l-fuzzy閉包空間的-1,0與次0分離性

l-fuzzy閉包空間的-1,0與次0分離性

近年來，l-flu茲探測(cè)空間的研究非?；钴S，取得了豐富的研究成果。在文獻(xiàn)中，l-flu茲探測(cè)空間的概念是在遠(yuǎn)距離l-flu茲三維空間的概念中提出的，并討論了ti（i.0.1和2）的分離性，并討論了特征的描述。在文獻(xiàn)中，l-flauzj相對(duì)于ti（i.0.1和2），給出了特征的描述，討論了它們之間的關(guān)系，并研究了它們的基本性質(zhì)。l-flu茲封閉空間是l-flu茲封閉空間的推廣。本文論述了l-flu茲封閉空間的t-1、t0和t0之間的分離。文中假設(shè)L是有最小元0和最大元1的完備格.X是非空集,LX是從X到L的映射(或叫L-子集)的全體.則LX依點(diǎn)式序也構(gòu)成完備格.稱α∈L-{0}為L(zhǎng)中的余素元,是指對(duì)任意的b,c∈L,當(dāng)a≤b∨c有a≤b或a≤c,L中余素元的全體記為Copr(L).用xα表示在x點(diǎn)處取值α,在其他處取值為0的L-集.易證LX中體余素元構(gòu)成的集合Copr(LX)={xα|x∈X,α∈Copr(L)}.設(shè)A是X的子集,則Copr(A)={xα∈Copr(LX)|xα≤A}.其他符號(hào)見文獻(xiàn).每個(gè)映射f∶X→Y可誘導(dǎo)出一個(gè)映射(稱為L(zhǎng)-值Zadeh型函數(shù))f→L∶LX→LY,具體定義為f→L(A)(y)=∨{A(x)|f(x)=y}(?A∈LX,?y∈Y).f→L的右伴隨記為f←L.易證f→L保任意并,f←L保任意并和任意交,并且有f←L(B)=∨{A∈LX|f→L(A)≤B}=B。f(?B∈LY).1ylyl的相關(guān)定義定義1如果映射τ∶LX→L滿足條件1)τ(0X)=τ(1X)=1;2)對(duì)任意的{Ai}i∈I?LX,τ(∧i∈IAi)≥∧i∈Iτ(Ai),則稱τ為X上的一個(gè)L-fuzzy閉包系統(tǒng),稱序?qū)?X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間.定義2設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,xλ∈Copr(LX),P∈LX且τ(P)>0,xλ≤/P,則稱P為xλ的遠(yuǎn)域,記xλ的全體域構(gòu)成的集合為τ(xλ).定義3設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,f∶X→Y為映射,若對(duì)任意的B∈LY,有τ1(f←L(B))≥τ2(B),則稱f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的連續(xù)映射.若f∶X→Y為一一映射,且f與f-1都連續(xù),則稱(X,τ1)與(Y,τ2)同胚.定義4設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,f∶X→Y為映射,若對(duì)任意的A∈LX,有τ2(f→L(A))≥τ1(A),則稱f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的閉映射.易得以下結(jié)論命題1設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,(X,τ1)和(Y,τ2)同胚當(dāng)且僅當(dāng)存在一一映射f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的連續(xù)閉映射.注1設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,Y?X.定義τY∶LY→L如τY(B)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=B}(?B∈LY),則τY是Y上的一個(gè)L-fuzzy閉包系統(tǒng),稱為由τ誘導(dǎo)的Y上的L-fuzzy閉包系統(tǒng),并稱(Y,τY)為(X,τ)的子空間,有時(shí)也記τ|Y=τY.由τY的定義知,τY(0Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=0Y}≥τ(0X)=1,τY(1Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=1Y}≥τ(1X)=1,故τY(0Y)=τY(1Y)=1.對(duì)任意一族{Bi}i∈I?LY,∧i∈IτY(Bi)=∧i∈IV{τ(Ci)|Ci∈Lx,Ci|Y=Bi}≤∨{∧i∈Iτ(Ci)|Ci∈LX,Ci|Y=Bi}≤∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=∧i∈IBi}=τY(∧i∈IBi).因此,τY∶LY→L是Y上的一個(gè)L-fuzzy閉包系統(tǒng).