具有定金平均曲率的三維旋轉(zhuǎn)曲面分類

具有定金平均曲率的三維旋轉(zhuǎn)曲面分類

最小空間是一個(gè)帶有負(fù)指標(biāo)的洛倫空間。這是一個(gè)空間，這是一個(gè)為研究enist嫌疑人提供有效數(shù)學(xué)工具的空間。事實(shí)證明，研究最小空間對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展非常重要。數(shù)學(xué)工作者還在研究最小空間。為了表示三維eoclidean空間中的常數(shù)平均曲線的曲線，以及在三維eoclidean空間中指定的平均曲線的旋轉(zhuǎn)曲線但是，在最小空間中，沒有規(guī)定平均曲線的旋轉(zhuǎn)曲線本文在minkowki空間中討論了指定平均曲線的旋轉(zhuǎn)曲線。1曲線及旋轉(zhuǎn)矩陣定義1設(shè)S是E31中的曲面,則曲面S有如下定義:若曲面S的任意點(diǎn)的切平面為類空的,則曲面S稱為類空的;若曲面S的任意點(diǎn)的切平面為類時(shí)的,則曲面S稱為類時(shí)的;若曲面S的任意點(diǎn)的切平面為類光的,則曲面S稱為類光的·定義2設(shè)S:r(u,v):M→E31是類空或類時(shí)曲面,則dr2=ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2,稱為曲面S的第一基本形式;系數(shù)E=〈ru,ru〉,F=〈ru,rv〉,G=〈rv,rv〉,稱為曲面S的第一基本量·曲面S的法向量n=ru×rv|ru×rv|·〈n,d2r〉=Ldu2+2Mdudv+Ndv2,稱為曲面S的第二基本形式;系數(shù)L=〈ruu,n〉,F=〈ruv,n〉,G=〈rvv,n〉,稱為曲面S的第二基本量·Guass曲率和平均曲率分別為Κ=LΝ-Μ2EG-F2,Η=LG-2FΜ+ΝE2(EG-F2)[JX*4]?[JX-*4]定義3設(shè)C:r(s):I→E31是以s為弧長參數(shù)的光滑曲線,其表達(dá)式為r(s)=(x(s),y(s)),即曲線C位于平面z=0上·則曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面S稱為旋轉(zhuǎn)曲面,曲線C稱為曲面S的輪廓曲線(或生成曲線)·定義4在Minkowski空間中有3類旋轉(zhuǎn)軸:類空軸、類時(shí)軸、類光軸,則對(duì)應(yīng)著3種類型的旋轉(zhuǎn)矩陣·不失一般性,本文僅考慮如下3種旋轉(zhuǎn)矩陣:繞類空軸旋轉(zhuǎn)時(shí),旋轉(zhuǎn)矩陣為Gs1=(1000chθshθ0shθchθ);繞類時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí),旋轉(zhuǎn)矩陣為Gt1=(cosθ-sinθ0sinθcosθ0001);繞類光軸旋轉(zhuǎn)時(shí),旋轉(zhuǎn)矩陣為Gl1=(100t10-t22-t1)[JX*4]?[JX-*4]2繞類空軸旋轉(zhuǎn)自適應(yīng)法在旋轉(zhuǎn)矩陣的作用下由輪廓曲線C生成的曲面設(shè)為S,則當(dāng)給定曲面S的平均曲率H=H(s)時(shí),輪廓曲線C可由該平均曲率函數(shù)H(s)唯一確定·設(shè)r(s):R→E2是以s為弧長參數(shù)的光滑曲線,其表達(dá)式為C:r(s)=(x(s),y(s))·則以C為輪廓曲線的旋轉(zhuǎn)曲面可寫成如下形式:Ss={(x(s),y(s)chθ,y(s)shθ)∈Μ3|s∈R,0≤θ≤2π},St={(x(s)cosθ,x(s)sinθ,y(s))∈Μ3|s∈R,0≤θ≤2π},Sl={(x(s),tx(s)+y(s),-t22x(s)-ty(s))∈Μ3|s,t∈R}[JX*4]?[JX-*4]設(shè)H=H(s)是R上任意給定的連續(xù)函數(shù),為方便記η(s)=2∫s0H(u)du,u∈R,F(s)=∫s0sin(η(t))dt,G(s)=∫s0cos(η(t))dt·定理1當(dāng)給定平均曲率H的旋轉(zhuǎn)曲面具有形式Ss時(shí),其輪廓曲線為x(s,c)=∫s0(F(t)-c1)G′(t)-(G(t)+c2)F′(t)√(F(t)-c1)2+(G(t)+c2)2dt,y(s,c)=√(F(s)-c1)2+(G(s)+c2)2[JX*4]?