濾波器設(shè)計-簡明教程

-.z.引言濾波器是一種二端口網(wǎng)絡(luò)。它具有選擇頻率的特性，即可以讓*些頻率順利通過，而對其它頻率則加以阻攔，目前由于在雷達(dá)、微波、通訊等部門，多頻率工作越來越普遍，對分隔頻率的要求也相應(yīng)提高；所以需用大量的濾波器。再則，微波固體器件的應(yīng)用對濾波器的開展也有推動作用，像參數(shù)放大器、微波固體倍頻器、微波固體混頻器等一類器件都是多頻率工作的，都需用相應(yīng)的濾波器。更何況，隨著集成電路的迅速開展，近幾年來，電子電路的構(gòu)成完全改變了，電子設(shè)備日趨小型化。原來為處理模擬信號所不可缺少的LC型濾波器，在低頻局部，將逐漸為有源濾波器和瓷濾波器所替代。在高頻局部也出現(xiàn)了許多新型的濾波器，例如：螺旋振子濾波器、微帶濾波器、交指型濾波器等等。雖然它們的設(shè)計方法各有自己的特殊之點，但是這些設(shè)計方法仍是以低頻“綜合法濾波器設(shè)計〞為根底，再從中演變而成，我們要講的波導(dǎo)濾波器就是一例。通過這局部容的學(xué)習(xí)，希望大家對復(fù)變函數(shù)在濾波器綜合中的應(yīng)用有所了解。同時也向大家說明：即使初看起來一件簡單事情或一個簡單的器件，當(dāng)你深入地去研究它時，就會有許多意想不到的問題出現(xiàn)，解決這些問題并把它用數(shù)學(xué)形式來表示，這就是我們的任務(wù)。誰對事物研究得越深，誰能提出的問題就越多，或者也可以說誰能解決的問題就越多，微波濾波器的實例就能很好的說明這個情況。我們把整個問題不斷地“化整為零〞，然后逐個地加以解決，最后再把它們合在一起，也就解決了大問題。這講義還沒有對各個問題都進(jìn)展詳細(xì)分析，由此可知提出問題的重要性。希望大家都來試試。第一局部濾波器設(shè)計§1-1濾波器的根本概念圖1圖1的虛線方框里面是一個由電抗元件L和C組成的兩端口。它的輸入端1-1'與電源相接，其電動勢為Eg，阻為R1。二端口網(wǎng)絡(luò)的輸出端2－2'與負(fù)載R2相接，當(dāng)電源的頻率為零〔直流〕或較低時，感抗jωL很小，負(fù)載R2兩端的電壓降E2比擬大〔當(dāng)然這也就是說負(fù)載R2可以得到比擬大的功率〕。但是，當(dāng)電流的頻率很高時，一方面感抗jωL變得很大，另一方面容抗－j/ωC卻很小，電感L上有一個很大的壓降，電容C又幾乎把R2短路，所以，縱然電源的電動勢Eg保持不變，負(fù)載R兩端的壓降E2也接近于零。換句話說，R2不能從電源取得多少功率。網(wǎng)絡(luò)會讓低頻信號順利通過，到達(dá)R2，但阻攔了高頻信號，使R2不受它們的作用，那些被網(wǎng)絡(luò)A〔或其他濾波器〕順利通過的頻率構(gòu)成一個“通帶〞，而那些受網(wǎng)絡(luò)A阻攔的頻率構(gòu)成一個“止帶〞，通帶和止帶相接頻率稱為截止頻率。什么機(jī)理使網(wǎng)絡(luò)A具有阻止高頻功率通過的能力呢？網(wǎng)絡(luò)A是由電抗元件組成的，而電抗元件是不消耗功率的，所以，高頻功率并沒有被網(wǎng)絡(luò)A吸收，在圖一所示的具體情況中，它有時貯存于電感L的周圍，作為磁能；在另一些時間，它又由電感L交還給電源。如果L和C都是無損元件〔即它們的電阻等于零〕，則，高頻功率就是這樣在電感與電源之間來回交換，絲毫不受損耗，這就是電抗濾波器阻止一些頻率通過的物理根底。從這個意義來說，我們可以認(rèn)為濾波器將止帶頻率的功率發(fā)射回電源去，同時也是因為這個關(guān)系，在止帶濾波器的輸入阻抗是純電抗性的。圖一的網(wǎng)絡(luò)A是一個很簡單的濾波電路，它的濾波效能是比擬低的，在許多場合下，往往不能滿足技術(shù)上的要求，而不得不采取更復(fù)雜的電路構(gòu)造。然而，不管電路構(gòu)造如何復(fù)雜，濾波作用的物理根源還是和前面所說的完全一樣。濾波作用是濾波網(wǎng)絡(luò)所具有的在特性，但濾波網(wǎng)絡(luò)所能起到的作用還受外界因素〔電源阻R1和負(fù)載電阻R2〕的影響。濾波效能首先決定于濾波器的在特性〔這是主要的〕，同時還決定于濾波器的外加阻抗〔這也是不可忽略的〕。則，濾波器效能是用什么來衡量的呢？圖二(a)表示一個電源，它的電動勢為Eg，阻為R1。設(shè)負(fù)載為R2，則當(dāng)負(fù)載直接與電源相接時，它所能吸收的功率P02為：現(xiàn)在我們將濾波器A接于電源與負(fù)載之間，如圖二(b)所示，由于濾波器的特性，當(dāng)電源頻率變化時，出現(xiàn)于R2兩端的壓降E2是不同的，即R2從電源所取得的功率在不同頻率上是不等的。用分貝來表示的P02與P2的比值稱為插入損耗Li：(1)(a)(b)圖2插入損耗Li是衡量濾波器效能的一個參數(shù)。根據(jù)上面的討論，顯然可見，一個良好的濾波器的插入損耗在通帶應(yīng)該比擬低，而在止帶應(yīng)該比擬高。理想的濾波器的插入損耗在通帶應(yīng)該等于零，而在止帶應(yīng)該是無窮大。插入損耗是普通濾波器常用的參數(shù)。濾波網(wǎng)絡(luò)具有的阻抗變換特性不難使負(fù)載R2在整個通帶與電源達(dá)成匹配。這時，負(fù)荷所吸收的功率將超過P02，而使Li取得負(fù)值。根據(jù)R1和R2的比值不同，Li的這個負(fù)值也不一樣。因此，插入損耗L并不是一個很方便的比擬基準(zhǔn)。為了防止這種困難，人們還提出另外一個參數(shù)，它以電源所能供應(yīng)的最大功率P0為基準(zhǔn)。從電工根底我們知道：P1與P0的比值，如以分貝來表示，稱為變換器損耗LA〔TransducterLoss〕:根據(jù)以上給出的種種關(guān)系，可以算出：(2)從上式顯然可見，當(dāng)R2＝R1時，變換器損耗就是插入損耗。有些參考書上，這兩者是混為一談的。必須注意，在(2)式中，當(dāng)頻率變化時，P2是跟著變化的。在理想的情況下，濾波器的變換器損耗LA在通帶應(yīng)該是零，而在止帶則應(yīng)該具有比擬大的數(shù)值。根據(jù)濾波器的具體電路構(gòu)造，變換器損耗與頻率保持有各種不同的關(guān)系。圖三給出四種典型關(guān)系，在這些圖中，橫坐標(biāo)表示頻率ω，縱坐標(biāo)表示變換器損耗LA。(a)表示有關(guān)器件順利通過低于ω的頻率，而阻礙高于ω1的頻率通過；這樣的器件稱為低通濾波器〔LP－LowPass〕。(b)的情況正好相反，稱為高通濾波器〔HP－HighPass〕。(c)表示有關(guān)器件順利通過ω1至ω2之間的頻率，對于低于ω1或高于ω2的頻率都阻礙它們通過；這樣的器件稱為帶通濾波器〔BP-BandPass〕。(d)是(c)的對立面，它阻止ω1至ω2之間的頻率通過，稱為帶阻濾波器〔BS－BandSuppress〕。這些不同的頻率特性取決于電路的具體構(gòu)造，圖四給出以上四種濾波器的根本構(gòu)造形式，各個元件的數(shù)值是和變換器衰減的頻率特性以及所接負(fù)載密切聯(lián)系著的。驟然看來，這四種電路構(gòu)造是很不一樣的，似乎各自應(yīng)有各自的設(shè)計方法。其實不然，通過一些數(shù)學(xué)方法，人們可以把這四種濾波器電路構(gòu)造完全統(tǒng)一起來，這里用到的數(shù)學(xué)方法叫作“頻率變換〞。應(yīng)用頻率變換法，其它三種濾波器都可以看作低通濾波器；在設(shè)計時，先從它對應(yīng)的低通濾波器著手〔因為這樣簡單得多〕，在獲得低通濾波器的設(shè)計數(shù)據(jù)以后，再用頻率變換法，求得所要設(shè)計的濾波器的數(shù)據(jù)。因為這個關(guān)系，滿足設(shè)計技術(shù)要求的低通濾波器稱為“母型濾波器〞或“原型濾波器〞〔prototype)。圖3圖4上面提出了衡量濾波器效能的參數(shù)－－變換器損耗LA，但是，效能好壞的準(zhǔn)則又是什么呢？在實際濾波器中，變換器損耗的頻率特性往往不像圖三那樣理想。首先，從通帶過渡到止帶，LA是慢慢增加的，所以，衡量濾波器效能好壞的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)是：從通帶過渡到止帶時，LA曲線的上升要陡峭。其次在通帶，變換器損耗不是完全不存在的，一方面因為構(gòu)成濾波器的元件多少總帶有一點損耗，如電感中的電阻，電容中的漏阻等。另一方面，由于設(shè)計上的考慮，有時成心要LA在通帶不能完全為零。故衡量濾波器效能的另一準(zhǔn)則是：在LA曲線從通帶過渡到止帶的上升程度一樣的情況下，L在通帶的大小終究怎樣。對以上兩點的要求越高，濾波器所需用的元件越多，這將帶來生產(chǎn)工作和造價的增加。所以，對于實際設(shè)計，應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)展全面的考慮，只要濾波性能能夠滿足所提出的要求，那便沒有追求LA曲線上升過分陡峭的必要。問題在于能夠完成任務(wù)，這也就是我國老話“殺雞用不著牛刀〞的意思。第一局部濾波器設(shè)計§1-2濾波器設(shè)計的兩種出發(fā)點濾波器的設(shè)計當(dāng)前有兩種不同的出發(fā)點。一種稱為鏡象參數(shù)法。它以濾波網(wǎng)絡(luò)的在特性為根據(jù)。是人們一向用來設(shè)計濾波器的老方法。