6.示范教案(4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用)

4.2.3直線圓方的用整設(shè)教分直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng).本小節(jié)設(shè)置了一些例,分別說明直線與圓的方程在實際生活中的應(yīng)用以及用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程.三目理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo),用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾元將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；第三：將代數(shù)運算結(jié)果“譯成何結(jié)論會形結(jié)合”的學(xué)思想解決問題讓學(xué)生通過觀察圖形解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能重難教學(xué)重點：求圓的應(yīng)用性問題教學(xué)難點直線與圓的方程的應(yīng)課安時教過導(dǎo)新思如某城市中的高空觀覽車的高度是100圖在離觀覽車約m處有一建筑物,人在離建筑物m的地方剛好可以看到觀你根據(jù)上述數(shù)據(jù)如何求出該建筑物的高度？要解決這個我們繼續(xù)研究直線與圓的方程的應(yīng)用教師板書課題:直線與圓的方程的應(yīng).思同們前我們學(xué)習(xí)了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān),么如何利用這些關(guān)系來解決一些問怎樣解著這些問題我們學(xué)習(xí)直線與圓的方程的應(yīng).教師板書課:直線與圓的方程的推新新探提問你能說出直線與圓的位置關(guān)系？解決直線與圓的位置關(guān),你將采用什么方法？閱讀并思考教科書上的例4,將選擇什么方法解決例的問題？你能分析一下確定一個圓的方的要點嗎？你能利用坐法解例5嗎活：生回憶,教師引導(dǎo),師提問,生回答學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點撥.教引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路要面考慮,發(fā)思維學(xué)回顧學(xué)習(xí)的直線與圓的位置關(guān)系的種類解直線與圓的位置關(guān),以采取兩種方法首先考慮問題的際

2222222222222222222意義,如果本題出在初中們沒有考慮的余地,有幾何法,這里當(dāng)然可以考慮用坐標(biāo)法種方法比較可知哪個簡單；顧圓的定義可知確定一個圓的方程的條件；用坐標(biāo)法解決問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉(zhuǎn)化得到結(jié).討結(jié)：線圓的位置關(guān)系有三類:相交、相切、相離.解直線與圓的位置關(guān)系將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來解決.閱讀并思考教科書上的例4,用代數(shù)方法及坐標(biāo)法,用幾何法作比較你能分析一下確定一個圓的方的要,圓心坐標(biāo)和半徑有關(guān)于、F的個獨立的條件也可.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,具體解法我們在例題中展.應(yīng)示思1例1講課本節(jié)解法一見課本.圖解二如圖過作H由已知|OP|=4,|OA|=10.22在eq\o\ac(△,)AOC中,有CA|=|CO|設(shè)拱圓所在的圓的半徑為r,有r=(r-4).解得在eq\o\ac(△,)CPH有CP|22

H|2

因為|=2,是有CH|2

=r

-|OA2

=14.5

又是

206.25

-10.5≈14.36-10.5=3.86.所以支柱AP的長度約為cm.22點：過課本解法我們總結(jié)利用坐標(biāo)法解決幾何題的步驟是一步建適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題步：通過代數(shù)運解決代數(shù)問題；第三步：代數(shù)運算結(jié)翻譯成何結(jié)把兩種解法比較可以看出坐標(biāo)法通俗易幾何法較難想繁瑣因此解題時要有所選.變訓(xùn)已知圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半圖解:如圖3,四邊形ABCD互垂直的對角線CADB所直線分別為x軸y軸,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo),A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

nE222222222222222nE222222222222222過四邊形ABCD的接圓的圓心分作AC、、AD的,垂足分別為M、N、E,1則M、N、分別為線段AC、BD、AD的中點線段的中點坐標(biāo)公式得

