蘇教版（2023）選擇性必修第一冊4.3.1等比數(shù)列的概念與通項公式 課件共43張PPT

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4.3.1等比數(shù)列的概念

高二數(shù)學(xué)備課組

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念.

2.掌握等比中項的概念并會應(yīng)用.

3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導(dǎo)過程.

4.靈活應(yīng)用等比數(shù)列通項公式的推廣形式及變形.

情境1：兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥板上記錄了下面的數(shù)列：

；①

；②

.③

請看下面幾個問題中的數(shù)列

情境導(dǎo)入

情境2：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”

一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完。如果將“一尺之捶”視為1份，那么每日剩下的部分依次為

…④

情境3：細胞分類

某種細胞，如果每個細胞每分鐘分裂為2個，那么每過1分鐘，1個細胞分裂的個數(shù)依次為

1，2，4，8，16，···⑤

情境導(dǎo)入

情境4：銀行存款

某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是：

⑥

課堂探究

觀察，并說出它們的運算特點.

（1）…

（2）…

（3）…

（4）

（5）1，2，4，8，16，32，…

（6）

共同特點：

從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).

新課引入

如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的___都等于___一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做___________常數(shù)叫做等數(shù)列的_____，公比通常用字母q表示

二

比

同

等比數(shù)列

公比

比

等比數(shù)列的概念

即

或

1.若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù),則該數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎

提示:不一定,根據(jù)等比數(shù)列的定義,只有比值為同一個常數(shù)時,該數(shù)列才是等比數(shù)列.

2.等比數(shù)列的首項不為零,公比可以為零嗎其它項是否可以為零

提示:不能.

3.常數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎

提示:不一定,如0,0,0,….

1.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()

A.2,22,3×22,…B.,,,…

C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…

解析:BA、C、D不是等比數(shù)列,A中不滿足定義,C項可為0,

不符合定義.

2.若-1,b,-9成等比數(shù)列,則b＝.

解析:由等比數(shù)列定義知＝,即b2＝9,故b＝±3.

答案:±3

對等比數(shù)列的定義的理解

(1)“從第2項起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項；

(2)“每一項與它的前一項的比”不可理解為“每相鄰兩項的比”；

(3)任意一項

(4)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即

或.

特別注意，q不可以為零，當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列為非零常數(shù)列，

非零常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列．

【例1】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn＝(an-1)(n∈N*)

(1)求a1,a2;

解(1)由S1＝(a1-1),

得a1＝(a1-1),所以a1＝-.

又S2＝(a2-1),

即a1＋a2＝(a2-1),

得a2＝.

例題解析

題型一等比數(shù)列的判定

(2)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

(2)證明:

當(dāng)n≥2時,an＝Sn-Sn-1

＝(an-1)-(an-1-1),

得＝-.

又a1＝-,

所以{an}是首項為-,公比為-的

等比數(shù)列.

可利用等比數(shù)列的定義來判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列

{an}是等比數(shù)列

或{an}是等比數(shù)列

類比等差數(shù)列，在如下的兩個數(shù)之間,插入一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列：

(1)2，()，8(2)-12，()，-3

4或-4

6或-6

由三個數(shù)a，G，b組成的等比數(shù)列可以看成是最簡單的等比數(shù)列.

這時，G叫做a與b的等比中項且G2＝ab.

課堂探究

注：

G是a與b的等比中項，則a與b的符號相同，

符號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項

，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù)．

(2)反過來，當(dāng)時，G不一定是a與b的等比中項．

例如，但0,0,5不是等比數(shù)列．

（三維P95）

例題解析

例2

增加什么條件可以使得該數(shù)列為等比數(shù)列？

課堂練習(xí)

在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

證明：

（法一定義法）

因為，所以.

又因為

所以

所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.

例題解析

等比數(shù)列的判定與證明

課堂練習(xí)

證明：

（法二等比中項法）

因為，所以.

又因為

所以

所以

即成等比數(shù)列，

所以，數(shù)列是等比數(shù)列.

例題解析

等比數(shù)列的判定與證明

在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

注：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法

合作探究

定義法：

或

為等比數(shù)列

等比中項法：

小結(jié)

4.3.2等比數(shù)列的通項公式（1）

高二數(shù)學(xué)備課組

思考1：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，你還記得我們從哪幾個方面研究的嗎？

1.等差數(shù)列定義：

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母d表示）.

數(shù)學(xué)表達式為：

an-an-1=d(n≥2)

或an+1-an=d

復(fù)習(xí)回顧

2.等差數(shù)列的通項公式：

an=a1+(n-1)d

=am+(n-m)d

方法：歸納法、累加法

3.等差數(shù)列通項公式的基本性質(zhì)：

復(fù)習(xí)回顧

等比數(shù)列定義：

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比（常用字母q表示）.

數(shù)學(xué)表達式為：

復(fù)習(xí)回顧

思考：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

設(shè)一個等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

.

課堂探究

探究1:等比數(shù)列的通項公式

等差數(shù)列

歸納

等比數(shù)列

.

等差數(shù)列

等比數(shù)列

（累加）

（累乘）

(n-1)個

式子相加

(n≥2)

(n-1)個式子相乘

(n≥2)

則

由此可得

又即滿足上式

已知一個等比數(shù)列的首項和公比，可以確定這個數(shù)列的任何一項。

公式中共有四個量，只要知道其中的任意三個量的值，就可以利用方程思想求出第四個量的值，即知三求一。

新知講解

首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式為

例題解析

角度一:等比數(shù)列的基本運算

【例1】在等比數(shù)列{an}中:

(1)a1＝1,a4＝8,求an;

解(1)因為a4＝a1q3,所以8＝q3,所以q＝2,

所以an＝a1qn-1＝2n-1.

