廣義相對(duì)論中的點(diǎn)和線

廣義相對(duì)論中的點(diǎn)和線

幾千年來，許多偉大的思想家一直在研究這個(gè)問題，但相關(guān)研究?jī)H限于對(duì)哲學(xué)的分析和推測(cè)。從20世紀(jì)60年代開始，物理開始參與這個(gè)問題的研究。這意味著彭若斯和霍山提出的實(shí)驗(yàn)理論超越了宇宙的開始和結(jié)束。范疇的擴(kuò)展可以簡(jiǎn)要地說，只要廣義上是正確的，果實(shí)好，材料有其自身的物理過程，至少有一個(gè)物理過程。這種數(shù)學(xué)聯(lián)系在物理和哲學(xué)中起著重要作用。本文將對(duì)奇點(diǎn)困難和奇點(diǎn)定理作簡(jiǎn)要的介紹,并對(duì)這一重要定理提出質(zhì)疑,然后討論其可能引發(fā)的重大科學(xué)進(jìn)展與哲學(xué)進(jìn)展.1內(nèi)饋奇性點(diǎn)的存在和發(fā)展廣義相對(duì)論誕生不久,人們就發(fā)現(xiàn)愛因斯坦方程的解(即滿足廣義相對(duì)論的時(shí)空)普遍存在奇異性(奇點(diǎn)或奇環(huán)等).奇異性有2類.一類是內(nèi)秉奇異性,表現(xiàn)為時(shí)空曲率發(fā)散,而且這種發(fā)散與坐標(biāo)系的選擇無關(guān).例如,球?qū)ΨQ黑洞的“中心”奇點(diǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞內(nèi)部的奇環(huán),大爆炸宇宙的初始奇點(diǎn),大塌縮宇宙的大擠壓終結(jié)奇點(diǎn)等,都屬于這類奇異性.另一類是坐標(biāo)奇異性,它是由于坐標(biāo)系選擇不當(dāng)而引起的,可以用坐標(biāo)變換消除.只存在坐標(biāo)奇異性的地方,時(shí)空曲率正常,并不出現(xiàn)發(fā)散.應(yīng)該說明,坐標(biāo)奇異性往往也有它的物理意義和幾何意義.例如,各種黑洞的表面都存在坐標(biāo)奇異性,黑洞的許多重要性質(zhì)都與這種奇異性的存在有關(guān).不過,本文的目的不是討論黑洞,對(duì)坐標(biāo)奇異性不感興趣.下面,我們探討的都是內(nèi)秉奇異性.為了討論方便,我們把出現(xiàn)內(nèi)秉奇異性的地方(奇點(diǎn)、奇環(huán)等)統(tǒng)稱為奇點(diǎn).奇點(diǎn)是物理理論無法了解的地方,它隨時(shí)可能產(chǎn)生無法預(yù)測(cè)的信息.環(huán)形奇點(diǎn)的附近還會(huì)出現(xiàn)“閉合類時(shí)線”,沿這類曲線生活運(yùn)動(dòng)的人,會(huì)回到自己的過去.這簡(jiǎn)直不可思議.更為嚴(yán)重的是,彭若斯和霍金證明了“奇點(diǎn)定理”.這個(gè)定理可粗略表述為:只要愛因斯坦的廣義相對(duì)論正確,并且因果性成立,那么任何有物質(zhì)的時(shí)空,都至少存在一個(gè)奇點(diǎn).值得注意的是,彭若斯和霍金在提出并證明“奇點(diǎn)定理”的過程中,對(duì)“奇點(diǎn)”概念進(jìn)行了重新認(rèn)識(shí),提出了極其重要的新思想:奇點(diǎn)應(yīng)該看作時(shí)間的開始或終結(jié)!這就是說,他們的奇點(diǎn)定理證明了時(shí)間一定有開始和終結(jié).有奇點(diǎn)的時(shí)空,稱為奇異時(shí)空.然而,如果有人把奇點(diǎn)從時(shí)空中挖掉,剩下的時(shí)空還能叫做奇異時(shí)空嗎?彭若斯和霍金認(rèn)為即使把奇點(diǎn)挖掉,時(shí)空的根本性質(zhì)也不會(huì)有變化,仍然是奇異時(shí)空.