正余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及高考考試題型

.z.三角函數(shù)五——正、余弦定理一、知識(shí)點(diǎn)〔一〕正弦定理：其中是三角形外接圓半徑.變形公式：〔1〕化邊為角：〔2〕化角為邊：〔3〕〔4〕.3、三角形面積公式：4、正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：〔1〕兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；〔解唯一〕〔2〕兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角.〔解可能不唯一〕〔二〕余弦定理：由此可得：.注：＞A是鈍角；=A是直角；＜A是銳角；2、余弦定理可以解決的問(wèn)題：〔1〕三邊，求三個(gè)角；〔解唯一〕〔2〕兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；〔解唯一〕：〔3〕兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊，進(jìn)而可求其它的邊和角.〔解可能不唯一〕三、正、余弦定理的應(yīng)用射影定理：有關(guān)三角形角的幾個(gè)常用公式解三角形常見(jiàn)的四種類(lèi)型兩角與一邊：由及正弦定理，可求出，再求。兩邊與其夾角，由，求出，再由余弦定理，求出角。〔3〕三邊，由余弦定理可求出?！?〕兩邊及其中一邊的對(duì)角，由正弦定理，求出另一邊的對(duì)角，由，求出，再由求出，而通過(guò)90°90°90°一解一解一解無(wú)解無(wú)解一解兩解無(wú)解無(wú)解一解無(wú)解求時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解的情況，其判斷方法，如下表：二、例題講解〔一〕求邊的問(wèn)題〔2009文〕中，的對(duì)邊分別為假設(shè)且，則()A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】由可知,,所以,由正弦定理得,應(yīng)選A〔2013·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·Ｔ10〕銳角△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，，，c=6，則〔〕A.10 B.9 C.8 D.5【解題指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】選D.因?yàn)?，所以，解得，方法?因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以,.由正弦定理得，.，.又，所以，.由正弦定理得,，解得.方法二:由余弦定理，，則，解得〔2011〕在中，角所對(duì)的邊分.假設(shè)，則()A．-B．C．-1D．1【答案】D【解析】∵，∴，∴.9、〔2011〕在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=，b=，，求邊BC上的高.【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又，∴，即，，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得，又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC邊上的高AD＝AC·sinC＝在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)假設(shè)a=6,b+c=8,求△ABC的面積.【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根據(jù)余弦定理,借助三角形的面積公式求解.【解析】(1)由2asinB=QUOTEb及正弦定理,得sinA=QUOTE,因?yàn)锳是銳角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面積公式S=QUOTEbcsinA,得△ABC的面積為QUOTE.6、〔2012理〕設(shè)的角的對(duì)邊分別為,且則______【答案】【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理.4、〔2012文〕在中,,則_______.【答案】【解析】由正弦定理得5、〔2011〕在中，假設(shè)，則.【答案】【解析】：由正弦定理得又所以1、在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，,，則〔〕A、1B、2C、D、在△ABC中，分別為的對(duì)邊.如果成等差數(shù)列，30°，△ABC的面積為，則〔〕A、B、C、D、3、在△ABC中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，假設(shè)120°，，則〔〕A、B、C、D、與的大小關(guān)系不能確定5、假設(shè)△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是，60°，則邊的長(zhǎng)是〔〕A、5 B、6 C、7 D、87、三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為〔〕A、52B、C、16D、411、在中.假設(shè)b=5，，sinA=，則___________________.12、假設(shè)△ABC的面積為EQ\R(,3)，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于13、如圖，在△ABC中，假設(shè)，，則。〔二〕求角的問(wèn)題〔2013·高考文科·Ｔ5〕在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=()A.B.C.D.1【解析】選B。2012**理〕在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,,則(〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，又，，所以，易知〔2013·高考文科·Ｔ5〕在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.假設(shè)2asinB=b，則角A等于〔〕A.B.C.D.【解題指南】此題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形〞.【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.〔2013·高考理科·Ｔ3〕在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.假設(shè)〔〕A．B．C．D．【解題指南】此題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形〞.【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.〔2013·**高考理科·Ｔ6〕在△ABC中,則=() A. B. C. D.【解題指南】先由余弦定理求AC邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正弦定理求值.【解析】選C.在△ABC中，由余弦定理得，所以由正弦定理得即所以.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，QUOTE.(1)求角B的大?。?2)假設(shè)，求b的取值圍.