這種方法的特點是:根據(jù)濾波網(wǎng)絡(luò)的具體電路,用分析的方法推算出變換器損耗的特性。然后再將這些具體電路拼湊起來,使總的LA特性滿足所需要的技術(shù)要求。用這種方法設(shè)計出來的濾波器一般為K式濾波器和m式濾波器等。這種方法的優(yōu)點是理論根據(jù)簡單。它的缺點是在分析過程中沒有考慮外接負(fù)載的影響,故在具體的設(shè)計要求提出后,需要反復(fù)試探,才能得到設(shè)計結(jié)果;這對于缺乏經(jīng)歷的工作人員來說,是頗費時間的。另一種方法從插入損耗入手,它是近年來應(yīng)用的很多的設(shè)計方法。這種方法的特點是:根據(jù)所提出的技術(shù)要求,決定插入損耗Li(在R2=R1時也就是孌換器損耗LA)與頻率ω的函數(shù)關(guān)系,然后根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系,應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論綜合出具體的電路構(gòu)造。所以這種方法和前面的一種方好是相反的;這種方法根據(jù)要求推求電路,而鏡象參數(shù)法則是應(yīng)用的特性電路拼湊出滿足要求的構(gòu)造。這種方法的優(yōu)點是設(shè)計準(zhǔn)確,而且設(shè)計是已經(jīng)考慮到外接負(fù)載的影響,無需經(jīng)過屢次試探的手續(xù)。它的缺點是需要用到比擬難深的網(wǎng)絡(luò)理論。但是,這個缺點是可以彌補(bǔ)的,因為只要一當(dāng)把滿足各種要求的母型濾波器設(shè)計出來以后,后來的設(shè)計手續(xù)變成了簡單的查表讀圖和應(yīng)用淺近數(shù)學(xué)方法換算數(shù)據(jù),從實用角度來說比鏡象參數(shù)法還要簡單得多。第一局部濾波器設(shè)計§1-3綜合法濾波器引言--恩格斯說過:“沒有分析就沒有綜合〞。要討論綜合法濾波器就需要從分析濾波器入手。綜合法濾波器設(shè)計又名插入損耗法。這就是說插入損耗是該設(shè)計法的核心。現(xiàn)在需要弄清楚什么是網(wǎng)絡(luò)分析和什么是網(wǎng)絡(luò)綜合"①網(wǎng)絡(luò)分析--給出一個具體網(wǎng)絡(luò),要我們求出這個網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。②網(wǎng)絡(luò)綜合--它是網(wǎng)絡(luò)分析的逆過程。給出一個具體的傳遞函數(shù),要我們求出這個網(wǎng)絡(luò)的電路形式和各種元件的數(shù)值。網(wǎng)絡(luò)綜合確實比分析一個具體電路要復(fù)雜得多。而且涉及的數(shù)學(xué)公式又多又難。但是它又是一個把數(shù)學(xué)用于工程問題的一個極好例子。所以我們還是決定詳細(xì)地講一講。我們相信這會對同學(xué)們有好處的。(一)二端對網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)工程設(shè)計中遇到的實際電路,大多可以用圖五所示的二端對網(wǎng)絡(luò)來表示。圖五的左方代表一個實際的電壓源,Eg是它的電動勢,R1是它的阻。右邊的R2代表負(fù)載。根據(jù)問題的不同R1和R2可以取得種種不同的數(shù)值,因為人們需要解決的實際問題是多種多樣的。圖5這樣的兩端對網(wǎng)絡(luò)主要是用作傳輸系統(tǒng)。既然如此,人們首先注意的問題是:它在外力作用下,輸出端會產(chǎn)生什么效果。譬如說,當(dāng)輸入端1-1'加上鼓勵電壓Eg,或送進(jìn)鼓勵電流I1時,接于網(wǎng)絡(luò)輸出端2-2'的端載R2上的電壓E2或流過R2上的電流I2都是很重要的響應(yīng),我們把Eg/E2之比稱為傳遞函數(shù)。學(xué)過兩端對網(wǎng)絡(luò)理論,我們當(dāng)然就希望用網(wǎng)絡(luò)理論來推導(dǎo)這個電壓傳遞函數(shù)。考慮到網(wǎng)絡(luò)元件的復(fù)雜性,我們就用通用矩陣[a]來推導(dǎo)這個傳遞函數(shù)。圖五所示構(gòu)造用[a]矩陣的參數(shù)來表示:根據(jù)[a]矩陣的定義:先求2-2'端接上負(fù)載R2時,1-1'端的輸入阻抗Zin:這樣圖五所示的網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)化為圖6那樣。該電路的電壓和電流的關(guān)系式是很容易求得的。圖6當(dāng)R1＝R2＝1Ω時，(3)因為,對于純電抗網(wǎng)絡(luò),當(dāng)頻率jω時,只有B和C是純虛數(shù),而A和D是實數(shù)。所以,就是一復(fù)數(shù)。于是又可以把它表示為:這個公式(3)是極其重要的一個關(guān)系式,它所要滿足的條件在我們一般要討論的問題中,很容易到達(dá)R1=R2。這是因為:作為一個傳輸系統(tǒng)總是希望把大局部功率傳到負(fù)載上去的,所以總是想盡方法使電流和負(fù)載匹配。這里要提的另一個問題是:為什么在公式的推導(dǎo)中,用的是R1=R2=1Ω,而不是具體值。R1=R2=300Ω,25Ω,75Ω呢"答復(fù)是:這樣可以簡化我們的討論。這也是網(wǎng)絡(luò)分析的一個極重要的結(jié)論----阻抗歸一化。(二)電壓傳遞函數(shù)的阻抗歸一化人們對大量的具體電壓傳遞函數(shù)進(jìn)展分析后,總結(jié)出一個重要的特性。如果網(wǎng)絡(luò)中的每個獨立的阻抗乘上一個常數(shù)因子A后,則,這個網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù)保持不變?？紤]到以后的實際情況,我們用帶撇“'〞的R'、C'和L'來表示已歸一化的元件值,單位分別是歐姆、法拉和亨利,而用不帶撇的R、C和L表示實際電路的元件值。具體來說:這個結(jié)論可以用實際例子來說明:給我們兩個如圖7(a)(b)所示的網(wǎng)絡(luò),要我們分別求出其各自的電壓傳遞函數(shù),按照電工原理,我們可以求出它們的電壓傳遞函數(shù):對于圖7(a)所示的網(wǎng)絡(luò),我們先求出其回路電流I1:圖7對于圖7(b)所示的網(wǎng)絡(luò),由于其R1=R2=1Ω,數(shù)簡單,所以計算起來更加簡潔:由此可見這兩個電路的電壓傳遞函數(shù)是一樣的。圖7(b)的電路的各元件值只是圖7(a)的電中各元件的阻抗值擴(kuò)大了50倍的反映。所以,這兩個電路只有絕對阻抗大小的差異,而對電壓分配比是一樣的。這樣,我們就可以把阻抗之間的相比照例一樣的網(wǎng)絡(luò)歸為一類。僅僅研究它的歸一化后的電路的特性,別的阻抗值的電路,都可以從它導(dǎo)出。(二)電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化受到上述的好處以后,我們很自然地會想到不同的頻率工作的電路,其電壓傳遞函數(shù)是否也能歸類,研究的結(jié)果是可行的。其結(jié)論如下:如果把工作頻率從ω=1弧度/秒升高到ω=B弧度/秒,讓該網(wǎng)絡(luò)的所有電阻保持不變,而把網(wǎng)絡(luò)中的所有電感L和電容C都除以B,則,變換后的電路的電壓傳遞函數(shù)沒有變化。這是很自然的,它好似物理量的單位換算,其根本的道理仍然是使網(wǎng)絡(luò)各元件的阻抗之比保持不變。對于電阻，因為它和工作頻率無關(guān),所以工作頻率變化,不影響它的值。對于電容的電感,則有:這個結(jié)論也可以用實際例子來說明:讓我們?nèi)砸詧D7(b)為例:設(shè)ω=1弧度/秒,則有接著我們來看看,假設(shè)把ω=2弧度/秒代入,又要保持其電壓傳遞函數(shù)不變,只有改變電路中的電感值,它該是多少呢"圖7(b)的電壓傳遞函數(shù)為于是,滿足保持電路的電壓傳遞函數(shù)不變的可能,只是,這正好就是從原來電感L除以頻率提高的倍數(shù)2,其最后的具體構(gòu)造如圖8所示。圖8阻抗歸一化和頻率歸一化的概念在網(wǎng)絡(luò)理論中極為重要。因為,今后列表中的各種元件值都是以阻抗歸一化和頻率歸一化后的元件值。各種具體阻抗和工作頻率時的具體都由它們導(dǎo)出。人們能把這兩個法則合在一起,從而能一下子同時去掉這兩個歸一化。因此,對于一個已歸一化的電路,要讓它們阻抗提高A倍,頻率提高B倍,則人們就有:每個網(wǎng)絡(luò)中的電阻乘上A每個網(wǎng)絡(luò)中的電感乘上A/B每個網(wǎng)絡(luò)中的電容乘上1/AB如果一個設(shè)計有大量的元件,這個最后式是有用的。但是,我們推薦大家研究這兩個根本概念。如果大家理解了這個原理,從這兩個根本法則是很容易推論出像上式那樣的公式。因為,上列的特定的構(gòu)造是很容易忘記或記錯的。(三)各種頻率特性的濾波器的歸一化在引言中,我們曾談到有各種不同衰減特性的濾波器:低通、高通、帶通和帶阻,而且通過數(shù)學(xué)上的變量代換,可以把它們歸并為一個低通歸一化原型濾波器。假設(shè)從數(shù)學(xué)變換的角度看,上述的電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化也屬頻率變換。