數(shù)值分析簡明教程課后習題答案

-.z.比擬詳細的數(shù)值分析課后習題答案0.1算法1、〔p.11，題1〕用二分法求方程在[1,2]的近似根，要求誤差不超過10-3.【解】由二分法的誤差估計式，得到.兩端取自然對數(shù)得，因此取，即至少需二分9次.求解過程見下表。符號0121.5+1234567892、〔p.11，題2〕證明方程在區(qū)間[0,1]有唯一個實根；使用二分法求這一實根，要求誤差不超過?！窘狻坑捎冢瑒t在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且，，即，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間[0,1]上至少有一個零點.又，即在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)的，故在區(qū)間[0,1]有唯一實根.由二分法的誤差估計式，得到.兩端取自然對數(shù)得，因此取，即至少需二分7次.求解過程見下表。符號0010.512345670.2誤差1．〔p.12，題8〕e=2.71828…，試問其近似值，，*2=2.71，各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限?！窘狻坑行?shù)字： 因為，所以有兩位有效數(shù)字； 因為，所以亦有兩位有效數(shù)字； 因為，所以有四位有效數(shù)字；；；。評〔1〕經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字；〔2〕近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.2．〔p.12，題9〕設(shè)，，均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對誤差(限)與相對誤差(限)?！窘狻?，；，；，；評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位.3．〔p.12，題10〕，，的絕對誤差限均為，問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】 由絕對誤差限均為知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點后兩位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、〔p.54，習題1〕求作在節(jié)點的5次泰勒插值多項式，并計算和估計插值誤差，最后將有效數(shù)值與準確解進展比擬。【解】由，求得；；；；；，所以插值誤差：，假設(shè)，則，而，精度到小數(shù)點后5位，故取，與準確值相比擬，在插值誤差的精度完全吻合！2、〔p.55，題12〕給定節(jié)點，試分別對以下函數(shù)導出拉格朗日余項：〔1〕；〔2〕【解】依題意，，拉格朗日余項公式為〔1〕→；〔2〕因為，所以3、〔p.55，題13〕依據(jù)以下數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計算的近似值并估計誤差。0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依題意，，拉格朗日余項公式為線性插值因為在節(jié)點和之間，先估計誤差；須保存到小數(shù)點后4為，計算過程多余兩位。拋物線插值插值誤差：拋物線插值公式為：經(jīng)四舍五入后得：，與準確值相比擬，在插值誤差圍完全吻合！1.3分段插值與樣條函數(shù)1、〔p.56，習題33〕設(shè)分段多項式是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(*)在*=1節(jié)點函數(shù)值連續(xù)： ，即：一階導數(shù)連續(xù)： ，即： 解方程組〔1〕和〔2〕，得，即 由于，所以S(*)在*=1節(jié)點的二階導數(shù)亦連續(xù)。2、函數(shù)的一組數(shù)據(jù)，和，〔1〕求其分段線性插值函數(shù)；〔2〕計算的近似值，并根據(jù)余項表達式估計誤差?！窘狻俊?〕依題意，將*分為[0,1]和[1,2]兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為，利用拉格朗日線性插值公式，求得；〔2〕，而 ，實際誤差為：。由,可知，則余項表達式1.4曲線擬合1、〔p.57，習題35〕用最小二乘法解以下超定方程組：【解】 構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：， 分別就Q對*和y求偏導數(shù)，并令其為零：： ，： ， 解方程組〔1〕和〔2〕，得2、〔p.57，習題37〕用最小二乘法求形如的多項式，使之與以下數(shù)據(jù)相擬合?！窘狻苛睿瑒t為線性擬合，根據(jù)公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得； 依據(jù)上式中的求和項，列出下表*iyi*i(=*i2)*i2(=*i4)*iyi(=*i2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5 將所求得的系數(shù)代入方程組〔1〕和〔2〕，得；；即：。2.1機械求積和插值求積1、〔p.94，習題3〕確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：；；?！窘狻?〔1〕令時等式準確成立，可列出如下方程組： 解得：，即：，可以驗證，對公式亦成立，而對不成立，故公式〔1〕具有3次代數(shù)精度?！?〕令時等式準確成立，可列出如下方程組：解得：，即：，可以驗證，對公式亦成立，而對不成立，故公式〔2〕具有3次代數(shù)精度。〔3〕令時等式準確成立，可解得：即：，可以驗證，對公式亦成立，而對不成立，故公式〔3〕具有2次代數(shù)精度。2、〔p.95，習題6〕給定求積節(jié)點試構(gòu)造計算積分的插值型求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)：；；插值求積公式：=1\*GB3①當，左邊=；右邊=；左=右；=2\*GB3②當，左邊=；右邊=；左=右；=3\*GB3③當，左邊=；右邊=；左≠右； 故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2梯形公式和Simpson公式1、〔p.95，習題9〕設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，*0.000.250.500.751.00f(*)1.000001.655341.551521.066660.72159分別用復化梯形法與復化辛普生法求積分的近似值。【解】 〔1〕用復化梯形法： 〔2〕用復化辛普生法：2、〔p.95，習題10〕設(shè)用復化梯形法計算積分，為使截斷誤差不超過，問應(yīng)當劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復化辛普生法呢？