=x=m

d=y===所以O(shè)1

(

aad1)2)22222

又BC|=

2

2

所以1

點:用坐標(biāo)法解決幾何問題先用坐標(biāo)和方程表示應(yīng)的幾何元素、點、直線、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何意義得到幾何問題的結(jié)論.例2有種大型商品,、B兩地都有出售且價格相同某居民從地之一購得商品后回運的運費是：每單位距離A的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩相距10km,民選擇A或B地買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運費和價格的總費用較.AB兩的售貨區(qū)域的分界線的曲線形并指出曲線上、線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地活生先審然后思考或討論學(xué)有困難教師可以提示引建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)這里以所在直線為x軸線AB中點為原點建立直角坐標(biāo)系較簡假設(shè)一點距A地,費用低列方程或不等式解以AB所直線為x,線段AB的點為原點建立直角坐標(biāo)則A(－設(shè)地的標(biāo)(且P地民選擇A地買商品的費用較,并設(shè)A地的運費為3a元則B地運費為a元km.由于地民購買商品的總費用滿足條件：價+A地運價格+地費即

(5)

≤a

(

整理得x+

15)+y≤()4所以以點

15為圓心為徑的圓就是兩地居民購貨的分界.內(nèi)的居民從A地購4貨費用較低,外的居民從B地購貨費用較,上的居民從A、B兩地購貨的總費用相因此可以隨意從A、兩地之一購貨點:在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)活和相關(guān)學(xué)科中的應(yīng),解決有關(guān)實際問題時關(guān)鍵要明確題意掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方.思2例1求過直線2x-y+3=0與x+y的點且面積最小的圓的方.活:學(xué)生思考或交流,師提示引,求圓的方程無非有兩種方法代數(shù)法和幾何法解一:利用過兩曲線交點的曲線設(shè)圓的方程為x+y+2x-λ(2x配方得標(biāo)準(zhǔn)x+1++(y-2-

)=(1+λ)+(2+22

)-λ-1,=

5219λ+λ+4=λ+)45當(dāng)λ=

25

19時,半徑r=最5所求面積最小的圓的方程為5x

2102222222222210222222222222222解二:利用平面幾何知,以直線與圓的交點A(x),B(x,y)連線直徑的圓符合要.112由yy0,

消去得5x判別式Δ＞中點橫坐標(biāo)x=0

x=-縱坐標(biāo)y+3=,55即圓心O′(-

).又半徑r=

12

-x1

19=5所求面積最小的圓的方程(x+

19)+(y-)=.點:要練地進(jìn)行圓的一般式與標(biāo)式之間的互化,這配方法十分重要,方法二用到求弦長的公式AB|=|x-x|·1

2

;對圓的弦長,還以利用勾股定理求得,即|AB|=

r

其中圓半徑為心到弦的距變訓(xùn)設(shè)圓滿足y軸所得弦長為軸成兩段弧弧長之比為1,在滿足條件所有圓中求圓心到直線l:x-2y=0的離最小的圓的方圖解:關(guān)鍵確定圓心坐標(biāo)和半如圖4.設(shè)圓心則半徑

由截y軸弦長為知又圓心Al的離d=

|a-2b|,+4b4ab≥a-2(a+b)=2b-a當(dāng)僅當(dāng)時號立.這里由

2b2r,

解得或rr圓的方程為x-1)=2或(x+1)+(y+1)=2.例2

已知x,y是實數(shù)且x+y求(

yx

的最值;(2)x+y的值的值(4)x-y的值.活：生思考或交教師引,數(shù)形結(jié)將數(shù)式或方程賦予幾何意

22222222222222222222222222解(x-2)+(y-3)=1示以點為心,為半徑的圓.

yx

表示圓C上點P(x,y)與坐標(biāo)原點O(0,0)連線的斜率k,故當(dāng)y=kx為C的切線,最.|2k|∵12y∴的大值為2+x

23

最小值為2-

設(shè)x

+y

表示圓上點P(x,y)坐標(biāo)原點連的線段長的平,故由平面幾何知識,知當(dāng)為線OC圓C的交點、時,12=14+2,x的大值(2最小值為(

2

與2

2

分別為

的最大值、最小.令x+y=m,當(dāng)直線l:x+y=m與C相時l軸截距m取最2|∵

m=5±x+y的大值為

最值為5-

令x-y=n,當(dāng)直線l-y=n圓C相時l在y軸截距的相反數(shù)取得最.|∵

2

x-y的大值為-

最值為

點:從數(shù)認(rèn)識“”,從形中識數(shù),數(shù)結(jié)合相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維的基本方法之一“數(shù)是一個有機(jī)的統(tǒng)一體的生命力的一個必要條件是所有的各個部分不可分離地結(jié)合”(希爾伯?dāng)?shù)形結(jié)合的思維能力不僅是中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要標(biāo)志之而且也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本能本題是利用直線和圓的知識求值的典型題.例3已圓O的程為x+y求點A(1,2)所的弦的中點的軌.活：生回想求軌跡方程的方法與步,思考討,教師適時點撥提示本題可利用平面何的知識解一:參數(shù)法常規(guī)方法)設(shè)過A的所在的直線方程為y-2=k(x-1)(k存在時則+2k(2-k)x+k-4k-5=0.

