2023-2024學年廣西南寧市馬山縣高中聯(lián)合體數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

2023-2024學年廣西南寧市馬山縣高中聯(lián)合體數(shù)學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支2．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.3．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.5．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點）與一條射線6．若函數(shù)在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．如圖，在長方體中，是線段上一點，且，若，則（）A. B.C. D.8．設，，則與的等比中項為（）A. B.C. D.9．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.10．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，11．已知雙曲線的實軸長為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B.C. D.12．已知為等腰直角三角形的直角頂點，以為旋轉軸旋轉一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)據6，8，9，10，7的方差為______14．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．拋物線的準線方程是，則實數(shù)___________.16．在空間直角坐標系Oxyz中，點在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內單調遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.19．（12分）點與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動點的軌跡的方程；（2）點在（1）中軌跡上運動軸，為垂足，點滿足，求點軌跡方程.20．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.21．（12分）直線經過兩直線和的交點（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為，求直線的方程22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】結合雙曲線定義的有關知識確定正確選項.【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D2、C【解析】由角平分線的性質可得，結合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C3、C【解析】根據等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】解：設該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C4、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A5、B【解析】化簡得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點）與一條直線，故選：B.6、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為在有解，進而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.7、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關于、、的表達式，進而可求得的值.【詳解】連接、，因，因為是線段上一點，且，則，因此，因此，.故選：A.8、C【解析】利用等比中項的定義可求得結果.【詳解】由題意可知，與的等比中項為.故選：C.9、D【解析】根據正方體的性質，在直角△中應用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.10、C【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C11、B【解析】利用雙曲線的實軸長為，求出，即可求出該雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題.12、B【解析】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先求出數(shù)據的平均值，再應用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設，平均值為，∴方差.故答案為：2.14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.15、##【解析】將拋物線方程化為標準方程，根據其準線方程即可求得實數(shù).【詳解】拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故答案為：16、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標，當斜率不存在時，設出點的坐標進行求解；（2）結合第一問的定點坐標，結合直角三角形斜邊中線得到存在點，使得為定值，求出結果.【小問1詳解】設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因為，所以，即，根據，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點【小問2詳解】由（1）可知因為，取中點，則此時，【點睛】直線過定點問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，設出直線為，聯(lián)立后用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，結合題干條件得到等量關系，求出的關系，進而得到定點坐標.18、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導數(shù)得出在上的單調性；（2）設和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設條件得出對任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質求解即可.【小問1詳解】，當時，在上單調遞增在內單調遞增【小問2詳解】設和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當時，則有符合題意；當時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導得不了函數(shù)的單調性，再次求導得，進而得出在恒成立，得在上的單調性.19、（1）；（2）【解析】（1）根據題意用表示出與，再代入，再化簡即可得出答案。（2）設，利用表示出點，再將點代入橢圓，化簡即可得出答案?！驹斀狻浚?）由題意知，所以化簡得：（2）設，因為，則將代入橢圓得化簡得【點睛】本題考查軌跡方程，一般求某點的軌跡方程，只需要設該點為，利用所給條件建立的關系式，化簡即可。屬于基礎題。20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間.（2）根據（1）的結論可得函數(shù)的最小值，再利用導數(shù)可證不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，且，當時，在上恒成立，所以此時在上為增函數(shù)，當時，由，解得，由，解得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上：當時，在上為增函數(shù)，當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；【小問2詳解】由（1）知:當時，在上為增函數(shù)，無最小值.當時，在上上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，則，由，解得，由，解得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即在上恒成立.21、（1）（2）或【解析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點的坐標，利用兩直線平行的性質，用待定系數(shù)法求出的方程（2）分類討論直線的斜率，利用點到直線的距離公式，用點斜式求直線的方程【小問1詳解】解：由，解得，所以兩直線和的交點為當直線與直線平行，設的方程為，把點代入求得，可得的方程為【小問2詳解】解：斜率不存在時，直線方程為，滿足點到直線的距離為5當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直限的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故的方程為，即綜上，直線的方程為或22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根