這里要講的實際就是從母型濾波器的數(shù)據(jù)推際濾波器網(wǎng)絡(luò)的具體構(gòu)造。(1)頻率擴(kuò)展(頻率歸一化)母型低通濾波器的截止頻率ω'c=1。假設(shè)需要設(shè)計的低通濾波器的截止頻率不等于1,而是ωc,則從數(shù)學(xué)角度說相當(dāng)于將原來的頻率軸ω'倍乘了ωc。故ω=ωcω',即ω'=ω/ωc。圖9(a)表示兩個頻率軸之間的關(guān)系,(b)表示母型低通濾波器的LA～ω'關(guān)系,(c)表示換算后LA～ω之間的關(guān)系。在(b)和(c)的圖形上,我們還把負(fù)頻率局部畫上。負(fù)頻率實際上當(dāng)然不是客觀存在的,但從數(shù)學(xué)的觀點來說,它還是可以和LA保持一定的函數(shù)關(guān)系。這兩個圖形說明LA和頻率保持有偶函數(shù)的關(guān)系,這是由上面所提到的可實現(xiàn)性決定的。進(jìn)展這種頻率變換時,設(shè)計電路的元件也跟著改變,其變化規(guī)律前小節(jié)已經(jīng)說過了。圖9(2)低通轉(zhuǎn)高通----如需要設(shè)計一個高通濾波器(參看圖10),它的截止頻率是ωc,人們使新的頻率變量ω與原來的ω'保持以下關(guān)系:圖10在頻率軸上說明這種轉(zhuǎn)換關(guān)系。應(yīng)用數(shù)學(xué)上的手法人們設(shè)計高通濾波器時,實是利用了母性低通濾波器的負(fù)頻率局部。所以要用這一局部也可實現(xiàn)性決定的數(shù)學(xué)方法的運用必須切合實際,絕不能脫離實際進(jìn)展數(shù)學(xué)游戲。由母型低通濾波器換算到高通濾波器時,電路元件當(dāng)然要改變:母型濾波器電感應(yīng)改為電容,其數(shù)值母型濾波器的電容應(yīng)改為電感,其數(shù)值以后可以知道,L'k和C'k+1都是表上查得的母型低通濾波器的元件參數(shù)。(3)低通轉(zhuǎn)帶通--如果要根據(jù)低通濾波器設(shè)計一個帶通濾波器(參看圖11),的截止頻率是ω和ω2,人們需要進(jìn)展更復(fù)雜些的頻率變換,使母型濾波器的頻變量ω'與帶通濾波器的頻率變量ω保持以下關(guān)系:〔4〕式中ω2為帶通濾波器的高端截止頻率,ω1為低端截止頻率,ω0稱為中央頻率;通常令，ω2-ω1為帶通濾波器的通頻帶,稱為濾波器的相對通頻帶W:W通常以百分比表示,故(4)式可以改寫成(5)由式(5)求ω,經(jīng)過演算和分析,人們可以得到母型濾波器的頻率軸與新頻率軸的關(guān)系(見圖11)。根據(jù)母型低通濾波器換算帶通濾波器,電路元件變得更加復(fù)雜。母型濾波器的電感應(yīng)改為LC串聯(lián)電路,它的電感Lk和電容Ck與母型的電感L'k保持以下關(guān)系:母型濾波器的電容應(yīng)改為LC并聯(lián)電路,它的電容Ck+1和電感Lk+1與母型的電容C'k+1保持以下關(guān)系:L'k和C'k+1都可以從母型低通濾波器的元件表上查得。低通帶止的問題,這里不再贅述了。我們把以上各種轉(zhuǎn)換關(guān)系綜合在表1上,表還列出了低通轉(zhuǎn)帶止所用到的關(guān)系。第一局部濾波器設(shè)計§1-4低通濾波器的定量分析經(jīng)過上一節(jié)的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)了解到對于*些具體電路的分析?？梢酝ㄟ^它們的歸一化低通濾波器來進(jìn)展。下面,我們來分析一到三節(jié)歸一化低通濾波器。(一)一節(jié)低通濾波器圖12示出了它的構(gòu)造,用電路分析,很快就可以求出:回路電流I1為:圖12假設(shè)用通用矩陣[a]來求,此電路的通用矩陣為和電路分析求出的結(jié)果完全一樣。不過,從過程中可以看出:后一種方法簡潔很多。而且,當(dāng)元件數(shù)目越多就越顯出矩陣法的優(yōu)越。我們在這里還要定義一個歸一化幅度函數(shù)A(ω):這主要是因為傳遞到負(fù)載的功率,不是指電源總的輸出功率,而是指最大輸出功率,而不是,這樣就差了一個系數(shù)。所以一節(jié)低通濾波器的幅度函數(shù)A(ω)：(二)二節(jié)低通濾波器圖13圖13示出了它的構(gòu)造,用電路分析解,就比擬復(fù)雜了,如何解,留給同學(xué)們作練習(xí),我們下面用通用矩陣來解它:(四)三節(jié)低通濾波器圖14示出了它的構(gòu)造,我們?nèi)杂糜镁仃嘯a]來求它的電壓傳遞函數(shù),而把電路法求解留給同學(xué)來完成。圖14這時網(wǎng)絡(luò)可以看成三個小兩端對網(wǎng)絡(luò)的節(jié)聯(lián),則有(4)對偶電路上述一列三節(jié)低通濾波電路都有其對偶電路。我們把它們都畫在圖15上。它們各自的電壓傳遞函數(shù)、幅度平方函數(shù)也可以求出如下:一節(jié)對偶低通濾波器：二節(jié)對偶低通濾波器：三節(jié)對偶低通濾波器：從上面分析可以看出對偶電路各自電壓傳遞函數(shù)是不變的,它們在傳遞能量的頻率特性上是一樣的。圖15像這樣一節(jié)一節(jié)地推下去最終就能導(dǎo)出像圖16所示的梯形構(gòu)造的低能濾波器。其幅度平方函數(shù)A2(ω)的一般表示式為:其中n是濾波器的元件個數(shù)。圖16通過對低通濾波器進(jìn)展定量分析以后,得出兩個極為重要的結(jié)論:(一)一個特定的電壓傳遞函數(shù),對應(yīng)著兩個具體電路,這兩個電路就是電工中的對偶電路。(二)對于梯形構(gòu)造的低通濾波器,它的幅度平方函數(shù)可以表示為頻率ω作參量的一個2n階的多項式。又因為A2(ω)和插入損耗Li有直接關(guān)系,濾波器的綜合又和多項式直接聯(lián)系在一起,所以也有人把綜合法濾波器叫做多項式濾波器。這兩個結(jié)論的第二個更為重要,因為它告訴我們梯形構(gòu)造低通濾波器的電壓傳遞函數(shù),和幅度平方函數(shù)是有規(guī)律的,解析的。這就為我們提供了運用數(shù)學(xué)來解決問題的可能性。網(wǎng)絡(luò)分析到達(dá)這一步就完成了它的使命。下一步就屬網(wǎng)絡(luò)綜合的疇。根據(jù)給出的衰減特性,或衰減曲線來找具體的電路。第一局部濾波器設(shè)計§1-5低通濾波器的綜合(一)引言低通濾波器根據(jù)定義應(yīng)該是:在通帶濾波器的變換器損耗LA為零,而在止帶LA應(yīng)該無窮大。這是不可能實現(xiàn)的。一般來說,工程問題多大只有一個折衷解。照顧一方面,另一方面就得犧牲點,沒有什么都好的。濾波器的綜合也是這樣,主要的指標(biāo)有插入損耗,帶外衰減,信號的時間遲延,信號的群遲延等。根據(jù)不同要求,給出不同的結(jié)果。這里就是一個近似問題。即用什么方法去盡量地近似理想的情況。同時也有一個是以哪種方式去近似。只有解決了這些問題,才能繼續(xù)討論具體的綜合。加上近似理論對于以后的工作和學(xué)習(xí)都很有用。所以我們打算比擬詳細(xì)講一講這個問題。(二)近似問題在討論用一個函數(shù)近似地表達(dá)另一個給定函數(shù)(圖形)之前,我們用自變量*代替無線電技術(shù)中的頻率ω。這樣做的目的是使討論更有普遍意義。而且,近似常常是在經(jīng)頻率變換后進(jìn)展的,故變量常不再是ω。假定g(*)為*的函數(shù),給定在*軸的(a,b)圍,并令f(*)為我們所需要求的近似(實現(xiàn))函數(shù)。函數(shù)g(*)作為一個期望的幅度函數(shù)或者相位函數(shù)。它可能是以解析式給出,不過經(jīng)常是以圖形給出。f(*)則是可實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。假定g(*)和f(*)在區(qū)間(a,b)具有同樣的性質(zhì)。這樣,它們在*一點*0均可用臺勞級數(shù)來展開。并設(shè)兩個級數(shù)在區(qū)間(a,b)均為收斂,則:近似的誤差將為兩者之差,即如果兩個級數(shù)的前K次系數(shù)逐項彼此相等,則f(*)與g(*)為K階臺勞型近似。在此情況下,誤差函數(shù)將由*的第(K+1)冪次項開場,即上式就是*=*0處展開的臺勞級數(shù)的誤差函數(shù)。而且,可以看出:在*=*0處的誤差函數(shù)的前K階導(dǎo)數(shù)為零。這是臺勞近似法的一個性質(zhì)。其實我們可以得出如下定義:如果g(*)-f(*)的前K階導(dǎo)數(shù)在*=*0處為零,則f(*)為g(*)在*=*0處的K階臺勞近似式。臺勞型近似法中,在*=*0處誤差為零;而隨著*-*0的增大,誤差增加。因而,這一近似法有利于接近*0的所有*值,而不利于接近區(qū)域兩端的點。其實這個近似僅在*0點十分好,在這一點不僅兩個函數(shù)完全一樣,而且,它們的假設(shè)干導(dǎo)數(shù)也完全一樣。如果,近似函數(shù)f(*)沿給定函數(shù)g(*)來回擺動,則兩者的差將有峰值和谷值,*些峰值將是很大,而*些峰值則很小。f(*)越復(fù)雜,即f(*)的可調(diào)整參數(shù)越多,得到的近似就越好。假設(shè),我們規(guī)定f(*)有n個參數(shù)[例如:為具有n個可調(diào)整系數(shù)的多項式]最正確近似的一種方法是這樣。