軸對(duì)稱及中心對(duì)稱變換平移及旋轉(zhuǎn)變換

軸對(duì)稱及中心對(duì)稱變換、平移及旋轉(zhuǎn)變換變換是極為重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用幾何變換解題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常用到，本文介紹幾何變換中的基本變換：軸對(duì)稱及中心對(duì)稱變換、平移及旋轉(zhuǎn)變換。一、軸對(duì)稱變換把一個(gè)圖形F沿著一直線l折過來，如果它能夠與另一個(gè)圖形F'重合，我們就說圖形F和F'關(guān)于這條直線l對(duì)稱。兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線l的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線l叫做對(duì)稱軸，如右圖。軸對(duì)稱圖形有以下兩條性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸上任一點(diǎn)的距離相等。例1凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于。，且ACXBD，已知OA>OC，OB>OD，求證：BC+AD>AB+CD。分析：題中條件比較分散，故考慮“通過反射使條件相對(duì)集中”，注意到ACXBD，于是以BD(AC)為對(duì)稱軸，將BC(AD)反射到BC'(AD')，把有關(guān)線段集中到^ABO內(nèi)，利用三角形中兩邊之和大于第三邊易證得結(jié)果。證明：?「AC^BD，且OA>OC，OB>OD，于是以BD為對(duì)稱軸，作C點(diǎn)關(guān)于直線BD為對(duì)稱點(diǎn)C'，以AC為對(duì)稱軸作D點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'。連結(jié)BC'，AD'相交于E點(diǎn)，則BC=BC'，AD=AD'，CD=C'D'。「.BE+AE>AB①EC'+ED'>C'D'②①+②，得BC'+AD'>AB+C'D'。?.?BC+AD>AB+CD。注：（1）本題的結(jié)論對(duì)于凹四邊形仍然成立；（2）還可將四邊形推廣成2n邊形，也有類似結(jié)論。其證明思路也完全相同，讀者試自證。二、中心對(duì)稱變換如果平面上使任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,A'的連線段都通過一個(gè)點(diǎn)O,且被這一點(diǎn)所平分，則這個(gè)變換叫做中心對(duì)稱變換（亦稱點(diǎn)反射或點(diǎn)對(duì)稱），點(diǎn)。叫對(duì)稱中心，點(diǎn)A和A'叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，如果一個(gè)圖形F在中心對(duì)稱變換下保持不變（還是自身），則這個(gè)圖形F叫做中心對(duì)稱圖形。中心對(duì)稱變換有以下性質(zhì)：（1） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。這個(gè)性質(zhì)的逆命題也成立，即“如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。（2） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等。例3如圖所示，地面上有不在同一直線的A、B、C三點(diǎn)，一只青蛙位于地面異于A、B、C的P點(diǎn)，第一步青蛙從P跳到P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)P「第二步從P1跳到P]關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)P2，第三步從P2跳到P2關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)P3，第四步從P3跳到關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)P，??…:，以下跳法類推，問青蛙跳完第1992步，落在地面I的什么位置？解：青蛙每跳一次，就是完成一個(gè)中心對(duì)稱變換，如圖，根據(jù)中位線定理，有PP2業(yè)2AB業(yè)七七①并且由PC=CP，PC=CP，可知PPPP是平行四邊形。2 3 6 5 3526「?P2P6業(yè)P2P。②由①、②及平行公理可知P和P6重合，這表明青蛙每跳6步，都可以回到起點(diǎn)P，而1992是6的倍數(shù)，因此跳完第1992步青蛙應(yīng)落在P點(diǎn)。三、平移變換把圖形F上的所有的點(diǎn)都按一定方向移動(dòng)一定距離d形成圖形F'，則由F到F'的變換叫做平移變換。一般地，題設(shè)條件中有彼此平行的線段，或有造成平行的因素，又需要將有關(guān)線段與角由分散到相應(yīng)集中，使圖形中諸元素之間的聯(lián)系變得明顯，可以采用平移變換。例4設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，/PAB二ZPCB，求證：ZPBA=/PDA。證明：如圖，.「AB業(yè)CD，故可將^ABP沿AD方向平移至△DCP'處，「?AP業(yè)DP'，BP業(yè)CP'。因此四邊形APP,D，BCP'P都是平行四邊形，?.?ZP，DC=ZPAB，ZP，CD=ZPBA，/BCP=/CPP'，/PDA=/DPP'，又/PAB=/PCB，.../CPP'=/P'DC，???C、P'、D、P四點(diǎn)共圓，/DPP'=/P'CD，.?/PBA=/PDA。例5由平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)作它的高AE和AF，已知EF=a，AC=b，求點(diǎn)A到^AEF的三條高的交點(diǎn)H的距離。解：...AD〃BC，AE±BC，過C作CG±AD垂足為G，（即將AE平移到CG），得矩形AECG，連結(jié)FG，EG，CG，得EG=AC=b，AG業(yè)EC。VEHXAF，CF±AF，F(xiàn)H±AE，CE±AEO?.?EH〃CF，EC〃HF，ECFH為平行四邊形，因此EC業(yè)HF。又AGEC，?AG業(yè)HF，AH業(yè)FG是平行四邊形，?AH業(yè)GF又VAH±EF,VGF±EF，因此AEFG是直角三角形。注：本題是經(jīng)過若干平移而獲得解決的。四、旋轉(zhuǎn)變換將平面圖形F繞這平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角a而形成的圖形F'，由F到F'這種變換稱旋轉(zhuǎn)變換。點(diǎn)。稱旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)變換下唯一位置不變點(diǎn)，a稱旋轉(zhuǎn)角。運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)鍵在于選好旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換在解題中的主要應(yīng)用有以下兩個(gè)方面：在題設(shè)條件與結(jié)論間聯(lián)系不易溝通或條件分散不易集中利用的情形下，通過旋轉(zhuǎn)變換起到鋪路架橋作用。圖形錯(cuò)綜復(fù)雜，但圖形中等量關(guān)系多，可通過旋轉(zhuǎn)變換，移動(dòng)部分圖形，使題設(shè)中隱蔽著的關(guān)系明朗起來，從而找到解題途徑。例6設(shè)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知ZAOB=115°，ZBOC=125°，求以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。解：以B為中心，將^BOA逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，則點(diǎn)A落在點(diǎn)C，點(diǎn)O落在點(diǎn)D，連結(jié)OD，CD，VOB=BD，ZOBD=60°，「.△BOD是等邊三角形；則OD=OB，又CD=OA，「△COD是以O(shè)A，OB，OC為邊構(gòu)成一個(gè)三角形。AZBOC=125°，ZBOD=60°oAZCOD=65°o又VZBDC=ZAOB=115°，而ZODB=60°，AZODC=55°，從而ZOCD=180