(x)例5.證明：證明函數(shù)恒等式的慣用手段！14注意AB的斜率切線斜率15柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);若函數(shù)f和g滿足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).則

使三、柯西中值定理幾何意義注：幾何意義：考慮參變量方程v=f(x)u=g(x)例6.

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b](a>0)上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo)，則存在

∈(a,b),使Cauchy(法)1789-185716

前面對拉格朗日中值定理的證明,構(gòu)造了

現(xiàn)在對兩個給定的函數(shù)

f(x)、g(x),構(gòu)造即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)

分析上式寫成

用類比法17拉格朗日中值定理柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；f

(

)=0.羅爾定理問題：證明存在

∈(a,b),使得H(a,b,

)=0化為求根問題將a,b與

分離，找匹配形式18§4.2洛必達法則一、0/0型未定式二、∞/∞

型未定式三、其他未定式L’Hospital法國數(shù)學(xué)家(1661-1704)19則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型函數(shù)極限.①③②

f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型未定式極限2.此法可以與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.洛必達法則20例1.計算下列0/0型未定式極限：21注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞

型函數(shù)極限.二、∞/∞

型未定式極限2.此法可與等價代換、換元法等方法結(jié)合使用.3.只要滿足條件，可以反復(fù)、多次運用此法.則①③②

f和g在某Uo(x0)內(nèi)都可導(dǎo)且；若（A也可以是∞,±∞）洛必達法則22例2.計算下列∞/∞

型未定式極限：注：洛必達法則并非萬能公式,應(yīng)驗證條件！23三、其他未定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化為0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,經(jīng)通分化為0/0型④數(shù)列形式未定式：化為e0·∞型(

)改求函數(shù)極限求例6.24例7.解:(根據(jù)洛必達法則)①②(根據(jù)二階導(dǎo)定義)作業(yè):習(xí)題四P1571(1,3),2(2),9(4,6),1126定理

單調(diào)增加;單調(diào)減少.§4.3函數(shù)的增減性

27證

拉格朗日中值定理(1)(2)

此定理不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注28例解定義域為問題如本例,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．那么，如何找這些具有單調(diào)性的區(qū)間？29單調(diào)區(qū)間的尋找方法：定義若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號.的分界點．單調(diào)區(qū)間求法則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點,可能是單調(diào)區(qū)間30例解定義域所以函數(shù)f(x)在且沒有不可導(dǎo)點.31例解單調(diào)區(qū)間為定義域定義

若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對一切x?Uo(x0)有則稱f在x0處取得極大值,稱點x0為極大值點.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：極值

vs.最值1.局部vs.整體，2.極值不在端點，最值可以3.區(qū)間內(nèi)的最值點是極值點多值vs.唯一極大值點：極小值點：非極值點：x6§4.4函數(shù)的極值32極值的必要條件設(shè)f在U(x0)有定義,且在

x0可導(dǎo).若點x0是f的極值點，則必有駐點注：極值點

vs.駐點1.可導(dǎo)的極值點是駐點,“可導(dǎo)”條件不可去，2.駐點不一定是極值點，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.尋找極值點：①求駐點、不可導(dǎo)點②根據(jù)極值定義做判斷？33定理（極值的第一充分條件）設(shè)f(x)

在點x0

連續(xù)，在某

上可導(dǎo)，(1)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是

f

的極小值點；(2)若當(dāng)時,當(dāng)時，則x0

是

f

的極大值點；(3)若f

在內(nèi)不變號，則x0

不是

f

的極值點.（左減右增

極?。ㄗ笤鲇覝p

極大）34令f

(x)

0

得駐點x

1

不可導(dǎo)點為x

0

列表

f(x)

f

(x)

無0

↗↗↘0極大值x(

0)01(1

)(01)解:例1.求函數(shù)的極值點與極值.即是極小值.35函數(shù)定義域為一、二、三、(1)若則x0

是

f

的極小值點；設(shè)

定理（極值的第二充分條件）(2)若則x0

是

f

的極大值點；則3637例2.求函數(shù)的極值.解：區(qū)間端點（區(qū)間內(nèi)）極值點不可導(dǎo)點駐點最值點§

4.5

最大值與最小值，極值的應(yīng)用問題已知：若

f在[a,b]上連續(xù),則f

在[a,b]上有最大(小)值.問題：如何找出最大(小)值點?求f

在[a,b]上最值的步驟：①列出區(qū)間端點、區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)點及駐點，求對應(yīng)點函數(shù)值；②以上函數(shù)值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。38解:例1.求在

上的最大值與最小值.函數(shù)的駐點x

1,不可導(dǎo)點為x

0,

所以f在處取得最大值0，在處取得最小值.39問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒子，例2.