它使得誤差函數(shù)的最大值降到最小。我們稱此近似法為“切比雪夫近似法〞。由上可知,對一個函數(shù)g(*)或圖形進(jìn)展近似,方法是多種的,上述的臺勞級數(shù)近似法和切比雪夫近似法都是最常用的,此外還有一些近似法,如橢園函數(shù)近似法。不過,不同的近似法有它各自的特點。所以就有選擇的余地。(三)最大平滑近似圖17示出了一個理想低通濾波器,其幅度和截止角頻率ωc都標(biāo)稱為1。這個理想低通濾波器傳遞函數(shù)為圖17這樣的理想特性是無法實現(xiàn)的,因為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一個有理函數(shù),其幅度必須是ω的連續(xù)平滑函數(shù),而圖17的特性則不然,它在ω=1處要折轉(zhuǎn)一個直角。因此,在綜合過程中,需用近似方法求出一個有理函數(shù)來近似圖17的特性。一種簡單的近似稱為最平幅度特性近似。這一近似函數(shù)必須是有理函數(shù),在通帶,即的圍,幅度平方要近似于1。而在通帶之外,即的圍,幅度的平方逐漸趨于無窮大。首先,假定傳遞函數(shù)的無窮大點產(chǎn)生在頻率等于∞處,則有:其中指數(shù)n和系數(shù)b是待定的常數(shù),它們的數(shù)值與所求的近似程度有關(guān)。在上式分母中的第一項的系數(shù)取為1是為了保證近似函數(shù)與給定函數(shù)在ω=0時重合,在通帶誤差函數(shù)為:用代入上式得(6)系數(shù)B的求法隨所采用的近似類型而定。如果采用臺勞型近似,則要求誤差函數(shù)的前n階導(dǎo)數(shù)在*=0時等于零。更確切地說,K階臺勞型近似需要誤差函數(shù)的第K階導(dǎo)數(shù)之前的各階導(dǎo)數(shù)等于零。式(6)的第K階導(dǎo)數(shù)之前的各導(dǎo)數(shù)當(dāng)*=0時分別為:這樣,我們可以推斷定:R(*)的第n階導(dǎo)數(shù)在*=0時,可以表示成Bn乘以n!。又因為我們采用臺勞型近似,則誤差函數(shù)R(*)的第K階以前導(dǎo)數(shù)在*=0時都必須是零,才可以稱為第K階臺勞近似。所以,B1=0,B2=0,B3=0一直到Bn-1=0,于是,函數(shù)就是對于幅度為1的K階臺勞近似。對于給定n值的最高階臺勞近似函數(shù)為:上式稱為最平幅度特性近似函數(shù)。在截止頻率處(ω=1),上式化為:系數(shù)Bn取決于截止頻率處,人們規(guī)定是什么樣的幅度,當(dāng)Bn=1時,G(12)=2,于是截止頻率ω=1處對應(yīng)著輸出功率下降3db,輸出幅度下降0.707倍。這種最平幅度近似還有一個名字叫做勃脫瓦茲(Butterworth)響應(yīng)。多項式也叫做n階勃脫瓦茲多項式。(四)切比雪夫(Chebyshev)近似現(xiàn)在我們再討論另一種近似方法。這就是讓近似函數(shù)在給定函數(shù)附近擺動,使誤差平均地分布在整個頻帶。同時我們還把最大值的大小減到最小,這也就等于偏離近似。我們把這種近似叫做切比雪夫近似。由于在工程中很有用,所以打算詳細(xì)地來講。一般的問題為在區(qū)間(-1,+1)圍求出與*一常數(shù)為切比雪夫近似的m階多項式的系數(shù)(將ω軸歸一化成頻率帶邊緣等于±1)。誤差函數(shù)本身為一m階多項式,設(shè)為h(ω),且其階狀如圖18所示,其中│h│峰值被歸一化于1。圖18根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知,一個m階切比雪夫近似的誤差函數(shù)在近似區(qū)域應(yīng)達(dá)峰值m+1次;m-1個出現(xiàn)于近似區(qū),2個出現(xiàn)于邊界上。在區(qū)的峰值點上,h的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零,且所有導(dǎo)數(shù)零點應(yīng)為一階零點?，F(xiàn)在,設(shè)有多項式1-h2;它在所有m+1個h峰值點將等于零,因為在這些點上,h=±1。而且,它在區(qū)峰值點上將有二階零點。這可由1-h2的導(dǎo)數(shù)2hh'在這些點也零而得出。在兩端ω=±1點,1-h2僅有一階零點。因此,1-h2除了含有(h')2及(1-ω)(1+ω)外,無其他因子。這樣我們有:其中,K為常數(shù)。h的解可由上式積分得出。其結(jié)果為:,當(dāng)ω由-1到+1,h在±1間擺動m次,這就確定了K=1/m,所以h=Cos(mCos-1ω)│ω│≤1并可寫為:h=Cosmyω=Cosy這些多項式可以表示為Tm(ω)并稱第一類切比雪夫多項式,m為多項式的階。對于│ω│>1的情況,就有:圖19示出了幾個低階切比雪夫多項式圖形及其數(shù)學(xué)表達(dá)式:圖19(五)最大平滑濾波器的綜合在我們研究了近似條件和*些特定的近似函數(shù),加上網(wǎng)絡(luò)分析時推導(dǎo)的結(jié)論:圖16所示的梯形構(gòu)造低能濾波器,其幅度平方函數(shù)A2(ω)的一般表示式為:(7)其中n是濾波器的元件個數(shù),我們就有條件來綜合濾波器的元件。在近似理論中已經(jīng)指出:理想的低通濾波器特性可以采用臺勞近似。它的最高階近似就是勃脫瓦芘茲(最大平滑)響應(yīng)。它要求低通濾波器的幅度平方函數(shù)滿足以下公式:(8)其中n為濾波器的元件個數(shù)。比擬(7)式(8)式就知道,如果希望用上述梯形構(gòu)造來綜合濾波器只要令這兩個公式中的各項系數(shù)相等,則有:利用這個條件,我們就可以解出滿足最大平滑函數(shù)的濾波器。下面就來找找看:一節(jié)最大平滑低通濾波器:根據(jù)定量分析,一節(jié)低通濾波器的幅度平方函數(shù)的數(shù)學(xué)式為:要滿足最大平滑的要求,則有:L=-2是物理上不能實現(xiàn)的。二節(jié)最大平滑低通濾波器:其幅度平方函數(shù)的通用式為:其他解無物理意義。三節(jié)最大平滑低通濾波器:其幅度平方函數(shù)的通用式為:要滿足最大平滑的要求,則有:求解并取有理解為:當(dāng)ωc=1弧度/秒時,L1=L3=1(亨利)C2=2(法拉)從上述討論,已經(jīng)可以看出,當(dāng)濾波器節(jié)數(shù)超過四節(jié)以上,直接求解法就顯得得很困難了。這里我們就要用到復(fù)變函數(shù)理論來求高階最大平滑濾波器。我們還是從最大平滑近似函數(shù)出發(fā):A2(ω)=1+ω2n,用S=jω把ω平面開拓到復(fù)數(shù)平面S上,則:這就是最大平滑函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示法。又因為復(fù)變函數(shù)中,零點和極點的位置決定了這個函數(shù)的特性,所以我們也來求出時,各個零點的位置。則有:式中:K=1,2,3...2n。這些零點都落在S平面的單位圓上,并且既以實軸為對稱又以虛軸為對稱。對以下情況求零點:其零點的分布如圖20所示。圖20現(xiàn)在需要把幅度平方函數(shù)的根和以前學(xué)過的反射系數(shù)、插入損耗和兩端對網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗聯(lián)系起來。根據(jù)定義,兩端對網(wǎng)絡(luò)的插入阻抗和它的傳遞函數(shù)的幅度平方有以下關(guān)系:它只描述了負(fù)載吸收功率P2和電源最大輸出功率之間的關(guān)系。而沒有直接地和網(wǎng)絡(luò)中的元件聯(lián)系起來。不過,我們知道濾波器網(wǎng)絡(luò)是無源元件組成的,它不吸收功率。于是,最大輸出功率一定是由這個兩端網(wǎng)絡(luò)反射回去一局部,留下的才成了負(fù)載R上的吸收功率。這樣,我們可寫成:Pi輸入功率,Pr反射功率,R2負(fù)載R上的吸收功率,在這里Pi=Pma*,(參見圖21)。(a)(b)圖21另一方面,根據(jù)傳輸線理論,反射功率Pr為:式中Γ為反射系數(shù),Γ*表示Γ的共軛復(fù)數(shù),故得插入損耗:注意Γ=Γ(jω),它是因頻率ω而變的。所以,按照前面講的近似函數(shù)所提出的具體,實際就是找出反射系數(shù)的模平方│Γ│2與ω的函數(shù)關(guān)系。即:有了反射系數(shù)Γ和│A(ω)│之間關(guān)系,我們還可以推出兩端對網(wǎng)絡(luò)的輸入端的輸入阻抗Zin(1)和Γ(jω)之間的關(guān)系。另外根據(jù)Zin(1)求網(wǎng)絡(luò)元件又有以下關(guān)系式中A、B、C、D是通用矩陣中的參數(shù)。到此,我們已經(jīng)把近似函數(shù)的要求和網(wǎng)絡(luò)元件聯(lián)系起來,下面就通過舉例來說明這些過程。求一節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值。,它的幅度平方函數(shù)有以下關(guān)系:對于一節(jié)濾波器,n=1,則:利用S=jω,則有:根據(jù)零極點分布的位置,Γ(S)是包括了S平面的左半平面上的點,Γ(-S)包括了S平面右半平面上的點。