2023-2024學年福福建省泉州市高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2023-2024學年福福建省泉州市高二數(shù)學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓O的半徑為5，，過點P的2021條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B.C. D.2．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在3．方程與的曲線在同一坐標系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.4．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.5．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或66．對于兩個平面、，“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，8．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.909．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.10．（）A. B.C. D.11．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱錐的體積為24，則四棱錐外接球的表面積是___________.14．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點的坐標，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.15．已知從某班學生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______16．已知向量，，若，則實數(shù)=________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和為，求.18．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當直線軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.19．（12分）已知圓過點，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點，點，求的值.21．（12分）已知點是拋物線C：上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.22．（10分）已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】可得過點P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點P的與垂直的弦，，公差.故選：B.2、A【解析】應(yīng)用直線與圓的相離關(guān)系可得，再由余弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設(shè)，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.3、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當和同號時，拋物線開口向左，方程表示焦點在軸的橢圓，無符合條件的選項；當和異號時，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項.4、C【解析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.5、A【解析】根據(jù)求出c，進而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.6、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.8、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B9、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B10、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.11、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C12、D【解析】求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)球的截面圓圓心與球心的連線垂直截面可確定垂直平面ABCD，構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可得解.【詳解】如圖，分別取BC，AD的中點，E，連接PE，，，.因為是邊長為4的等邊三角形，所以.因為四邊形ABCD是等腰梯形，，，，所以，.因為四棱錐的體積為24，所以，所以.因為E是AD的中點，所以.因為，所以平面ABCD.因為，所以四邊形ABCD外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為O，連接，OP，OB，過點О作，垂足為F.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：14、（1）直線過定點P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點P（4，3），又圓C標準方程為，圓心為，半徑為，而，所以點P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點.【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.15、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.16、【解析】由可求得【詳解】因為，所以，故答案為：【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式則可得，進而得到的通項公式；（2）由（1）把的通項公式代入，得到，利用乘公比錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設(shè)重心，根據(jù)重心性質(zhì)得到，，再代入求解即可.小問1詳解】因為左頂點，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；【小問2詳解】設(shè)直線為，則，則，，那么，根據(jù)解得，所以.【小問3詳解】設(shè)重心，則：，，所以，所以，即所求直線的斜率為.19、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心，利用兩點坐標公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標和半徑，進而得出圓的標準方程；(2)根據(jù)點關(guān)于坐標軸對稱的點的特征可得，利用直線的兩點式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點，，因為圓心在直線：：上，設(shè)圓心，又圓過點，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點關(guān)于軸的對稱點，則反射光線必經(jīng)過點和點，由直線的兩點式方程可得，即：.20、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標準形式，代入曲線C的直角坐標方程，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標方程為；【小問2詳解】解：點滿足，故點在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標準形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標方程為，得，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.21、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長AB【詳解】（1）拋物線C：的準線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過拋物線