2kx

消y,x1

2(k2)k

2211,y=222,y=112211,y=222,y=11(k,利用中點坐標(biāo)公式及中點在直線,

(k為數(shù))消去k得點軌跡方程為x+y-x-2y=0,當(dāng)不在中點P(1,0)坐標(biāo)也適合方P軌跡是以點(

12

5為圓心為徑圓.2解二:代點法涉及中點問題可考慮此法設(shè)過點A弦MN,M(x),N(x,y).119,、在O上9.2xyy112設(shè)P(x,y),則x=2

相減得x)+12

yyx

+y)=0(x≠x).112、、、A四共線

yy=(xx

·2y=0.中點的跡方程是x

+y

時正).點的跡是以點

12

5為圓心為徑圓2解法三數(shù)結(jié)(利用平面幾何知)由垂徑定理知OP故點軌跡是以AO為徑的圓(下略)點:本涉及求軌跡方程三種間接方法.路一代表了解析幾何的基本思路和基本方法即

f(x)x)

消y(或x)關(guān)于x(或的元次方程Ax+Bx+C=0,再用求根公式、判別式、韋達(dá)定理等得思路二又平方差法要求弦的中點的軌跡方程用此法比較簡便.基本思路是利用弦的兩個端點,y)、)已知曲線上將點的坐標(biāo)代入已知方程然1122后相減利用平方差公式可得x、y+y、x-x、y-y等.再弦MN的點的標(biāo)112121滿足x=

xyy112

2

yy以及直線MN斜率(x≠x)等設(shè)法消去x、、xy、y,即可得弦的點P的軌跡方程用此法對斜率不存在的情要單獨討論思路,1數(shù)形結(jié)合利用平面幾何知識等有能求解過程變得非常簡學(xué)好解析幾要掌握特點注四個結(jié)合:數(shù)形結(jié)合:形不離數(shù),不離形依判就數(shù)論形;動靜結(jié)合:動中有靜,中有動幾條——線方——圖形性;特殊與一般結(jié)合:一般性寓于特殊性之,特殊化與一般化是重要的數(shù)學(xué)思維方;

222222222222理論與實際結(jié)合:學(xué)以致創(chuàng)造開.知訓(xùn)課本本節(jié)練習(xí)1、、3拓提某種體育比賽的規(guī)則:進(jìn)攻隊員與防守隊員均在安全線l的線AC上(為垂足且距C分別為和a(a＞的點AB,攻隊員沿直線AD向安全線跑動防守隊員沿直線方向向前攔截,設(shè)AD和BM交若在M點,防守隊員比進(jìn)攻隊員先到或同時則進(jìn)攻隊員失敗已知進(jìn)攻隊員的速度是防守隊員速度的兩,且他們雙方速度不問進(jìn)攻隊員的路線應(yīng)為什么方向才能取圖解如以lx軸C為點建立直角坐標(biāo)設(shè)防守隊員速度為則攻隊員速度為2v,設(shè)點M坐標(biāo)為(x,y),攻隊員與防守隊員跑到點M所時間分別為=1

BM|,t=若＜t則AM|＜即12

xya)222

整理得x

2

+(y-

22a)＞(,說明點M應(yīng)在圓E:x=(33

以外,進(jìn)攻隊員方能取勝設(shè)為圓切線,為點在AEN,容易求出EAN=30°,所進(jìn)攻隊員的路線AD與AC所角大于30°即可課小用坐標(biāo)解決幾何問題的步驟一建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二：通過代數(shù)運,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果翻成幾何結(jié)論.對于直和圓,記各種定義、基本公式、法則固然重,要做到迅速、準(zhǔn)確地解還須掌