所以:這根據(jù)電阻分析Zin(1)=2S+1表示著一個2亨利的電感和一個1歐姆的電阻串聯(lián),去掉這1歐姆電阻(歸一化負(fù)載電阻),該兩端對網(wǎng)絡(luò)中只剩下一個2亨利的電感,這和直接用類比法求的結(jié)果是一樣的。見圖22所示。下面我們來看一下二節(jié)濾波器的情況:二節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值的求解過程:對于二節(jié)濾波器n=2來說,最大平滑函數(shù)應(yīng)該是開拓到S平面,則有:根據(jù)上式可知其左半S平面上的兩個根為:取其左半S平面上的零,極點構(gòu)成Γ(S),則:求其兩端對輸入端的輸入阻抗,則有:其中Z1是亨利的電感,Y2是法拉的電容,其具體構(gòu)造見圖23所示,圖22圖23這個結(jié)果又和以前類比法求出的相一致。但是求解的過程簡單明了。把這些n=2,n=3...m的結(jié)果算出來,列成表。不同的n值,網(wǎng)絡(luò)有兩種形式。一種是第一個元件為并聯(lián)電容,如圖24(a)所示。另一種是第一個元件為電感,如圖24(b)所示。不同n值網(wǎng)絡(luò)的元件值列于表2。表中所列的各元件值的單位,電容為法拉,電感為亨利?，F(xiàn)在應(yīng)用綜合方法設(shè)計出來的濾波器大都具有最大平滑特性或切比雪夫特性。附圖1給出母型濾波器的最大平滑特性,它的特點是無論在通帶或止帶,插入損耗Li都隨著ω'的上升而單調(diào)增加。雖然在這兩個頻帶增加的速度是很不一樣的。附圖2表示切比雪夫濾波特性,它的特點是:在通帶,插入損耗Li在0db與Adb之間來回變化;在截止頻率上,L=Adb;時入止帶后,Li單調(diào)上升。從這兩個圖形可以看出,當(dāng)元件數(shù)目n增大時,Li從通帶至止帶的過濾較前陡峭。實際上,元件數(shù)目愈多,Li在過度區(qū)的上升愈快。所以,在設(shè)計濾波器時,首先是根據(jù)提出技術(shù)要求,確定所需的元件數(shù)目n。附圖3是最大平滑濾波特性和切比雪夫濾波特性的比擬。它們所用的元件數(shù)目一樣(n=2)。一種非常顯著的差異是在截止頻率ω'c以外,切比雪夫特性的Li的曲線上升得非常迅速,超過最大平滑濾波器甚多。這意味著切比雪夫濾波器能夠提供一個極其明顯的截止區(qū)域,把通帶和止帶分開來。這是它的優(yōu)點。不過,也有它的缺點,就是在通帶也有一定的插入損耗。不但如此,當(dāng)構(gòu)成濾波器的電抗元件具有較大的損耗時,雖然任何一種濾波器的通帶響應(yīng)都會發(fā)生改變,但是這種影響對切比雪夫濾波器尤其厲害。下面我們列出這兩種母型濾波器的各種計算公式和表格,所用符號的含意在下面表達(dá)。(Ⅰ)最大平滑濾波器:變換器損耗LA式中n=元件數(shù),，A=在截止頻率ω'c上的器件損耗,當(dāng)A=3db時,ε=1。止帶的LA與ω'的關(guān)系見有關(guān)書籍。元件參數(shù)以下公式適用兩端加載,A=3db,g0=1,gn+1=1,ω'c=1的情況。(單位:歐姆;亨利或法拉)應(yīng)用這些公式計算出來的元件值見表2。表2最大平滑母型低通濾波器元件值圖24更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書籍(Ⅱ)切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的變換損耗的表示工,在通帶和止帶是不一樣的。變換器損耗式中的符號如前。Ch是雙曲余弦函數(shù),可從有關(guān)函數(shù)表查得。LA與ω'的關(guān)系曲線可以從有關(guān)書籍中查到,我們的曲線只適用于通帶器件損耗LA=0.1db的情況。元件參數(shù)(g0=1,ω'c=1)輔助參數(shù)計算公式:元件計算公式表3是計算出來的元件值表。它適用于A=0.1db,g0=1,ω'c=1的情況,其構(gòu)造同最大平滑式濾波器。表3切比雪夫0.1db波紋的元件值ng1g2g3g4g5g6g710.30521.0000.....20.84300.62201.3554....31.03151.14741.03151.0000...41.10881.30611.77030.81801.3554..51.14681.37121.97501.37121.14681.0000.61.16811.40392.05621.51701.90290.86181.3554更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書籍:1.“微波濾波器阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)與耦合構(gòu)造〞科技情報通訊編譯室,1972年2.“濾波器綜合法設(shè)計原理〞黃席椿、高鵬泉編著,人民郵電,1978年3.“微波網(wǎng)絡(luò)〞林為干著,國防工業(yè)出版,1978年為了能更加自由地運用這些圖表,對這些圖表作一個詳細(xì)說明。圖24的(a)和(b)中,1-1'和2-2'之間的電路是母型濾波器的本體;左方代表電源的“阻〞(圖上把電源略去了);右方代表負(fù)載電阻。母型濾波器共有n個元件構(gòu)成,n的數(shù)值取決于對插入損耗的具體要求。當(dāng)n為偶數(shù)時,電路的終端如圖24(a)左方的電路所示。當(dāng)n為奇數(shù)時,電路的終端便接成圖24(a)右方的局部電路所給出的情況。在網(wǎng)絡(luò)理論上,圖24(b)的電路是(a)的“對偶〞電路。這兩個電路的特性是完全一樣的。所以母型濾波器可以采用(a)的構(gòu)造,也可以采用(b)的構(gòu)造。為了擴(kuò)大母型濾波器的數(shù)據(jù)的適用圍,圖24的電路是歸一化了的,圖上標(biāo)出的符號也具有靈活的含義。下面是母型濾波器所用的符號。ω'c──母型濾波器的截止頻率,它是通帶和止帶的分界;通常令ω'c=1。ω'──母型濾波器的頻率變量。0≤ω'≤ω'c這個圍代表通帶;ω'c<ω'代表止帶;gK│K=1～n──母型濾波器所用元件的參數(shù),根據(jù)具體情況,它有著不同的含義(參看圖24);在一些場合下,它表示串接線圈的電感量,而在另一些場合下,則表示跨接電容的電容量。g0──反映電源阻的參數(shù),它也有靈活的含義:①當(dāng)g1=G'1(即圖24(a)的情況)時,g0就是電源阻R'0。②但當(dāng)g1=L'1(即圖24(b)的情況)時,g0切代表電源的部電導(dǎo)G'0;在這種情況下,電源用等效電流源來表示。gn+1──反映負(fù)載的參數(shù),亦有靈活含義:①當(dāng)gn=Gn時,gn+1表示負(fù)載電阻Rn+1;②但當(dāng)gn=L'n時,gn+1切代表負(fù)載的電導(dǎo)+1。所以采用這樣靈活的含義,是使算出的數(shù)據(jù)表既適用于圖24(a),也適用于(b)的電路。通常表2所列的數(shù)據(jù)大都是在ω'c=1和g0=1的條件下計算出來的,當(dāng)實際情況不符合以上條件時,必須對表的數(shù)據(jù)進(jìn)展變換,才能符合實際情況。實際上就是把母型濾波器僅歸一化成別的阻抗電平和頻率標(biāo)度,只要用以下變換式就行。這些方程中帶撇的量是歸一化母型中的量,不帶撇的量對應(yīng)于有標(biāo)度電路的量。如前面討論所指出的,本章的原型有g(shù)0=R'0=1或g0=g'1=1。這和以前討論的結(jié)論是一致的。A對應(yīng)R0/R'0以及B=ω1/ω'1。我舉一個實例來說明這個過程,假定有一個低通母型最大平滑濾波器,節(jié)數(shù)n=3,則查出其低通母型的元件值為R'0=1.000歐姆,L'1=1.000亨利,C'2=2.000法拉,L'3=1.000亨利。現(xiàn)在希望在電源阻R0=0歐姆,3db下降點在100MHZ的情況下,來實現(xiàn)這個濾波特性。于是:。利用上列各式就得:R0=50歐姆；L2=L1=50×(0.159×10-2)×1=0.795mh;C2=1/50×(0.159×10-2)×2=63.6pf。畫成最后的電路圖如圖25所示。圖25作為本小節(jié)的完畢,讓我們結(jié)合以下的濾波器進(jìn)展計算,作為實例。設(shè)要求一個通帶濾波器,其性能為:(1)在中心頻率f0=6680MHz的駐波比<1.1;(2)在f0的變換器損耗<1.1db;(3)3db帶寬大于f0±19MHz,同時小于f0±24MHz;(4)在f0±10MHz平坦度在0.3db以;(5)止帶衰減:在f0±70MHz上,LA≥50db。第(1)和第(2)項指標(biāo)涉及到元件的損耗,我們暫時將它撇開,這里我們以最大平滑濾波為例,它的中心頻率f0=6680MHz。(Ⅰ)設(shè)計截止頻率f1、f2和相對帶寬W等:根據(jù)要求,設(shè)截止頻率等于f截波±,得:f1=6680+21.5=6701.5MHzf2=6680-21.5=6658.5MHz中心頻率f0==6680MHz相對帶寬為:這是一個頻率比擬窄的濾波器。(Ⅱ)選擇元件數(shù)n元件數(shù)n取決于要求的第(5)項和第(4)項。要求(5)提出在f0±70MHz的頻率上,LA≥50db。這兩個頻率實際是f4=6680+70=6750MHzf5=6680-70=6610MHz首先我們得把這兩個頻率轉(zhuǎn)換為它們所對應(yīng)的母型濾波器頻率ω'4和ω'5。