(2)an＝625,n＝4,q＝5,求a1;

解(2)a1＝＝＝5,故a1＝5.

（三維P94例2）

(3)a2＋a5＝18,a3＋a6＝9,an＝1,求n.

解(3)因為

由,得q＝,從而a1＝32.

又an＝1,

所以32×＝1,

即26-n＝20,故n＝6.

例題解析

合作探究

練一練：若等比數(shù)列的第4項和第6項分別為48和12，

求的第5項.

分析：

等比數(shù)列由，q唯一確定，

可利用條件列出關(guān)于，q的方程（組），進行求解.

解法1：

由，得

②的兩邊分別除以①的兩邊，得

解得

把

代入①，得

此時

把

代入①，得

此時

因此，的第5項是24或-24.

解法2：

因為是與的等比中項，所以

所以

因此，的第5項是24或-24.

使用等比中項法計算時要特別注意該項的符號！

思考：若把題目中的條件改成第3和第7項呢？

等差數(shù)列

若等差數(shù)列{an}的公差為，

則任意兩項與滿足:

等比數(shù)列

類比

課堂探究

探究2:等比數(shù)列的基本性質(zhì)

若等比數(shù)列{an}的公比為q，

則任意兩項與滿足:

例2:在等比數(shù)列{an}中,

(1)已知a3=20，a6=160，求an;

例題解析

(2)已知a5=8，a8=1，求a1和q;

(3)已知a4=12，a8=6，求a12.

在等比數(shù)列{an}中,

(1)已知a3=2，q=-1，求a15;

(3)已知a5=4，a7=6，求a9.

鞏固練習(xí)

(2)已知a2=18，a4=8，求a1和q;

例題解析

角度2:靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題

答案45

（1）解析設(shè)這四個數(shù)分別為a,aq,aq2,aq3,

則a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差數(shù)列.

即

整理得解得a＝3,q＝2.

因此這四個數(shù)分別是3,6,12,24,其和為45.

【例3】(1)有四個數(shù)成等比數(shù)列,將這四個數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列,則這四個數(shù)的和是.

(2)解法一:設(shè)前三個數(shù)為,a,aq,

則·a·aq＝216,所以a3＝216.所以a＝6.

因此前三個數(shù)為,6,6q.

由題意知第4個數(shù)為12q-6.

所以6＋6q＋12q-6＝12,解得q＝.

故所求的四個數(shù)為9,6,4,2.

法二:設(shè)后三個數(shù)為4-d,4,4＋d,則第一個數(shù)為(4-d)2,由題意知(4-d)2×(4-d)×4＝216,解得4-d＝6.所以d＝-2.故所求得的四個數(shù)為9,6,4,2.

(2)有四個實數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,且它們的乘積為216,后三個數(shù)成等差數(shù)列,且它們之和為12,求這四個數(shù).

幾個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法

(1)三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為：,a,aq.

推廣到一般:奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為:…,,,a,aq,aq2,…;

(2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為:,,aq,aq3.

推廣到一般:偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為:

…,,,,aq,aq3,aq5,…;

(3)四個數(shù)成等比數(shù)列,不能確定它們的符號相同時,

可設(shè)為:a,aq,aq2,aq3.

1.在2和20之間插入兩個數(shù),使前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,則插入的兩個數(shù)的和為()

A.-4或B.4或

解析:B設(shè)插入的第一個數(shù)為a,則插入的另一個數(shù)為.

由a,,20成等差數(shù)列得2×＝a＋20.

∴a2-a-20＝0,解得a＝-4或a＝5.

當(dāng)a＝-4時,插入的兩個數(shù)的和為a＋＝4.

當(dāng)a＝5時,插入的兩個數(shù)的和為a＋＝.

C.4D.17

跟蹤訓(xùn)練

2.在等比數(shù)列{an}中.

(1)若它的前三項分別為5,-15,45,求a5;

解:(1)因為a5＝a1q4,而a1＝5,q＝＝-3,

所以a5＝405.

(2)若a4＝2,a7＝8,求an.

解:(2)因為所以

由得q3＝4,從而q＝,而a1q3＝2,

于是a1＝＝,所以an＝a1qn-1＝.

課堂探究

探究3:等比數(shù)列的運算性質(zhì)

等差數(shù)列

等比數(shù)列

{an}

等比數(shù)列的運算性質(zhì)

在等比數(shù)列中，若m+n=p+q（），

則，

①特別地，當(dāng)m+n=2k（）時，

②對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積

等于首末兩項的積，

即

課堂探究

2.若等比數(shù)列{n}的各項均為正數(shù)，且1011＋912＝2e5，則ln1＋ln2＋…＋ln20＝________.

50

3.在等比數(shù)列{n}中，各項均為正值，且610＋35＝41，48＝5,則4＋8＝________

1.在等比數(shù)列{n}中，若3，15是方程x2－6x＋8＝0的根，則9(117)＝________

合作探究

等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

由可知，

當(dāng)q>0且

時，

等比數(shù)列的第n項

是指數(shù)函數(shù)當(dāng)x=n時的函數(shù)值，

即（右圖所示）.

反之，任給指數(shù)函數(shù)

則

構(gòu)成一個等比數(shù)列

其首項為，

公比為a.

課堂探究

探究4:函數(shù)角度理解等比數(shù)列

合作探究

等比數(shù)列的單調(diào)性

由等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系可得等比數(shù)列的單調(diào)性

如下：

（1）當(dāng)時，等比數(shù)列為