解:設(shè)正方形的邊長為a,每個小正方形的邊長為x.而則盒子的容積為又所以為V(x)在區(qū)間內(nèi)唯一駐點,所以為唯一的極大值點，此時盒子容積最大.4041問題?如何研究曲線的彎曲方向§

4.6

曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I

上滿足:(1)曲線總在曲線上點的切線的上方，則稱f

在I

上上凹(凹)；(2)曲線總在曲線上點的切線的下方，則稱f

在I

上下凹(凸).42定理若函數(shù)f在區(qū)間I

上二階可導(dǎo)，(1)若則f

在I

上上凹(凹)；(2)若則f

在I

上下凹(凸).定義曲線上凹、下凹的分界點稱作拐點.注:1.二階導(dǎo)為零、或二階不可導(dǎo)的點可能是拐點.432.二階導(dǎo)為零不一定是拐

點

，例：y=x4

,x0=0.

解

例1

求曲線y

x4

2x3

1的凹向與拐點

y

4x3

6x2

y

12x2

12x

12x(x

1)

得x1

0

x2

1

令y

0

列表

所以曲線在(

0)

(1

)上凹,在(0

1)下凹.

y

yx(-

,0)0(0,1)1(1,+

)

0

0

上凹1(拐點)下凹0(拐點)上凹(0

1)和(1

0)是拐點

44

解

當(dāng)x

2時

y

0

y

不存在

列表

因此曲線在(

,2)下凹,在(2,

)上凹,

拐點(2,0)

y

y

x

(-

,2)2(2,+

)

不存在

下凹0(拐點)上凹

例2

求曲線y(x

2)5/3

的凹向與拐點

45作業(yè):習(xí)題四P15918(5,7),19(1),32(2,4)一、曲線的漸近線§

4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線y=f(x)上的點沿著曲線趨于無窮遠時

該點與直線L

的距離趨于0

則稱L

為曲線的漸近線.1)若或稱y

b

為水平漸近線

稱x

c

為鉛垂?jié)u近線

2)若或稱y=kx+b

為斜漸近線，

3)若其中，

47注:水平漸近線是斜漸近線的特例.48

斜漸近線

斜漸近線若則曲線

解

因為所以x

1是曲線的鉛垂?jié)u近線

因為所以y

x

1是曲線的斜漸近線

例1.

求曲線的漸近線

49所以曲線沒有水平漸近線

50例求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.函數(shù)作圖基本步驟：1.求函數(shù)的定義域；3.求函數(shù)的某些特殊點，比如：4.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點,凹向區(qū)間、拐點；5.考察漸近線；6.綜合上述結(jié)果,列表并作圖.與坐標(biāo)軸的交點、不連續(xù)點、不可導(dǎo)點；二、函數(shù)圖形的作法2.考察函數(shù)的奇偶性、周期性；51例2.解:f的定義域為x≠0，且知f無不可導(dǎo)點.令得故函數(shù)圖象過點與令=0,得駐點x=-2，令=0,得特殊點x=-3.f是非奇、非偶、非周期的連續(xù)函數(shù).凹/減凹/增極小值點凹/減拐點凸/減++++0--+0---f(0,+∞)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-∞,-3)x列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間、凹向及極值點和拐點：52f的圖象過點：例2.解(續(xù)):由及得斜漸近線y=-2；由得鉛垂?jié)u近線x=0.補充函數(shù)圖象上的點：根據(jù)以上結(jié)果繪制函數(shù)圖象(左圖).凹減凹增凹減凸減f(0,+∞)(-2,0)(-3,-2)(-∞,-3)x53真實圖象：草圖：54§4.8變化率及相對變化率（一）函數(shù)變化率——邊際函數(shù)

（二）成本在經(jīng)濟中的應(yīng)用

（三）收益

（四）函數(shù)的相對變化率——函數(shù)的彈性

（五）需求函數(shù)與供給函數(shù)

