2023-2024學年福建省羅源縣第一中學高二上數(shù)學期末達標檢測試題含解析

2023-2024學年福建省羅源縣第一中學高二上數(shù)學期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或2．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件3．已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，點為切點.若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.5．第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．根據(jù)安排，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”（離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.28．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e10．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.11．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.12．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.14．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________15．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點，若動點P在C的右支上，則的最小值是______16．已知拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍18．（12分）已知圓與（1）過點作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點，求的長19．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線l1過點P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點，求AB的長；（2）求過點P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.20．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍21．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.22．（10分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標準方程；（2）過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點到直線的距離為，解得或.故選：C.2、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項C正確故選：C.3、C【解析】由題意，設，直線方程為，則由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及弦長公式求出，進而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因為拋物線的性質(zhì)：在拋物線上任意一點處的切線方程為，設，所以在點處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，所以直線的方程為，即，點到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.4、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數(shù)的等式與不等式，由此可解得實數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.5、C【解析】設內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進而求得離心率.【詳解】設內(nèi)層橢圓方程為，因為內(nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設外層橢圓的方程為，設切線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設切線的方程為，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.6、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎題.7、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B8、B【解析】首先由點的坐標滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關系轉(zhuǎn)化為斜率關系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.9、D【解析】求導，由得出.【詳解】，故選：D10、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，可得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.11、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設點M為的重心，E為AC中點，當點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運算能力，屬于中檔題.14、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.15、【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點坐標，求出雙曲線的標準方程；設，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設，則，且，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.16、3【解析】由題意求得拋物線的準線方程為，進而得到準線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】先假設命題、為真，分別求得實數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實數(shù)的取值范圍或其補集，最終確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當p真q假時，∴；②當p假q真時，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.18、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯(lián)立兩圓方程可得公共弦方程，進而可得弦長.【小問1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問2詳解】聯(lián)立兩圓方程得：，消去二次項得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.19、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點斜式求出直線的方程，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計算可得；（2）依題意可得點在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時設直線方程為，利用點到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，點在圓外，分兩種情況討論：當直線的斜率不存在時，過點的直線方程是，此時與圓C：相切，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，直線與圓相切時，圓心到直線的距離為解得此時，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.20、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關系、根與系數(shù)的關系得到兩個交點坐標間的關系，利用A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關系，進而消去得到的不等式進行求解.【小問1詳解】解：因為過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】解：聯(lián)立，得，因為直線與該雙曲線C交于不同的兩點，所以且，即且，設，，的中點，則，，因為A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，所以，即，因為，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.21、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中