然而,挖掉奇點(diǎn)之后,時(shí)空中就不存在曲率為無窮大的點(diǎn)了,因此,僅僅用“曲率無窮大”來定義奇點(diǎn)是有缺陷的.他們注意到,雖然人們可以把奇點(diǎn)從時(shí)空中挖掉,但挖掉之后總會(huì)留下空洞,那么時(shí)空中任何一條經(jīng)過空洞的曲線都會(huì)在那里斷掉.于是,彭若斯和霍金建議,干脆把奇點(diǎn)從時(shí)空中“去掉”,認(rèn)為它們不屬于時(shí)空.粗略地說,干脆把它們看作時(shí)空中的“空洞”.但是任何一個(gè)正常點(diǎn)也都可以從時(shí)空中挖掉,形成空洞,時(shí)空中的曲線到達(dá)這樣的空洞當(dāng)然也會(huì)斷掉.不過,這種空洞可以補(bǔ)上,而奇點(diǎn)處的空洞則由于曲率發(fā)散而補(bǔ)不上.于是,彭若斯和霍金這樣去證明他們的“奇點(diǎn)定理”:證明時(shí)空中至少存在一條具有如下性質(zhì)的類光(光速)或類時(shí)(亞光速)曲線,它在有限的長(zhǎng)度內(nèi)會(huì)斷掉,而且斷掉的地方不能用任何手段修補(bǔ),以使這條曲線可以延伸過去.2奇偶經(jīng)總結(jié)下面,我們先介紹一些基本概念,然后介紹證明奇點(diǎn)定理的思路.2.1類時(shí)測(cè)地線的仿射參量.類光測(cè)地線的仿射長(zhǎng)度.由于一般的世界線不易找到合適的參量來表征“長(zhǎng)度”,彭若斯和霍金在研究奇點(diǎn)時(shí)把注意力集中到測(cè)地線上.測(cè)地線有一種很好的參量可以反映長(zhǎng)度,那就是仿射參量.類時(shí)測(cè)地線的仿射參量可以看作固有時(shí)間.類光測(cè)地線的仿射參量雖然不能看作固有時(shí)間,但仍能很好地描述仿射長(zhǎng)度.如果有一根非類空測(cè)地線(即類時(shí)或類光的測(cè)地線),在未來或過去方向上,在有限的仿射長(zhǎng)度內(nèi)斷掉,不能再繼續(xù)延伸,那么,這根測(cè)地線就被認(rèn)為碰到了時(shí)空的“洞”.如果這個(gè)“洞”補(bǔ)不上(例如,曲率發(fā)散處的“洞”就補(bǔ)不上),那么它就是奇點(diǎn).嚴(yán)格說來,“洞”不一定是一個(gè)點(diǎn),可能是一個(gè)區(qū)域,而且此區(qū)域不屬于時(shí)空.2.2閉合類時(shí)線閉類分別滿足下述條件的時(shí)空,具有不同的因果結(jié)構(gòu).它們滿足的因果性一個(gè)比一個(gè)好.編時(shí)條件:不存在閉合類時(shí)線.因果條件:不存在閉合因果線.即,不僅沒有閉合類時(shí)線,也沒有閉合類光線.強(qiáng)因果條件:不存在無限逼近閉合的因果線.穩(wěn)定因果條件:在微擾下,也不出現(xiàn)閉合因果線.整體雙曲:時(shí)空存在柯西面.所謂柯西面是這樣一張超曲面,時(shí)空中的任何一條因果線都必須與它相交,而且只交1次.2.3能量條件弱能量條件:固有能量密度ρ一定非負(fù).強(qiáng)能量條件:壓強(qiáng)(應(yīng)力)不能太負(fù).主能量條件:能流不能超光速,且弱能量條件必須成立.2.4類地線、共越界點(diǎn)的情況.測(cè)地線匯,按照定義,是指過每一時(shí)空點(diǎn)有1根且只有1根測(cè)地線的情況.測(cè)地線匯中如果無限鄰近的測(cè)地線有2個(gè)交點(diǎn),則稱此二交點(diǎn)為共軛點(diǎn).可以證明,不論是類時(shí)線還是類光線,仿射長(zhǎng)度取最大值的一定是無共軛點(diǎn)的測(cè)地線.2.5測(cè)地線存在共越界點(diǎn)可以證明:在強(qiáng)因果時(shí)空中,不一定有最長(zhǎng)線,如果有,則一定是無共軛點(diǎn)的測(cè)地線.