（六）需求彈性與供給彈性

（七）用需求彈性分析總收益的變化（一）函數(shù)變化率——邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱為邊際函數(shù).稱為在內(nèi)的平均變化率，它表示在內(nèi)的平均變化速度.際函數(shù)值，相應(yīng)改變的真值應(yīng)為。在點處，從改變一個單位，在處的導(dǎo)數(shù)稱為在點處的變化率，也稱為在點處的邊它表示在點處的變化速度。單位很小時，但當(dāng)改變的或的“一個單位”與值相對來說很小時，則有的改變時，當(dāng)產(chǎn)生一個單位這說明在處，在應(yīng)用問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義近似改變個單位。時一般略去“近似”二字。

例1函數(shù)在點處邊際函數(shù)值為它表示當(dāng)時，改變一個單位，（近似）改變個單位。

例2設(shè)某產(chǎn)品成本函數(shù)（為總成本，為產(chǎn)量），其變化率稱為邊際成本。本。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際成西方經(jīng)濟學(xué)家的解釋是：生產(chǎn)前最后一個單位產(chǎn)品所增添的成本。當(dāng)產(chǎn)量達到時，（二）成本某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源投入（勞動力、原料、設(shè)備等）的價格或費用總額。它由固定資本與可變資本組成。

平均成本是生產(chǎn)一定量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本。

邊際成本是總成本的變化率。在生產(chǎn)技術(shù)水平和生產(chǎn)要素的價格固定不變的條件下，產(chǎn)品的總成本、平均成本、邊際成本都是產(chǎn)量的函數(shù)。設(shè)為總成本，為固定成本，為可變成本，為平均成本，為邊際成本，為產(chǎn)量則有總成本函數(shù)平均成本函數(shù)

例3已知某商品的成本函數(shù)為邊際成本函數(shù)本。

解由求：當(dāng)時的總成本、平均成本及邊際成有平均成本最??？平均成本

解由總成本當(dāng)時，邊際成本

例4例3中的商品當(dāng)產(chǎn)量為多少時，令得又所以時，平均成本最小。（三）收益

收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品時所得到的全部收入。

平均收益是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品，平均每出售單位產(chǎn)品所得到的收入，

邊際收益是總收益的變化率。即單位產(chǎn)品的售價?？偸找妗⑵骄找?、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)。設(shè)為商品價格，為商品數(shù)量，益，為平均收益，為邊際收益，為總收則有需求（價格）函數(shù)總收益函數(shù)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)需求與收益的關(guān)系總收益與平均收益的關(guān)系總收益與邊際收益的關(guān)系（參見第六章）

例5設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為收益。求銷售量為時的總收益、平均收益的與邊際

解

下面討論最大利潤原則：取得最大值的必有條件為即取得最大利潤的必有條件：設(shè)總利潤為邊際收益邊際成本取得最大值的充分條件為即取得最大利潤的充分條件：邊際收益的變化率邊際成本的變化率

例6已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為成本函數(shù)為求產(chǎn)量為多少時總利潤

解由并驗證是否符合最大利潤原則。最大？有令，得所以當(dāng)時，總利潤最大。此時有有所以符合最大利潤原則。

例7某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，元，問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，元，總利潤最大？固定成本成本增加已知總收益是年產(chǎn)量的函數(shù)此時總利潤是多少？得總利潤函數(shù)為總成本函數(shù)為

解由題意知，令，得所以時最大。此時即當(dāng)年產(chǎn)量為個單位時，總利潤最大，此時總利潤為元。**（四）函數(shù)的相對變化率——函數(shù)的彈性前面談到的函數(shù)的改變量與函數(shù)的變化率是絕對改變量與絕對變化率，到，僅僅研究函數(shù)的絕對改變量和變化率是不夠的。商品乙每單位價格1000元，例如，商品甲每單位價格10元，品的絕對改變量都是1元，從實踐中我們體會漲價1元；也漲價1元。兩種商但各與其原價相比，兩者漲價的百分比卻有很大不同，商品甲漲了10%，因此我們有必要研究函數(shù)的相對改變量和變化率。此時自變量與因變量的絕對改例如，而商品乙只漲了0.1%。100改變到144，而當(dāng)由10改變到12時，由變量分別為這表明當(dāng)改變到時，的改變量，產(chǎn)生了產(chǎn)生了的改變。這就是相對改變量。函數(shù)的平均相對變化率。這表明在內(nèi)，從，改變時，平均改變，稱它為從到，函數(shù)的相對改變量