因為換算后,ω'4更靠近零,我們只需要考慮f4。根據(jù)這個數(shù)據(jù),我們可以在附圖的曲線上查找。查到n=5的曲線給出LA=51.4db,已可以滿足需要。故母型濾波器應(yīng)由5個元件組成。這個步驟當(dāng)然也可以用公式推算,不過麻煩一些而已。取n=5時,驗算要求(3),完全可以滿足而有余。(Ⅲ)母型低通濾波器在決定取n=5以后,我們便可以應(yīng)用公式直接得到母型低通濾波器如圖26所示。(Ⅳ)換算成帶通濾波器如果所要設(shè)計的濾波器系由集總參數(shù)的元件組成,到了這里人們便可以根據(jù)上一步所得的母型低通濾波器,應(yīng)用式4和式5,把它換算成圖27所示的帶通濾波器,這就是設(shè)計結(jié)果?？墒菍τ谖⒉V波器來說,工作似乎只進(jìn)展了一半,還有一個怎樣把圖27的電路具體化的問題,即采用什么構(gòu)造才以獲得與圖27的電路大致等同的效果。這個問題就是第二局部的容。圖26圖27第二局部微波濾波器引言:微波濾波器,由于微波的特殊性,微波電路所采用的元件在構(gòu)造上和普通電路所用的元件是截然不同的。元件構(gòu)造上的這種差異引起了微波濾波器的特殊性,當(dāng)然作為濾波器,它和其他濾波器具有許多共性.這就是我們第一局部所講的容。微波傳輸線有多種形式:同軸線、波導(dǎo)、微帶線等等.就拿微帶線來說,實際采用的也有幾種不同的構(gòu)造。同軸線和微帶線傳輸TEM波型;波導(dǎo)只能傳輸TE(H)波或TM(E)波。加上機(jī)械構(gòu)造的不同,這就決定了不同的微波濾波器各有其特殊性。下一節(jié)首先討論微波濾波器的共同點,然后再分析波導(dǎo)濾波器的特殊性。第二局部微波濾波器§2-1微波濾波器的頻率特性從圖28可以看出,帶通濾波器的組成局部是許多串聯(lián)諧振回路和并聯(lián)諧振回路。以前已經(jīng)學(xué)過,各種開路和短路的傳輸線段都具有串聯(lián)諧振特性和并聯(lián)諧振特性。人們自然會想到應(yīng)用傳輸線諧振器作為帶通濾波器的組成局部,而且實際也是這樣做的?？墒?傳輸線理論也指出:傳輸線諧振具有兩個特點:(1)多諧性──傳輸線諧振器具有許許多多諧振頻率,所以當(dāng)頻率改變時,微波帶通濾波器所用的傳輸線諧振器將屢次出現(xiàn)諧振現(xiàn)象,而這種情況是集中參數(shù)的LC回路所沒有的。由于諧振現(xiàn)象的反復(fù)出現(xiàn),微波帶通濾波器的濾波特性將發(fā)生改變。其具體表達(dá)就是通帶和止帶在頻率軸上不斷交替出現(xiàn)。如果我們將器件損耗LA與頻率ω的關(guān)系繪出來,將會獲得圖28所示的情況。對于集中參數(shù)帶通濾波器,這種情況是不會出現(xiàn)的。設(shè)計一個通帶便只有一個通帶,在微波濾波器中,第二通帶(實際上還存在第三、第四...等等通帶)的出現(xiàn)可能關(guān)系到設(shè)計的成敗,是一個值得注意的問題。低通和高通濾波器所用的元件是單獨的電感和電容,這在集總參數(shù)電路是很容易獲得的,但在微波傳輸線上卻不這么容易,而且根據(jù)傳輸線形的不同,表達(dá)的難易程度也不一樣。一般來說,半集中參數(shù)(即大致具有集總數(shù)性質(zhì))的電感和電容在微帶線上較容易實現(xiàn),同軸線次之,在波導(dǎo)便要比擬復(fù)雜的構(gòu)造。(2)傳輸線諧振器還有多模性──允許多個模式同時工作的可能性,而一旦出現(xiàn)了高型波,器件的正常工作便受到影響,微波濾波器的濾波性能受到一定的限制。所以,一般是要防止出現(xiàn)高型波。但是,事情總是兩方面的,目前也有用多模做成的濾波器,這就是利用了高型波。同軸線和微帶線傳輸TEM波,并不存在截止波長的問題。所以這兩種傳輸線的低通濾波器具有真正的低通特性,即頻率為零(直流)至頻率等于所設(shè)計的截止頻率ωc的信號都是可以順利通過這種濾波器。但是空心波導(dǎo)所傳輸?shù)氖荋波或E波,這里存在一個截止波長λCH10(注意波導(dǎo)的截止波長和濾波器的截止頻率ωc不是一個概念)。所以,波導(dǎo)低通濾波器的低通概念和一般濾波器不同,直流是肯定通不過的。也正是因為波導(dǎo)所傳輸?shù)氖荋波或E波,直接決定器件特性的參數(shù)是導(dǎo)波長λg,而不是ω。所以在波導(dǎo)濾波器的設(shè)計中,首先應(yīng)根據(jù)波導(dǎo)的具體尺寸和頻率與導(dǎo)波長的函數(shù)關(guān)系,把所給出的一切頻率數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?dǎo)波長數(shù)據(jù)。下面我們就來對自由空間頻率變化和波導(dǎo)的導(dǎo)(亦叫波導(dǎo)波長)波長變化之間的關(guān)系進(jìn)展研究。這里要用到函數(shù)的微分。一般的濾波器的指標(biāo),都是以工作頻率的形式給出的。但是在波導(dǎo),電磁波是以橫電波(TE波)或橫磁波(TM波)的形式傳輸?shù)?。例如常用的TE10波,它可以看成是電磁波在波導(dǎo)窄壁上來回反復(fù)的結(jié)果,所以它在波導(dǎo)是以波導(dǎo)波長λg來表征它的波長的。和電磁波的自由空間中的波長λ0又不同,兩者之間有以下關(guān)系:其中:λg是波導(dǎo)波長,λ0是自由空間中波長,a是波導(dǎo)管的寬邊尺寸,在波導(dǎo)中傳TE10波時,λg和λ0的關(guān)系就是這樣。我們首先來看電磁波的自由空間波長λ0的變化和波導(dǎo)的波導(dǎo)波長λg變化之間的關(guān)系。我們對上式兩邊取微分,則有:整理后得:用λg來除兩邊,則有:這個公式說明,波導(dǎo)波長的相對變化率dλg/λg和自由空間波長的相對變化率dλ0/λ0之間,差一個因子(λg/λ0)2,因為λg一般總是大于λ0,所以(λg/λ0)2在一般正常的波導(dǎo)使用情況下近似等于2。到此,還沒有把波導(dǎo)波長和相對的頻率變化率聯(lián)系起來。我們知道,自由空間波長λ0和光的傳播速度以及電磁波的頻率f有以下關(guān)系:同樣對兩邊取微分得:這個公式說明,自由空間波長λ0的相對變化率和工作頻率的相對變化率是一樣的,不過差一個負(fù)號,這說明,頻率向增加的方向變化時,波長卻向著減小的方向變化。再把它代入上式,則有:這個式子就是我們學(xué)習(xí)波導(dǎo)濾波器時,第一個涉及的容。它在物理含義上可以作以下解釋:(1)頻率向增大的方向變化時,波導(dǎo)、波長卻向著減小的方向變化λ0。(2)頻率的相對變化率和波導(dǎo)波長的相對變化率差地個因子(λ0/λg)2,對于一般情況,這個因子近似地等于0.5。這就是說,頻率的相對變化率是1%時,對應(yīng)了波導(dǎo)的相對變化率2%。也就是波導(dǎo)波長以近乎是一半的變化就抵得上頻率的一倍的變化。我們可以通過圖29中的兩條曲線的關(guān)系來說明,從圖中可知，用波導(dǎo)來實施帶通濾波器時，由于波導(dǎo)的色散效應(yīng)，使得波導(dǎo)濾波器的選擇特性比在自由空間中的其他形式濾波器的選擇性又額外地好了一倍。所以，在設(shè)計這類濾波器時，必須注意這一點。下面我們?nèi)砸郧耙还?jié)的濾波器設(shè)計為例,進(jìn)展計算。(1)計算導(dǎo)波長的數(shù)據(jù):設(shè)采用34.85×15.80的矩形波導(dǎo),則H10波的截止波長為:λc=6.970厘米根據(jù)波導(dǎo)波長λg和自由空間波長λ0保持以下關(guān)系:以上關(guān)系式是通用公式,式中f用GHz即109Hz表示,λc用厘米表示,所以算得的λg的單位亦為厘米。上一節(jié)的要求(3)規(guī)定,濾波器的3db帶寬必須大于f信±19MHz,同時又必須小于f信±24MHz。這里有四個頻率?，F(xiàn)在f信=6.680GHz,故這四個頻率為:應(yīng)用式可得這四個頻率所對應(yīng)的波導(dǎo)波長分別為:根據(jù)這四個波導(dǎo)波長,可以算出濾波器的截止導(dǎo)波長為:與信道頻率的波導(dǎo)波長相差極小。上一節(jié)要求(5)規(guī)定:在f信±70MHz上,LA=50db。這里還有兩個頻率:它們所對應(yīng)的波導(dǎo)波長為:(2)計算波導(dǎo)波長帶寬Wλ以具體數(shù)字代入得:波導(dǎo)濾波器需用波導(dǎo)波長計算帶寬。與以前用頻率計算來比擬,帶寬幾乎增大一倍(原來W=0.644%)。(3)由導(dǎo)波長推算母型低通濾波器的對應(yīng)頻率ω':對應(yīng):(4)選擇元件數(shù)n從上面計算結(jié)果可知,現(xiàn)在決定的因素是從附圖的曲線可以查得,當(dāng)時,n=5的曲線給出LA=50.05db。所以取n=5還勉強(qiáng)可以滿足要求。上一節(jié)的第四項要求在n=5時仍可滿足有余,這里便不詳細(xì)計算了。第二局部微波濾波器§2-2傳輸線諧振器這一節(jié)所討論的傳輸線諧振器是廣義的,即為但包含雙線傳輸線諧振器,而且還包括微帶線諧振器、同軸線諧振器和波導(dǎo)諧振器等。在討論傳輸線諧振器以前,讓我們先重復(fù)一下串聯(lián)和并聯(lián)諧振回路的一些根本概念。