在整體雙曲時(shí)空中,一定有最長(zhǎng)線,它一定是無共軛點(diǎn)的測(cè)地線.另一方面,又可以證明:如果廣義相對(duì)論正確,強(qiáng)能量條件成立,并且時(shí)空中至少有一個(gè)存在物質(zhì)的時(shí)空點(diǎn),則測(cè)地線在有限的仿射長(zhǎng)度內(nèi)必存在共軛點(diǎn).總之,因果性要求有最長(zhǎng)線,即要求存在無共軛點(diǎn)的測(cè)地線.能量條件、廣義相對(duì)論和物質(zhì)的存在則要求測(cè)地線上一定有共軛點(diǎn),而且是在有限的仿射長(zhǎng)度內(nèi)就出現(xiàn)共軛點(diǎn).如果時(shí)空同時(shí)滿足上述條件,那就會(huì)導(dǎo)致矛盾的結(jié)論:測(cè)地線上既要有共軛點(diǎn),又要無共軛點(diǎn).解決此矛盾的惟一出路是,測(cè)地線不能無限延伸,在出現(xiàn)共軛點(diǎn)之前,在有限的仿射長(zhǎng)度內(nèi)(即有限的時(shí)間內(nèi))就斷掉.也就是說,此測(cè)地線一定會(huì)遇到奇點(diǎn),時(shí)空一定存在奇異性.這樣,就證明了奇點(diǎn)定理.通常確認(rèn)時(shí)空奇點(diǎn)有2個(gè)步驟:一是證明有非類空測(cè)地線在有限仿射長(zhǎng)度內(nèi)斷掉;二是證明時(shí)空曲率構(gòu)成的標(biāo)量在該處發(fā)散.3類光測(cè)地線上的加速度a熱效應(yīng)從上面的介紹中可以看出2點(diǎn):1)奇點(diǎn)定理是用類時(shí)或類光測(cè)地線證明的;2)證明的關(guān)鍵是共軛點(diǎn)問題.眾所周知,沿類時(shí)測(cè)地線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者是慣性觀測(cè)者,其固有加速度為零.Rindler曾經(jīng)指出,平直時(shí)空中某種特殊的類光線,可以看作固有加速度為無窮大的類時(shí)線.文獻(xiàn)把這一結(jié)論推廣到彎曲時(shí)空中可以無限延伸的類光測(cè)地線.下面我們將指出,這一結(jié)論對(duì)于存在共軛點(diǎn)的類光測(cè)地線也適用.這就是說,在奇點(diǎn)定理的證明中所使用的類光測(cè)地線(這種類光線會(huì)碰到奇點(diǎn),不能無限延伸),也可看作固有加速度為無窮大的類時(shí)線.霍金等人曾證明一條定理:設(shè)p,q是光滑因果線μ上的2點(diǎn),不存在連接p,q2點(diǎn)的光滑單參因果曲線族γu(γ0=μ;當(dāng)u>0時(shí),γu類時(shí))的充要條件是:γ0是一條類光測(cè)地線,且在p,q之間不存在與p共軛的點(diǎn).從這條定理可知,當(dāng)γ0上存在共軛于p的點(diǎn)r時(shí),一定可以從γ0微擾出因果曲線族γu,除γ0為類光測(cè)地線外,γu(u>0)都是類時(shí)線.設(shè)vau≡(??λ)au,va0≡(??λ)a0,(1)為此因果線匯的切矢場(chǎng)Ζa≡(??u)a|u=0(2)為γu偏離γ0的偏離矢量,式中λ為群參量,在γ0上它同時(shí)是仿射參量.設(shè)τ為類時(shí)線上的固有時(shí),容易得出類時(shí)線上的固有加速度Aa=(??τ)b?b(??τ)a=1α2?Aa-12α4vauvbu?bα2,(3)其中?Aa≡vbu?bvau=(??λ)bu?b(??λ)au,(4)α2≡(dτdλ)2=-gab(??λ)au(??λ)bu,(5)gab(??τ)au(??τ)bu=-1,(6)(??λ)b0?b(??λ)a0=0.