具有常高斯曲率k=1的類時(shí)曲面

具有常高斯曲率k=1的類時(shí)曲面

經(jīng)典的后門理論主要研究三維空間r3中通常負(fù)高斯坦率曲線之間的變換。更準(zhǔn)確地說，后位變可以看作是一個(gè)偽球形的后位變換。隨著孤立子理論的研究和發(fā)展，后門變換是探索孤立子方程的非常重要的方法，并對(duì)后位變的幾何內(nèi)涵的推廣越來越受到重視。在文獻(xiàn)中，作者考慮了高維空間形式下的后向理論的推廣，并推廣了sin-gort方程和波方程。在文獻(xiàn)中，作者將后門變換推廣到三維空間r10和1中的威爾耿頓曲線。此外，作者還討論了r2、1中的性質(zhì)（k1-m）、（k-m）=如果m=0，則有k=如果是l，則僅包括兩種時(shí)間間隔內(nèi)的空線組合。在這項(xiàng)工作中，作者通過類時(shí)線k.1的組合研究了t2、1中的常高斯坦比率k.1的類時(shí)曲線之間的后門轉(zhuǎn)換。設(shè)R2,1是三維Lorentz-Minkowski空間,即在實(shí)向量空間R3上根據(jù)自然坐標(biāo)(x1,x2,x3)賦予度量dx21+dx22-dx23.假設(shè)S是一個(gè)具有常高斯曲率K=1的無臍點(diǎn)類時(shí)曲面,且存在主方向,{r;e1,e2,e3}是曲面S上的局部標(biāo)準(zhǔn)正交Lorentzian標(biāo)架場(chǎng),并且使得e1,e2是主方向上的切向量,e3是法向量(e21=-e22=e23=1),則有運(yùn)動(dòng)方程dr=ω1e1+ω2e2,ω3=0;dei=∑3i=1ωijej(i=1,2,3),其中ω12=ω21,ω13=-ω31,ω23=ω32.考慮方程d2r=0和d2ej=0(j=1,2,3),我們得到dωi=ωj∧ωji(i=1,2,3),高斯方程dω12=ω13∧ω32和Codazzi方程dωi3=ωij∧ωj3(i=1,2).把ei的符號(hào)記為εi,即e2i=εi,曲面S的高斯曲率K可定義為dω12=-ε1Kω1∧ω2=ω13∧ω32.假設(shè)S的第一和第二基本形式分別為I=a2du2-b2dv2,II=k1a2du2-k2b2dv2,其中k1,k2為曲面S的主曲率,則我們有ω1=adu,ω2=bdv;ω13=-ω31=k1adu,ω23=ω32=-k2bdv;ω12=ω21=avbdu+buadv和Codazzi方程(k1-k2)av+k1va=0,(k1-k2)bu-k2ub=0.由于k1k2=1,且令k=k1,Codazzi方程可改寫為(k-1k)av+kva=0,(k-1k)bu-(1k)ub=0,則由Codazzi方程,可以在S上局部地引入適當(dāng)?shù)膮?shù)仍記為(u,v),使得a=coshα2,b=sinhα2,因此ω1=coshα2du,ω2=sinhα2dv;ω13=-ω31=sinhα2du,ω23=ω32=-coshα2dv;ω12=ω21=12(αvdu+αudv),高斯方程dω12=-Kω1∧ω2=ω13∧ω32為αuu-αvv=-sinhα,Codazzi方程為恒等式.命題1設(shè)曲面S為R2,1中高斯曲率K=1的無臍點(diǎn)類時(shí)曲面且存在主方向,則可在S上選取Tchebyshev坐標(biāo)(u,v)使得S的第一和第二基本形式分別為Ι=cosh2α2du2-sinh2α2dv2,(1)ΙΙ=coshα2sinhα2(du2-dv2),(2)其中α(u,v)滿足方程αuu-αvv=-sinhα.(3)定理2若α(u,v)滿足方程(3),τ(≠0)是任意常數(shù),則下列關(guān)于α*(u,v)的方程完全可積:12sinτ(αu*+αv)=-coshα*2coshα2-cosτsinhα*2sinhα2,(4)12sinτ(αv*+αu)=sinhα*2sinhα2+cosτcoshα*2coshα2,(5)并且α*(u,v)滿足方程α*uu-α*vv=sinhα*,(6)即方程(4),(5)給出了方程(3)和(6)之間的一個(gè)Backlund變換.證明由方程(4),(5)有12sinτ(αuv*+αvv)=-12αv*(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12αv(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2),12sinτ(αvu*+αuu)=12αu*(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12αu(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2),則12sinτ(-αuv*+αvu*-αvv+αuu)=12(αu*+αv)(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12(αv*+αu)(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2).(7)將方程(4),(5)代入方程(7),得到12sin2τ(-αuv*+αvu*-αvv+αuu)=-12sin2τsinhα,由于α滿足方程(3),故方程(4),(5)是完全可積的.類似地,根據(jù)方程(4)和(5),有12sinτ(αuu*+αvu)=-12αu*(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12αu(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2),12sinτ(αvv*+αuv)=12αv*(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2)+12αv(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2),則12sinτ(αuu*-αvv*)=-12(αu*+αv)(sinhα*2coshα2+cosτcoshα*2sinhα2)-12(αv*+αu)(coshα*2sinhα2+cosτsinhα*2coshα2).(8)將方程(4),(5)代入方程(8),得到α*uu-α*vv=sinhα*.定理得證.令{e=coshα*2e1+sinhα*2e2,e⊥=sinhα*2e1+coshα*2e2,e3*=sinτe+cosτe3,(9)其中α*是方程(4),(5)的一個(gè)解.設(shè)曲面S*定義為r*=r+sinτe⊥.(10)定理3e*3是曲面S*的法向量.證明由方程(9),我們有dr*=dr+sinτde⊥,de⊥=12(dα*+2ω12)e+(sinhα*2ω13+coshα*2ω23)e3,則dr*?e3*=sinτcoshα2coshα*2du+12sin2τ(dα*+2ω12)+cosτsinτ(sinhα2sinhα*2du-coshα2coshα*2dv)-sinτsinhα2sinhα*2dv.由方程(4),(5),我們得到dr*·e*3=0,e*3·e*3=1,因此定理得證.引理4曲面S*的第一和第二基本形式分別為Ι*=-sinhα*2du2+coshα*2dv2,(11)ΙΙ*=sinhα*2coshα*2(du2-dv2).(12)證明由方程(9),(10),我們得到Ι*=dr*?dr*={cosh2α2+sinτcoshα2coshα*2(αu*+αv)+14sin2τ(αu*+αv)2+sin2τsinh2α*2sinh2α2}du2+{sinτcoshα2coshα*2(αv*+αu)-sinτsinhα2sinhα*2(αu*+αv)+12sin2τ(αu*+αv)(αv*+αu)-2sin2τsinhα*2coshα*2sinhα2coshα2}dudv+{sin2τcosh2α2cosh2α*2+sin2τ(αv*2+αu2)2-2sinτsinhα*2sinhα2(αv*2+αu2)-sinh2α2}dv2,利用方程(4),(5)以及直接計(jì)算,我們得到Ι*=-sinh2α*2du2+cosh2α*2dv2.同理可得ΙΙ*=sinhα*2coshα*2(d