圖30(a)是一個L1和C1組成的串聯(lián)諧振回路,它的諧振頻率ω0是:假設(shè)現(xiàn)在還有另外一個串聯(lián)諧振回路,它由L2和C2組成,L2≠L1,但,則,這個串聯(lián)回路的諧振頻率和前一個回路完全一樣,但這兩個回路之間終究有什么差異呢"如果我們計算回路I的輸入阻抗Z,我們得到:當(dāng)ω=ω0時,Z1=0。但當(dāng)頻率偏離ω0,Z1便是一個純電抗,根據(jù)頻率的不同,*1的大小也不一樣。我們可以將上式改變一下:變換到這一步,上式還是完全準(zhǔn)確的。當(dāng)頻率ω偏離ω0很小時,我們可以認(rèn)為:ω+ω0=2ωω-ω0=Δω將以上關(guān)系代入,我們得到:*1=2L1Δω于是,我們得到這樣一個結(jié)論:對于一個串聯(lián)諧振回路來說,當(dāng)頻率ω從ω0偏離一點點,變成為ω0+Δω時,輸入電抗*從零改變成一數(shù)值Δ*,Δ*是與串聯(lián)回路的電感L成正比。所以,對于諧振于同一頻率的兩個串聯(lián)回路,如果它們所用的元件不同,則當(dāng)頻率偏離ω0時,這兩個回路的反響是不一樣的;具體一點說,,就是它們的輸入阻抗的變化是不相等的。對于同一頻率增量Δω,串聯(lián)回路的電感L愈大,輸入電抗上升愈快。事實上人們正是利用了這個關(guān)系,使從外表看來完全一樣的電路構(gòu)造給出不同的濾波特性。根據(jù)以上的討論,我們可以利用微分學(xué)上取極限的概念,把一個串聯(lián)諧振的電感L表示為:在微波技術(shù)中,電感L已失去了它的具體含義,但在一個諧振腔的入口,仍具有確切的意義。我們之所以要進(jìn)展以上的數(shù)學(xué)變換,原因就在此。人們把一個呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的傳輸線諧振器的稱為它的電抗斜率參數(shù),這里用*來表示:決定了一個具體串聯(lián)諧振器在諧振頻率ω0附近的特性。應(yīng)用完全一樣的方法,對于圖31的并聯(lián)諧振回路,我們可以得到它的輸入導(dǎo)納Y為:Y=這個并聯(lián)回路的參數(shù)C等于:與呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的諧振器的電抗斜率相對應(yīng),人們?yōu)椴⒋?lián)諧振器提出電納斜率參數(shù):決定一個具體并且諧振器在諧振頻率ω0附近的特性。通過以上的討論,我們把普通串聯(lián)諧振回路的參數(shù)L或并聯(lián)諧振回路的參數(shù)C與傳輸線諧振器的一些參數(shù)聯(lián)系起來了。前面已學(xué)過,任何一段短路或開路傳輸線都具有諧振特性。對于終端短路的一段傳輸線來說,當(dāng)它的長度l=λ/4時,它的輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振性質(zhì);當(dāng)l=λ/2時,輸入端呈現(xiàn)串聯(lián)諧振性質(zhì)。對于終端開路的一段傳輸線來說,當(dāng)它的長度l=λ/4時,輸入端呈現(xiàn)串聯(lián)諧振;而l=λ/2時,輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振。不管是微帶線、波導(dǎo)或同軸線都具有這種特性。這是在微波濾波器中,人們能夠非常便利地采用的諧振器。這里讓我們比擬深入地看一段L=λg0/2的終端開路的波導(dǎo)的情況。圖32(a)表示這樣一段矩形波導(dǎo);(b)是它的等效線路。它的輸入阻抗Y是:式中的Yc是波導(dǎo)的特性導(dǎo)納;λg0是濾波器的中心導(dǎo)波長;a是電磁波在波導(dǎo)的相位常數(shù):〔10〕注意當(dāng)頻率改變時,λg是個變數(shù),λg=λg0,式中給出Y=jYctgπ=0,輸入端呈現(xiàn)并聯(lián)諧振。當(dāng)頻率偏離了諧振頻率,導(dǎo)波長不再等于λg0了。導(dǎo)波長的改變引起相位常數(shù)a的改變(式10)。這就決定了一個。根據(jù)以上的討論如果單從傳輸線諧振器本身去考慮,只要通過改變Yc和λc才能改變電斜參數(shù)b。Yc和λc的調(diào)整意味著波導(dǎo)截面尺寸的改變。假設(shè)硬要從這方面去解決,一個濾波器的各局部的諧振器必然是一段段尺寸不同的波導(dǎo),結(jié)果將帶來極難解決的構(gòu)造問題。則,怎樣去改變波導(dǎo)諧振器的電納斜率參數(shù)呢"人們在波導(dǎo)諧振器的兩端收入兩個一樣的電抗元件,加模片或感性棒之類。圖33(a)表示一種具體構(gòu)造,(b)是它的等效電路。通過元件電納值b的選擇,人們可以在一定圍改變。注意參加電抗元件后,諧振器的長度l應(yīng)隨之改變。關(guān)于諧振腔長度的計算下面還要專門討論。第二局部微波濾波器§2-3倒置器(微波濾波器的特殊問題)從圖27中可以看出,帶通濾波器各組成局部都是諧振回路,這些諧振回路有些是串聯(lián)諧振回路,有些是并聯(lián)諧振回路,前者構(gòu)成濾波網(wǎng)絡(luò)的串接臂,后者跨接臂。在波導(dǎo)濾波器中,人們又怎樣使圖33(a)的導(dǎo)波諧振器在一定場合下呈現(xiàn)串聯(lián)諧振的特性,在另一場合下卻呈現(xiàn)并聯(lián)諧振特性"而且當(dāng)具有串聯(lián)諧振回路的作用時,它好象是一個串接臂,而當(dāng)具有并聯(lián)諧振回路的作用時,卻好似一個跨接臂呢"這就是本節(jié)所要解決的問題。圖34是一個λ/2開路傳輸線諧振器的等效電路。根據(jù)傳輸線理論,當(dāng)我們將負(fù)載Z接入諧振器的終端2-2'時,在諧振器入口1-1'處的輸入阻抗應(yīng)為:這里，，現(xiàn)在，故上式可以寫成如果我們只參考頻率ω在諧振頻率ω0附近變化的情況(這在濾波器的設(shè)計中是可以允許的)。πω/ω0的數(shù)值只在π的附近變化。在這種情況下,，故輸入阻抗的表示式可以寫成:現(xiàn)在讓我們根據(jù)上式看看兩種不同的情況。第一種情況是終端入的阻抗較低，即。在這種情況下，上式的右方分母上的第二項與1〔第一項〕相比擬，可以略去不計。故諧振器入口1-1’的輸入阻抗大致是這個關(guān)系式右方的第二項代表了傳輸線諧振器的作用。它在這里起著串聯(lián)諧振回路的作用〔所以這樣說是因為它與頻率的函數(shù)關(guān)系一樣于普遍的串聯(lián)諧振回路〕，而且它的效果與串接臂上的串聯(lián)諧振回路相等〔從阻抗相加的關(guān)系來看〕。因此，在終端接入的阻抗較低的情況下，我們得圖35〔a〕的等效電路。另一種情況是終端接入較高的阻抗，即。在這種情況下，上式的右方分子上的第二項與Z'相比擬，可以略去不計。故諧振器入口1-1’的輸入阻抗大致是以上關(guān)系式所包含的意義等于是根據(jù)電路原理，上式右方兩項的導(dǎo)納相加代表兩個支路的并接。一個支路的導(dǎo)納等于，即原來接入終端的負(fù)載。另一支路〔這意味著跨接臂了〕的導(dǎo)納是，實際就是一個并聯(lián)諧振回路的輸入導(dǎo)納。第二個支路反映了傳輸線諧振器所起的作用。因此，在這種情況下，我們得到了圖35〔b〕所示的等效電路。同樣一個諧振器，由于所接負(fù)載的不同，起著截然不同的作用。則，人們怎樣可以改變負(fù)載阻抗的數(shù)值呢？我們已經(jīng)提到λ/4變換器，λ/4線段具有阻抗倒置特性。在圖36所示λ/4線段的一端接入一個阻抗Z，設(shè)線段的特性阻抗為K，則在另一端的輸入阻抗將為〔11〕適中選擇線段的特性阻抗K，人們可以調(diào)整負(fù)載對諧振器所提供的阻抗。象λ/4線段的這樣器件稱為倒置器。倒置器的一個更重要的特點是：通過式〔11〕的關(guān)系，它能夠把接于它終端的阻抗的性質(zhì)，在它的輸入端改變成相反的性質(zhì)。舉例來說，它可以把接于終端的一個電容在它的輸入端變成一個電感；或者把接入終端的一個串聯(lián)電路在輸入端變成一個并聯(lián)電路。所以，如果我們在一個串接元件〔例如圖37〔a〕的L〕的出、入口各接上一個倒置器，則對于外界電路來說，這個串接的元件將起著一個跨接著的，且性能相反的元件的作用〔如圖37〔a〕右邊等效電路的C〕。同樣，如果我們在跨接元件的兩方各接入一個倒置器，則對外界電路來說，這個跨接元件所起的作用一樣于一個串接的性質(zhì)相反的元件，如圖37〔b〕的C與L。對于圖37的C和e的串聯(lián)和并聯(lián)電路，倒置器也有改變連接位置和電路性質(zhì)的作用。因此，對于倒置器在濾波網(wǎng)絡(luò)里面的作用，人們也可以這樣去理解：倒置器把圖38〔a〕的既有串接電感又有跨接電容的母型低通濾波器，改變成性能完全相等的只用串接電感〔或只用跨接電容〕的母型低通濾波器〔圖38〔b〕或〔c〕〕。當(dāng)然根據(jù)后面那種母型濾波器推算出來的其他濾波器自然也就只有串接臂〔或跨臂〕了。圖38〔b〕的倒置器稱為阻抗倒置器或K倒置器，〔c〕的稱為導(dǎo)納倒置器或J倒置器。應(yīng)用λ/4線段作倒置當(dāng)然簡單，但這種線段對頻率非常敏感，在寬帶帶通濾波器中，對工作性能有影響，人們設(shè)計出許多其它倒置電路。圖39給出四種常用的阻抗倒置器，其中以〔c〕用得更多。Z0是主傳輸線的特性阻抗〔當(dāng)然也就是倒置器所用線段的特性阻抗〕，*是所加感性元件的電抗，φ是倒置線段的電氣長度〔φ=αl〕。在C的具體情況下，這個長度是一個負(fù)數(shù)，需由傳輸線諧振器把它吸收掉，這種倒置器才能實現(xiàn)?！