[JX-*4]證明繞類空軸旋轉(zhuǎn)時(shí),度量取為ds2=(dx1)2+(dx2)2-(dx3)2,曲面Ss的第一基本量為E=x′2(s)+y′2(s),F=0,G=-y2(s);法向量為n=(y(s)y′(s),-x′(s)y(s)chθ,-x′(s)y(s)shθ)y2(s)(x′2(s)+y′2(s));第二基本量為L=x″(s)y(s)y′(s)-x′(s)y(s)y″(s)y2(s)(x′2(s)+y′2(s)),Μ=0,Ν=-x′(s)y2(s)y2(s)(x′2(s)+y′2(s));平均曲率為Η=(-x″(s)y′(s)+x′(s)y″(s))y3(s)-(x′2(s)+y′2(s))y2(s)2(y2(s)(x′2(s)+y′2(s)))3[JX*4]?[JX-*4]由于參數(shù)s為C的弧長參數(shù),有x′2(s)+y′2(s)=1,(1)則可得方程組:{2Η(s)y(s)+(x″(s)y′(s)-x′(s)y″(s))y(s)+x′(s)=0,x′2(s)+y′2(s)=1[JX*4]?[JX-*4]令Ζ(s)=y(s)y′(s)-ix′(s)y(s)[JX*4]?[JX-*4](2)方程(1)表示為Ζ′(s)-2iΗ(s)Ζ(s)-1=0[JX*4]?[JX-*4](3)再令η(s)=2∫s0H(t)dt,F(s)=∫s0sin(η(t))dt,G(s)=∫s0cos(η(t))dt·解方程(2)得Ζ(s)={(F(s)-c1)+i(G(s)+c2)}×(F′(s)-iG′(s))[JX*4]?[JX-*4](4)又由方程(2)可知:|Ζ(s)|2=y2(s),(5)解方程(5),定理1即得證·定理2當(dāng)給定平均曲率H的旋轉(zhuǎn)曲面具有St形式時(shí),輪廓曲線為x2(s,c)=e-∫0sdtΖ(t)[∫0se-∫0τdtΖ(t)Ζ(τ)dτ+c],y(s,c)=∫0s(e-∫0ρdtΖ(t)[1Ζ(ρ)(∫0ρe-∫0τdtΖ(t)Ζ(τ)dτ+c)+e-∫0ρdtΖ(t)Ζ(s)]24(∫0ρe-∫0τdtΖ(t)Ζ(τ)dτ+c)-1)dρ[JX*4]?[JX-*4]其中Ζ(s)=(-F(s)-G(s)+c)×(G′(s)+F′(s))[JX*4]?[JX-*4]證明繞類時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí),度量取為ds2=(dx1)2+(dx2)2-(dx3)2,曲面St的第一基本量為E=x′2(s)-y′2(s),F=0,G=x2(s);第二基本量為L=-x″(s)x(s)y′(s)+x′(s)x(s)y″(s)|x2(s)(y′2(s)-x′2(s))|,Μ=0[JX*4]?[JX-*4]Ν=x2(s)y′(s)|x2(s)(y′2(s)-x′2(s))|;平均曲率為Η=(x′2(s)-y′2(s))x2(s)y′(s)+(-x″(s)y′(s)+x′(s)y″(s))x3(s)2(|x2(s)(y′2(s)-x′2(s))|)3,則可得方程組2Η(s)x(s)+(x″(s)y′(s)-x′(s)y″(s))x(s)-y′(s)=0,x′2(s)-y′2(s)=1[JX*4]?[JX-*4]}(6)令Ζ(s)=-x′(s)x(s)+x(s)y′(s),(7)則方程(6)可寫成Ζ′(s)+2Η(s)Ζ(s)+1=0[JX*4]?[JX-*4](8)解方程(8)得Ζ(s)=(-F(s)-G(s)+c)×(G′(s)+F′(s))[JX*4]?[JX-*4](9)由式(7)和式(8)可得x2(s)+2Ζ(s)x(s)x′(s)+Ζ2(s)=0,(10)解方程(10),定理2即得證·定理3當(dāng)給定平均曲率H的旋轉(zhuǎn)曲面具有形式Sl時(shí),輪廓曲線為y(s,c)=s+c,x(s)滿足方程2Η(s)|x′2(s)y2(s)-2x(s)x′(s)y(s)|3-2x′3(s)y2(s)+x″(s)x2(s)y(s)+4x(s)×x′2(s)y(s)-x2(s)x′(s)=0[JX*4]?[JX-*4]證明繞類光軸旋轉(zhuǎn)時(shí),度量取為ds2=2dx1dx3+dx22,曲面Sl的第一基本量為E=y′2(s),G=x2(s),F=-x′(s)y(s)+x(s)y′(s);第二基本量為L=x′(s)y(s)y″(s)-x″(s)y(s)y′(s)x′2(s)y2(s)-2x′(s)x(s)y′(s)y(s),Μ=x′2(s)y(s)-x′(s)x(s)y′(s)x′2(s)y2(s)-2x′(s)x(s)y′(s)y(s),Ν=-x2(s)x′(s)x′2(s)y2(s)-2x′(s)x(s)y′(s)y(s);平均曲率為Η=(x′(s)y″(s)-x″(s)y′(s))x2(s)y(s)+x2(s)x′(s)y′2(s)+2x′2(s)y(s)(x′(s)y(s)-2x(s)y′(s))2(x′2(s)y2(s)-2x′(s)x(s)y′(s)y(s))3[JX*4]?[JX-*4]類似定理1的證明,可得方程組2Η(s)|x′2(s)y2(s)-2x(s)x′(s)y(s)|3-x2(s)x′(s)+x″(s)x2(s)y(s)-2x′3(s)y(s)+4x(s)x′2(s)y(s)=0,y′(s