2023學年完整公開課版算法案例

第一章算法初步算法案例（一）359151.在小學，我們已經(jīng)學過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的最大公約數(shù)嗎？183023∴18和30的最大公約數(shù)是2×3=6.先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來.2.如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)?新課引入1.輾轉(zhuǎn)相除法:求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù).解：8251＝6105×1＋2146注：8251和6105的公約數(shù)就是6105和2146的公約數(shù)，求8251和6105的最大公約數(shù)，只要求出6105和2146的公約數(shù)就可以了。案例1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術例題剖析求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。解：8251＝6105×1＋2146;則37為8251與6105的最大公約數(shù)。

以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋37;148＝37×4＋0.第一步：輸入兩個正整數(shù)m,n(m>n).第二步：計算m除以n所得的余數(shù)r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,則m,n的最大公約數(shù)等于m；否則轉(zhuǎn)到第二步.第五步：輸出最大公約數(shù)m.誘思探究（2）算法步驟（1）算法分析：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。你能寫出利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的程序嗎？開始輸入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r

輸出m結(jié)束INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND（3）程序框圖（4）程序利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).課堂練習解：20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.所以4081與20723的最大公約數(shù)為53.2.更相減損術:

我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。

第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，所以，98與63的最大公約數(shù)是7。98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.例題剖析2用更相減損術求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。課堂練習解：把84與72分別除以2得：42，3621-18=318-3=1515-3=1212-3=99-3=66-3=3所以84與72的最大公約數(shù)為12.再分別除以2得：21，18輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的比較有何區(qū)別？（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術以減法為主;計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到.誘思探究2如何求324、243、135這三個數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。誘思探究3課堂小結(jié)

本節(jié)課學習的主要內(nèi)容：