【定義4.5】設(shè)函數(shù)在點稱為與自變量的相對改變量之比，處可導(dǎo)，函數(shù)從到兩點間的相對變化率，或稱為兩點間的彈性。當(dāng)時，即的極限稱為

在處的相對變化率（或彈性），記作或當(dāng)為定值時，為定值。則對一般的，若可導(dǎo)，稱為的彈性函數(shù)。的變化反應(yīng)的強烈程度或靈敏度。是的函數(shù)，函數(shù)在點的彈性反映了隨著的變化變化的幅度的大小，即對的改變時，在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時，“相對性”是相對初始值而言的。表示在點處，

說明兩點間的彈性是有方向的，因為當(dāng)產(chǎn)生1%近似地改變。經(jīng)常略去“近似”二字。

解

例8求函數(shù)在處的彈性

解

例9求函數(shù)的彈性函數(shù)及函數(shù)在點的彈性

解函數(shù)

例10求冪函數(shù)（為常數(shù)）的彈性

說明冪函數(shù)的彈性函數(shù)為常數(shù)，即在任意點處彈性不變，稱其為不變彈性函數(shù)。（五）需求函數(shù)與供給函數(shù)

（1）需求函數(shù)“需求”是指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量?，F(xiàn)在不考慮價格以外的因素，只研究需求與價格的關(guān)系。設(shè)表示商品價格，則有稱為需求函數(shù)。（為自變量，為因變量）表示需求量，一般而言，商品價格低，需求大；格高，需求小。商品價因此，一般需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)。求函數(shù)。其反函數(shù)也稱為需經(jīng)濟學(xué)中用表示需求曲線，如圖所示常用下列一些初等函數(shù)來擬合需求函數(shù)，建立經(jīng)驗曲線：線性函數(shù)反比函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)稱為邊際需求。需求函數(shù)的邊際函數(shù)

例如若已知需求函數(shù)為則邊際函數(shù)當(dāng)時，稱為時的邊際需求它表示：當(dāng)時，價格上漲（下跌）1個單位需求將減少（增加）4個單位。

（2）供給函數(shù)“供給”是指在一定價格條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量?，F(xiàn)在不考慮價格以外的因素，只研究供給與價格的關(guān)系。設(shè)表示商品價格，則有稱為供給函數(shù)。（為自變量，為因變量）表示供給量，一般而言，商品價格低，供給少；格高，供給多。商品價因此，一般供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。給函數(shù)。其反函數(shù)也稱為供經(jīng)濟學(xué)中用表示供給曲線，如圖所示需求曲線供給曲線線性函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)常用下列一些初等函數(shù)來擬合供給函數(shù)，建立經(jīng)驗曲線：

（3）均衡價格均衡價格是市場上需求量與供給量相等時的價格，如圖所示需求曲線供給曲線是在需求曲線與供給橫坐標(biāo)。曲線相交的點處的當(dāng)時，消費者希望購買的商品量為，市場上出現(xiàn)“供不應(yīng)求”，生產(chǎn)者愿意出售的商品量為，商品短缺，會形成搶購、黑市等情況。這種情況不會持久，必然會導(dǎo)致價格上漲，增大。當(dāng)時，消費者希望購買的商品量為，市場上出現(xiàn)“供過于求”，生產(chǎn)者愿意出售的商品量為，商品滯銷。這種情況也不會持久，必然會導(dǎo)致價格下跌，減小。市場上的商品價格將圍繞均衡價格波動

例11設(shè)某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)

解分別為求均衡價格得均衡價格（六）需求彈性與供給彈性函數(shù)，為正數(shù)，只討論需求與供給對價格的彈性性，為了用正數(shù)表示需求彈采用需求函數(shù)相對變化率的相反數(shù)（絕對需求彈性是刻畫當(dāng)商品價格變動時需求變動的強弱。由于需求函數(shù)為單調(diào)減少與異號，于是及皆為負數(shù)。值）來定義需求彈性。

【定義4.6】某商品需求函數(shù)在記為處可導(dǎo)