瞔〕和〔d〕第二局部微波濾波器§2-41/4波長耦合濾波器從這一節(jié)開場,我們就來討論特殊形式的濾波器----波導(dǎo)濾波器。在前一節(jié)中，我們已經(jīng)組了把由低通母濾波器換算成帶通的濾波器。進(jìn)一步變換成清一色的并聯(lián)〔或串聯(lián)〕諧振器間夾一個倒置器的微波上容易實施的形式。參見圖37〔c〕和〔d〕。如果我們用1/4波長的波導(dǎo)段作為具體的倒置器，再用兩個電抗元件電感棒〔或電感膜片〕夾一段波導(dǎo)作為諧振器來代替圖27中的串諧振回路，則，我們就有了圖40所示的一個稱為λ/4耦合濾波器。b1,b2分別代表電感棒〔膜片〕的電納歸依值。圖中沒有繪出調(diào)整設(shè)備。I-II段為該濾波器的根本單元.該類濾波器就是由這樣的根本單元級連而成.將根本單元畫于圖41，它是由一個諧振腔組成。諧振腔包括一段電長度為θ的傳輸線和兩個電納歸依值等于的并聯(lián)元件，為了書寫方便可舍去下標(biāo)“1〞。由于我們討論窄頻帶濾波器，假定電納b不隨頻率變化。在諧振腔二端各延長φ/2，便與第二諧振腔耦合。(一〕1/4波長耦合濾波器根本單元的分析方法。對于圖41所示的根本單元，我們可以先用通用矩陣[a]來求出該單元的插入衰減和插入相移。在第一局部中，我們已經(jīng)求出了通用矩陣[a]時的插入損耗〔衰減〕表示式〔12〕其中，A、B、C和D都是兩端對網(wǎng)絡(luò)的通用矩陣參數(shù)。對于無耗的電抗網(wǎng)絡(luò)，B和C是純虛數(shù)。如果我們假設(shè)B=,C=jc，則又因為無耗網(wǎng)絡(luò)的情況下：以及則上式成了式12就成了：插入相移為：(13)又因為一般濾波網(wǎng)絡(luò)具有對稱構(gòu)造，所以有這樣插入損耗公式就簡化為：對于圖41所示的諧振腔，如果不考慮二端φ/2的耦合長度，其[a]矩陣可以寫為：式中：根據(jù)式〔12〕插入衰減是〔14〕式中由式〔13〕可知，插入相移是在中心波長時，應(yīng)當(dāng)是完全傳輸，插入衰減應(yīng)為零分貝，故L=1,即m=n,*=0，所以相應(yīng)的諧振腔長θ0〔電長度〕為〔15〕機(jī)械長度為〔16〕λg0為中心波導(dǎo)波長?，F(xiàn)在，我們的空腔沒有封閉，兩邊是電感棒〔或電感、電容膜片〕，如果是電容膜片，則b值為正，由式〔15〕可知：θ0可以從0到π/2之間變化，由式〔16〕可知：其機(jī)械長度l<λg0/4。通常用的是電感棒〔或電感性膜片〕，則b為負(fù)值，于是θ0從π/2到π，機(jī)械長度l>λg0/4。這一現(xiàn)象從物理概念上是可以理解的。電容起加長諧振腔長度的作用，所以諧振腔必須短一些。電感起縮短諧振腔長度的作用。所以諧振腔必須長一些。如果并聯(lián)電納b遠(yuǎn)大于2，則θ0約等于π，l約等于λg0/2，將θ0代入式16，可以得到中心波長時的插入相移〔17〕如果考慮到諧振腔兩端各接上φ/2的傳輸線〔圖41〕，則[a]矩陣為式中此時的插入衰減可見，參考諧振腔兩端耦合段后，諧振腔的電長度θ0不變，仍滿足式〔14〕。但插入相移將隨耦合段的電長度變化。在中心波長下，諧振腔兩端的耦合長度φ=φ0通常取將式〔17〕代入上式得因此，根本單元圖41可繪成圖42所示的那樣，圖中標(biāo)出的都是中心波長下的電長度?！捕持C振腔的Q值插入衰減也可用四端網(wǎng)絡(luò)的有載QL來表示為與式〔14〕比擬得式中，f0為中心頻率。Δf為工作頻率與中心頻率之差。根據(jù)定義：式中f0為中心頻率，f2和f1分別是時的頻率，即半功率點的頻率。但是，在波導(dǎo)中，主要的特性都是以波導(dǎo)波長λg作為變量的，所以，這時或〔18〕現(xiàn)在就要找出θ1和θ2，我們還是從插入衰減的公式著手。找θ0時，令*=0?，F(xiàn)在，我們令*=±1，則有解得：代入式〔18〕得〔19〕如果b很大，因而2*(b4+4b2)-1/2很小，則上式近似地可用下式表示：〔20〕在這里，有一點要說明：式〔20〕只適用于非色散的傳輸線中。即：在此情況下，λ0=λg。但是，在有色散的傳輸線中，例如波導(dǎo)中傳橫電波〔TR10波〕時：λ0和λg是非線性關(guān)系的，這就有以前推導(dǎo)出的結(jié)果。〔21〕所以考慮了色散的影響，諧振腔的有載QL會增加〔λg0/λ0〕2倍。這在波導(dǎo)濾波器的設(shè)計中是很重要的概念。而且，把諧振腔的有載QL值與波導(dǎo)兩端的加載電納b聯(lián)系起來，為濾波器的設(shè)計打通了道路。不過，在正式講λ/4耦合濾波器的設(shè)計以前，我們還必須把諧振腔的有載QL和低通母型濾波器的各元件值掛上鉤。通過低通變換到帶通，又用λ/4倒置器，我們可以把有串聯(lián)諧振回路又有并聯(lián)諧振回路的帶通電路變換成光有并聯(lián)諧振回路組成的濾波器。如圖43所示。為了清楚起見，先畫了一個并聯(lián)諧振回路。其中g(shù)K是低通原型濾波器的元件值。這個諧振回路的負(fù)載和電源阻均為歸一化電導(dǎo)，G0=Gn+1=1，所以并聯(lián)在各諧振回路上的損耗電導(dǎo)是1+1=2，于是回路Q值為：把代入上式，則(22)式中:稱為集中參數(shù)帶通濾波器的總Q,QK是第K個支路的Q。這式說明：帶通濾波器的第K個諧振回路的Q值是低通母型濾波器的歸一化元件值gK乘以QT/2。加上前面已討論的諧振腔的Q和兩邊的電納b之間的關(guān)系，這樣，在設(shè)計波導(dǎo)帶通濾波器的過程中的特殊問題，算是解決了一半，從低通母型變換到了波導(dǎo)型帶通濾波這種特殊的微波構(gòu)造。另一半是什么呢？這就是解決λ/4線段阻抗倒置變換器特性，以及，另一個重要課題，在波導(dǎo)中的電感是什么樣的？如何計算？所以，我們再用兩小節(jié)來講述它們。不過，由于，波導(dǎo)中的電感棒問題又是一個很復(fù)雜和煩瑣的工程問題，而且又涉及許多應(yīng)用數(shù)學(xué)，故我們只打算給出具體的計算公式。而不詳細(xì)去推導(dǎo)它們?！踩肠薵/4阻抗倒置器的特性如前所述，在波導(dǎo)諧振腔之間相互距離λg/4線段的目的，主要起到阻抗變換的作用。解決用并聯(lián)諧振回路來代替串聯(lián)諧振回路。同時，各諧振腔相距λg/4，還可以起到各元件之間相互隔離作用。在設(shè)計濾波器時，我們通常是假設(shè)各個電感、電容元件是相互間沒有互電容和互電感的理想元件。在低頻時適當(dāng)采取屏蔽措施，做到互電容、互電感可以忽略是可能的，但在微波波段各元件都安置在一個波導(dǎo)管，采取屏蔽措施是不可能的。因而安置各個諧振腔，使它們之間相距λg/4，會收到大大削弱相互影響從而使互阻抗可忽略不計。下面，我們分析λg/4波導(dǎo)線段的阻抗倒置器的特性。為此，我們考慮圖44的情況，圖中令波導(dǎo)段傳輸線的長度為l，終端聯(lián)結(jié)一諧振腔。其等效電路用LC回路代表，同時，并聯(lián)一匹配電導(dǎo)Y0。如果不它表示為歸一化的通用形式，按照過去的分析，在諧振頻率附近的諧振腔歸一化導(dǎo)納值用ΔB表示，則根據(jù)公式，ΔB可表示為：ΔB與Δ〔1/λg〕都表示在諧振頻率附近諧振腔歸一化導(dǎo)納B值與波導(dǎo)波長的倒數(shù)1/λg的微小變化值，考慮諧振腔并聯(lián)Y0效應(yīng)在，終端負(fù)載導(dǎo)納Y的表示式(在諧振頻率附近)可寫為：(23)再令,則上式可寫為：(24)由傳輸線的關(guān)系式可知，圖44中的A-A處的輸入導(dǎo)納Yin應(yīng)為：(25)式中：把式〔24〕代入式〔25〕則得：(26)取l=λg/4,則得諧振頻率時的θ0為：當(dāng)頻率離開諧振點時，1/λg也由1/λg0變?yōu)?/λg0+Δ〔1/λg〕,因此可得θ的表示式為：我們考慮的是窄頻率的情況，因而δ<<1，故近似可得：把它們代入式〔26〕，則得：(27)由式〔27〕可知πδ/2項的出現(xiàn)是由于線段在頻率變化時引起的相位變化的結(jié)果，這完全由于加進(jìn)了λg/4線段，假設(shè)忽略(πδ)/2項則由式〔27〕可得：亦即A-A端的輸入阻抗變?yōu)椋?28)上式表示λg/4線段可看作一個理想的阻抗倒置器〔其阻抗倒置作用與頻率特性無關(guān)〕，它可以起到把并聯(lián)諧振回路變?yōu)榇?lián)諧振回路的作用。由于波導(dǎo)諧振腔都是并聯(lián)構(gòu)造，因而加λg/4的波導(dǎo)段就可以獲得等效電路必須的串聯(lián)諧振回路。但這是在忽略λg/4線段頻率特性影響〔忽略(πδ)/2項〕的結(jié)果，為了考慮此影響，我常常采取修正諧振腔的QP值方法，以使λg/4線段等效于一理想阻抗倒置器。對此方法的原理在下面加以表達(dá)。由公式〔27〕，可將A-A端輸入導(dǎo)納畫成圖45的等效特性圖。圖45〔a〕是式〔27〕的結(jié)果。而圖45〔a〕等效于圖45〔b〕，在圖〔b〕中，引入理想倒置器以使1+j(4QPδ+(πδ)/2)導(dǎo)納，而這個圖〔b〕又可用圖〔c〕來等效。圖〔c〕中，將諧振回路j(4QPδ+(πδ)/2)分裂成兩個諧振回路并聯(lián)〔j(πδ)/2與4QPδ兩個回路〕。由圖45〔c〕可見，λg/4波導(dǎo)傳輸線近似等效于一個理想阻抗倒置，不過此變換器兩端還接有歸一化導(dǎo)納為j(πδ)/2的諧振回路，也