【解】〔1〕用復化梯形法，，設(shè)需劃分n等分，則其截斷誤差表達式為：；依題意，要求，即，可取。〔2〕用復化辛普生法，，截斷誤差表達式為：；依題意，要求，即，可取，劃分8等分。2.3數(shù)值微分1、〔p.96，習題24〕導出三點公式(51)、(52)和(53)的余項表達式【解】如果只求節(jié)點上的導數(shù)值，利用插值型求導公式得到的余項表達式為由三點公式(51)、(52)和(53)可知，，則2、〔p.96，習題25〕設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，*1.01.11.2f(*)0.25000.22680.2066試用三點公式計算的值，并估計誤差?！窘狻浚萌c公式計算微商：，用余項表達式計算誤差3、〔p.96，習題26〕設(shè)，分別取步長，用中點公式〔52〕計算的值，令中間數(shù)據(jù)保存小數(shù)點后第6位?！窘狻恐行牟钌坦剑海財嗾`差：。可見步長h越小，截斷誤差亦越小。(1),則；(2),則(3),則而準確值，可見當時得到的誤差最小。在時反而誤差增大的原因是與很接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴重損失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。3.1Euler格式1、〔p.124，題1〕列出求解以下初值問題的歐拉格式，，?。?，，?。弧窘狻?〔1〕； 〔2〕。2、〔p.124，題2〕取，用歐拉方法求解初值問題，。【解】歐拉格式：；化簡后，，計算結(jié)果見下表。n0123*n0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46133、〔p.124，題3〕取，用歐拉方法求解初值問題，。并與準確解比擬計算結(jié)果?！窘狻繗W拉格式：；化簡后，，計算結(jié)果見下表。1、〔p.124，題7〕用改良的歐拉方法求解上述題2，并比擬計算結(jié)果。【解】 因為，，且，則改良的歐拉公式：。計算結(jié)果見下表。n0123*n0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413與原結(jié)果比擬見下表n0123*n0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改良)0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫塔方法1、〔p.124，題11〕用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題，，試取步長計算的近似值，要求小數(shù)點后保存4位數(shù)字?！窘狻?四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式：；列表求得如下：n*nyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1迭代法及收斂定理1、〔p.153，題1〕試取，用迭代公式，求方程的根，要求準確到?！窘狻?迭代計算結(jié)果列于下表k*k|*k-*k-1|<0.001k*k|*k-*k-1|<0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因為，所以。2、〔p.153，題2〕證明方程有且僅有一實根。試確定這樣的區(qū)間，使迭代過程對均收斂?！咀C明】設(shè)：，則當時，，且一階導數(shù)連續(xù)，，所以迭代過程對均收斂。〔壓縮映像定理〕，方程有且僅有一實根。<證畢>3、〔p.153，題4〕證明迭代過程對任意初值均收斂于。【證明】設(shè)：，對于任意，因為，所以。一階導數(shù)，根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式對任意初值均收斂。假設(shè)，對迭代式兩邊取極限，則有，則，解得，因不在圍，須舍去。故。<證畢>4.2牛頓迭代法1、〔p.154，題17〕試用牛頓迭代法求以下方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字：〔1〕，〔2〕，【解】 〔1〕設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見以下表。k*k|*k-*k-1|<0.0001k*k|*k-*k-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N 因為，所以。〔2〕設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見以下表。k*k|*k-*k-1|<0.0001k*k|*k-*k-1|<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y 因為，所以。2、〔p.154，題18〕應(yīng)用牛頓法于方程，導出求立方根的迭代公式，并證明該迭代公式具有二階收斂性。【證明】〔1〕設(shè)：，則，對任意，牛頓迭代公式〔2〕由以上迭代公式，有：。設(shè)；；。，可見該迭代公式具有二階收斂性。<證畢>5.1線性方程組迭代公式1、〔p.170，題1〕用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組：，要求結(jié)果有3位有效數(shù)字。【解】 雅可比迭代公式：，迭代計算結(jié)果列于下表。"000--12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y；由上表可見，所求根皆為小數(shù)點后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為。高斯-賽德爾迭代公式：，迭代計算結(jié)果列于下表。"000--12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Y；2、〔p.171，題7〕取，用松弛法求解以下方程組，要求精度為。【解】歐先寫出高斯-賽德爾迭代：引入松弛因子，得將方程組〔1〕代入〔2〕，并化簡計算結(jié)果見下表。"0000----152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：準確解：5.1線性方程組迭代公式1、〔p.170，題2〕試列出求解以下方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式，并考察迭代過程的收斂性?！窘狻俊?〕雅可比迭代公式：(1) ，，迭代收斂?！?〕高斯-賽德爾迭代公式：(2)將方程組〔1〕帶入〔2〕，經(jīng)化簡后，得：(3)，，迭代收斂。2、〔p.171，題5〕分別用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解以下方程組：〔1〕〔2〕【解】〔1〕雅可比迭代：，,不收斂。高斯-賽德爾迭代：或，,不收斂?！?〕雅可比迭代：，,不收斂