【解題指南】(1)借助三角形角和為，結(jié)合三角恒等變換將條件中的等式轉(zhuǎn)化為只含B的方程，求出B的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求出角B.〔2〕根據(jù)〔1〕求出的B與，由余弦定理可得b2關(guān)于a的函數(shù)，注意到可知，進(jìn)而可求出b的圍.【解析】〔1〕由得，即.因?yàn)?，所?又,所以,又，所以.〔2〕由余弦定理，有，因?yàn)椋?所以，又因?yàn)?，所以，?(2013·高考理科·T16)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中點(diǎn).假設(shè),則sin∠BAC=.【解題指南】分別在Rt△ABC和△ABM中應(yīng)用勾股定理和正弦定理.【解析】設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得①,因?yàn)?又,,所以.又由①得,兩邊平方化簡(jiǎn)得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2所以.【答案】〔2013·高考文科·T5〕ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.假設(shè)a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是.【解析】【答案】設(shè)的角，，的對(duì)邊分別為，〔=1\*ROMANI〕求;〔=2\*ROMANII〕假設(shè),求.【解題指南】〔=1\*ROMANI〕由條件確定求應(yīng)采用余弦定理.〔=2\*ROMANII〕應(yīng)用三角恒等變換求出及的值，列出方程組確定的值.【解析】〔=1\*ROMANI〕因?yàn)?所以.由余弦定理得，因此.〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕知，所以.故或，因此或10、〔2012理〕在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列.〔I〕求的值;〔Ⅱ〕邊a,b,c成等比數(shù)列,求的值.【解析】〔I〕由〔Ⅱ〕解法一：，由正弦定理得，解法二：，由此得，得所以〔2012文〕△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.3cos(B-C)-1=6cosBcosC.〔1〕求cosA;〔2〕假設(shè)a=3,△ABC的面積為,求b,c.【解析】〔1〕則.〔2〕由〔1〕得,由面積可得bc=6①,則根據(jù)余弦定理則②,①②兩式聯(lián)立可得或7、〔2011全國(guó)〕△ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.己知.〔I〕求B；〔Ⅱ〕假設(shè).【解析】〔I〕由正弦定理得由余弦定理得.故，因此〔II〕故.1、的角的對(duì)邊分別為，假設(shè)成等比數(shù)列，且，則〔〕A、B、C、D、2、在△ABC中，60°，，則等于〔〕A、45°或135°B、135°C、45°D、以上答案都不對(duì)4、在△ABC中，，，，則等于〔 〕A、30° B、45° C、60° D、120°6、在△ABC中，，則為〔〕A、 B、 C、 D、或7、△ABC的面積為，且，則等于〔〕A、30° B、30°或150° C、60° D、60°或120°8、在△ABC中,,則的值為〔〕A、B、C、D、10、假設(shè)△的角，滿(mǎn)足，則 A． B． C． D．11、在中，角所對(duì)的邊分．假設(shè)，則 A．-B． C．-1 D．112、在△ABC中，45°,則。13、在△ABC中，,30°，則。14、分別是△ABC的三個(gè)角所對(duì)的邊，假設(shè)，,則。15、在△ABC中，，則△ABC的最大角的度數(shù)是16、，則17、在中，角所對(duì)的邊分別為，假設(shè)，，,則角的大小為.〔三〕判斷三角形形狀的問(wèn)題設(shè)△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,假設(shè),則△ABC的形狀為() A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定【解題指南】在含有邊角關(guān)系式的三角函數(shù)恒等變形中,利用正弦定理將邊的關(guān)系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關(guān)系式,這是判斷三角形形狀的兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向.【解析】選A.因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2sinA=sin2A,sinA=11、在△中，假設(shè)，則△是〔〕A、直角三角形B、等邊三角形C、鈍角三角形D、等腰直角三角形2、在中，，則一定是〔〕A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形3、△ABC中，，則此三角形一定是〔〕A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形4、在△ABC中，假設(shè)，則△ABC的形狀是〔〕A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形7、在△ABC中，30°,,，則這個(gè)三角形是〔〕A、等邊三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形8、△ABC中，，則△ABC為〔〕A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形9、關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是〔〕A、直角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形10、△ABC中，，則三角形為?！菜摹橙切蔚拿娣e的問(wèn)題〔2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科·Ｔ4〕的角的對(duì)邊分別為，，，，則的面積為〔〕A.B.C.D.【解析】選B.因?yàn)?所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為.因?yàn)?，所以，選B..(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考理科·T17)△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)假設(shè)b=2,求△ABC面積的最大值.【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角〞,化簡(jiǎn)求得B.(2)利用角B、邊b將△ABC面積表示出來(lái),借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inC≠0,所以tanB=1,解得B=QUOTE(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosQUOTE,即4=a2+c2-QUOTEac,由不等式得a2+c2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),取等號(hào),所以4≥(2-QUOTE)ac,解得ac≤4+2QUOTE,所以△ABC的面積為QUOTEacsinQUOTE≤QUOTE×(4+2QUOTE)=QUOTE+1.所以△ABC面積的最大值為QUOTE+1.1、在△ABC中，,,，則△ABC面積為〔〕A、 B、 C、或 D、 或2、△ABC的三邊長(zhǎng)則△ABC的面積為〔〕A、 B、 C、