(7)把α2按u的冪展開:-α2=-α20+β1u+12β2u2+o(u3),(8)不難證明α20=0,β1=0,β2(λ)<0.(9)利用LνZa=0可得gabAauAbu=u2(?C1?C1+?C2?C2)+o(u3),(10)gab?Aau?Abu=14β22AaAau4+18β2(dβ2dλ)2u2+o(u3),(11)式中?C1?C1+?C2?C2>0,(12)C?a=v0d?d(v0c?cΖa)+gabRdcbev0cv0eΖd.(13)不難看出,除非在u趨于零時(shí),A2=AaAa趨于無窮大,式(10)與(11)將相互矛盾.所以u(píng)→0時(shí),四加速A→+∞.這樣,我們就證明了γ0的四加速A發(fā)散.這就是說,有共軛點(diǎn)的類光測(cè)地線,可以看作固有加速度為無窮大的世界線.這是一個(gè)極具啟發(fā)性的結(jié)果.在霍金熱效應(yīng)發(fā)現(xiàn)的前夕,安魯(W.G.Unruh)發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)重要效應(yīng):在真空中(絕對(duì)零度)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者會(huì)發(fā)現(xiàn)自己處在熱輻射之中,輻射溫度與他的固有加速度成正比.安魯效應(yīng)與霍金熱效應(yīng)有相同的根源,都是由于不同觀測(cè)者(或坐標(biāo)系)定義的真空不等價(jià)而引起的.安魯效應(yīng)很容易被推廣到作變加速運(yùn)動(dòng)的情況,這時(shí)溫度仍與加速度成正比,一起隨時(shí)間變化.按照安魯效應(yīng)可以預(yù)期,沿類時(shí)測(cè)地線(加速度為零)運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者處于絕對(duì)零度.類光測(cè)地線既然可以看作加速度為無窮大的類時(shí)線,它應(yīng)該對(duì)應(yīng)溫度發(fā)散的情況.上述情況提示我們,奇點(diǎn)定理的證明是在溫度異常的情況(絕對(duì)零度或無窮大)下完成的.熱力學(xué)第三定律指出不能通過有限次操作把系統(tǒng)的溫度降低到絕對(duì)零度.實(shí)際上,溫度定義在一個(gè)開區(qū)間上,它的上限(無窮大;或負(fù)溫度系統(tǒng)的-0K)與下限(絕對(duì)零度)均不能通過有限次操作達(dá)到.可以把第三定律推廣到包括上限的情況.因此,我們認(rèn)為,奇點(diǎn)定理是在違背熱力學(xué)第三定律的情況下證明的.我們推測(cè),奇點(diǎn)的出現(xiàn)(即時(shí)空奇異性的出現(xiàn))很可能是違背第三定律的結(jié)果.也就是說,熱力學(xué)第三定律不容許時(shí)間有開始和終結(jié).4對(duì)鐘與反應(yīng)時(shí)間的關(guān)系眾所周知,熱力學(xué)第二定律表示時(shí)間有方向.現(xiàn)在我們看到,第三定律表示時(shí)間是無限的,無始無終的.其實(shí),分析力學(xué)早就告訴我們,熱力學(xué)第一定律(能量守恒定律)對(duì)應(yīng)時(shí)間的均勻性.那么,第零定律是否與時(shí)間有關(guān)呢?我們?cè)谝幌盗醒芯恐兄赋?熱平衡的傳遞性等價(jià)于鐘速同步的傳遞性.我們首先給出了一個(gè)新的對(duì)鐘等級(jí),比朗道的對(duì)鐘條件要弱.朗道指出,同時(shí)傳遞性(把鐘的時(shí)刻對(duì)好)的條件是時(shí)軸正交.我們不要求把鐘的時(shí)刻對(duì)好,只要求把鐘的速度對(duì)好.我們給出了這一新的對(duì)鐘等級(jí)成立的條件,并指出,正是這一條件等價(jià)于熱力學(xué)