注2設(shè){(Xt,τt)}t∈T為一族L-fuzzy閉包空間,X=∏t∈ΤXt,pt∶Xt→X為第t個(gè)投影映射(?t∈T).定義φ,τ∶LX→L如對(duì)任意的W∈LX,φ(W)=∨t∈Τ(pt)∨←L(U)=Wτt(U),τ(W)=∨∧λ∈ΛBλ=W∧λ∈Λφ(Bλ)則τ∶LX→L為X上的L-fuzzy閉包系統(tǒng).由τ∶LX→L的定義知,對(duì)任意的W∈LX,τ(W)≥φ(W).又對(duì)任意的t∈Τ,(pt)←L(ΟXt)=0X,(pt)←L(1Xt)=1X,因此,任取t0∈Τ,φ(0X)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=0X,τt(U)≥τt0(0Xt0)=1,φ(1X)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=1X,τt(U)≥τt0(1Xt0)=1,因此τ(0X)≥φ(0X)≥1,τ(1X)≥φ(1X)≥1,所以τ(0X)=τ(1X)=1.對(duì)任意的一族{Wi}i∈I?LX,∧i∈Iτ(Wi)=∧i∈I∨∧λ∈ΛiBλi=Wi∧λ∈∧i?(Bλi≤∨∧λ∈∧iBλi=Wi∧i∈I∧λ∈∧i?(Bλi)≤∨∧λ∈∧Bλ=∧i∈IWi∧λ∈∧?(Bλ)=τ(∧i∈IWi).因此,τ∶LX→L為X上的L-fuzzy閉包系統(tǒng)上述L-fuzzy閉包系統(tǒng)(X,τ)稱為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間族{(Xt,τt)}t∈T的乘積空間,φ∶LX→L稱為τ∶LX→L的基.易證,對(duì)任意的t∈T,pt∶X→Xt為從(X,τ)到(Xt,τt)的連續(xù)映射.定義5設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,A∈LX,定義A的閉包(記作ˉA為ˉA=∧{Κ∈LX|A≤Κ,τ(Κ)＞0}.2條件等價(jià)x的定義,二者都有一個(gè)條件1)如果對(duì)任意的x∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),λ<μ,存在P∈τ(xμ),使得xλ≤P,則稱(X,τ)為T-1空間.2)如果對(duì)任意的x,y∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),xλ≠yμ,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,或存在Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q,則稱(X,τ)為T0空間.3)如果對(duì)任意x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),存在P∈τ(xλ),使得yλ≤P,或存在Q∈τ(yλ),使得xλ≤Q,則稱(X,τ)為次T0空間.由定義6可以直接得到T0空間是T-1空間,也是次T0空間.文中將給出T-1,T0與次T0空間的若干個(gè)等價(jià)刻畫.定理1設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,則(X,τ)是T-1空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的xλ∈Copr(LX),xλ是Copr(x-λ)中的極大元.證明必要性.設(shè)xλ∈Copr(LX),但xλ不是Copr(x-λ)中的極大元.則存在xμ∈Copr(LX),使得xλ<xμ≤x-λ.則對(duì)任意的P∈τ(xμ),xλ≤P不成立.否則,假設(shè)xλ≤P,由P∈τ(xμ),從而τ(P)>0知,x-λ≤P,從而xμ≤P,矛盾.可見(X,τ)不是T-1空間.充分性.設(shè)(X,τ)不是T-1空間,則存在x∈X,以及λ,μ∈Copr(L),λ<μ,使得對(duì)任意的P∈τ(xμ),xλ≤/P.特別地,由x-λ的定義知,τ(x-λ)>0,又xλ≤x-λ,因此xμ≤x-λ,與xλ是Copr(x-λ)中的極大元矛盾.定理2設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,則下列條件等價(jià)①(X,τ)是次T0空間;②對(duì)任意的xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,有τ(xλ)≠τ(yμ);③對(duì)任意的xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,有xλ≤/y-μ或yμ≤/x-λ.證明①?②.設(shè)(X,τ)是T0空間,xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,則由T0空間的定義知,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,或存在Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q.不妨假設(shè)前者成立,則由yμ≤P知,P?τ(yμ).故τ(xλ)≠τ(yμ).②?③.設(shè)xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,則τ(xλ)≠τ(yμ).因此存在P∈τ(xλ)-τ(yμ),或存在Q∈τ(yμ)-τ(xλ).不妨假設(shè)前者成立,則有xλ≤/P,yμ≤P,τ(P)>0,因此y-μ≤P,從而xλ≤/y-μ.③?①.假設(shè)(X,τ)不是次T0空間,則存在xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,但對(duì)任意的P∈τ(xλ),有yμ≤/P,即P∈τ(yμ);且對(duì)任意的Q∈τ(yμ),有xλ≤/Q,即Q∈τ(xλ),因此τ(xλ)=τ(yμ).所以xλ≤y-μ,且yμ≤x-λ.否則,假設(shè)xλ≤/y-μ,則y-μ∈τ(xλ)=τ(yμ),即有yμ≤/y-μ,矛盾.類似于定理2,可以證明如下結(jié)論.定理3設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,則下列條件等價(jià)1)(X,τ)是T0空間;2)對(duì)任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),有τ(xλ)≠τ(yλ);3)對(duì)任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),有xλ≤/y-λ或yλ≤/x-λ.文中將討論L-fuzzy閉包空間中T-1,T0與次T0分離性的遺傳性.定理4T-1,T0與次T0分離性都是遺傳的.即,如果(X,τ)是T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間),Y?X,則其子空間(Y,τY)也是T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間).證明我們僅證明T-1分離性的遺傳性,類似的方法可以證明T0與次T0分離性的遺傳性。設(shè)(X,τ)是T-1空間,x∈Y,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.這時(shí),x*λ,x*μ∈Copr(LX),這里x*λ,x*μ分別表示xλ,xμ在X上的擴(kuò)張,xλ,xμ∈Copr(LY).由(X,τ)是T-1空間,存在P∈τ(x*μ),使得x*λ≤P.由P∈τ(x*μ)知,τ(P)>0,且x*μ≤/P.因此τY(P|Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=P|Y}≥τ(P)>0.由x∈Y知,xμ≤/P|Y.所以P|Y∈τY(xμ),且xμ≤P|Y.從而(Y,τY)也是T-1空間.定理5設(shè)(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,且(X,τ1)是T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間),則(Y,τ2)也是T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間)。證明(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,(X,τ1)是T-1空間.則存在一一映射f∶X→Y為從(X,τ1)到(X,τ2)的連續(xù)閉映射.設(shè)y∈Y,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.令x=f-1(y),則xλ,xμ∈Copr(LX).由(X,τ1)是T-1空間知,存在P∈τ1(xμ),使得xλ≤P,即存在P∈LX,使得τ1(P)>0,xμ≤/P,xλ≤/P.由f∶X→Y為閉映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由xμ≤/P知,f→L(P)(y)=P(x)≥/μ,故yμ≤/f→L(P).由xλ≤P知,f→L(P)(y)=P(x)≥λ,故yλ≤f→L(P).所以f→L(P)∈τ2(yμ),且yλ≤f→L(P),因此(Y,τ2)也是T-1空間.設(shè)(X,τ1)是T0空間或次T0空間,則用類似的方法可證(Y,τ2)也是T0空間或次T0空間.下面討論T-1空間,T0空間與次T0空間的可乘性.定理6設(shè){(Xt,τt)}t∈T為一族L-fuzzy閉包空間,T≠?,(X,τ)為它們的乘積空間.若對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間),則(X,τ)也是T-1空間(resp.,T0空間,次T0空間).證明僅證明T-1分離性的可乘性,類似的方法可以證明T0與次T0分離性的可乘性.設(shè)對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T-1空間,x={xt}t∈T∈X,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.任取r∈T,由(Xr,τr)