2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章直角三角形1.4角平分線的性質(zhì)第2課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的綜合應(yīng)用上課課件新版湘教版

角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的綜合應(yīng)用湘教版·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)①情境導(dǎo)入PS區(qū)公路鐵路一個(gè)S區(qū)有一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，在公路與鐵路所成角的平分線上有一點(diǎn)P，要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路上，一條到鐵路上.（1）怎樣修建路最短？（2）這兩條路修好后，有什么關(guān)系？EF解：（1）如圖；（2）PE=PF；新課引入如圖1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢?解：可以添加條件MN=ME(或MN=MF).∵M(jìn)E⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.同理可得AM是∠CAB的平分線.如圖1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取一點(diǎn)P，作PE⊥DB，

PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.新課引入例2解：∵AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB∴BE+PF>PB.【教材P25】探究新知如圖1-31，你能在△ABC中找到一點(diǎn)P，使其到三邊的距離相等嗎?ABC圖1-31P因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以只要作△ABC任意兩角(例如∠A

與∠B)的平分線，其交點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.探究新知如圖1-31，你能在△ABC中找到一點(diǎn)P，使其到三邊的距離相等嗎?ABC圖1-31MPDFE∵BM是∠ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理，PD=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.由此得到：鞏固練習(xí)1.如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，求證:（1）∠ECD=∠EDC；

（2）

OC=OD.證明：（1）∵OE是∠AOB的平分線，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△ECO和Rt△EDO中，∵EC=ED，OE為公共邊，

∴Rt△ECO≌Rt△EDO(HL).∴OC=OD.[選自教材P25練習(xí)第1題]鞏固練習(xí)2.如圖，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn)C在線段DE上.求證:AB=AD+BE.證明：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.又AC是∠BAD的平分線，CD⊥AD，∴CF=CD.在Rt△CFA和Rt△CDA中，∵CF=CD，

AC為公共邊，∴Rt△CFA≌Rt△CDA(HL).∴AF=AD.同理可得FB=BE.AB=AF+FB=AD+BE.F[選自教材P25練習(xí)第2題]鞏固練習(xí)3.如圖，已知BD平分∠ABC，BA=BC，點(diǎn)P在BD上，作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為點(diǎn)M，N.求證:PM=PN.證明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.又BA=BC，BD為公共邊，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.又PM⊥AD，PN⊥CD，∴

PM=PN.[選自教材P26習(xí)題1.4A組第3題]鞏固練習(xí)4.如圖，求作一點(diǎn)P，使PM=PN，并且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA，OB的距離相等.P解：作法如圖.[選自教材P26習(xí)題1.4B組第4題]鞏固練習(xí)5.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線BF，CF相交于點(diǎn)F，試問(wèn)點(diǎn)F在∠A的平分線上嗎?(提示:過(guò)F點(diǎn)分別向BD，

BC，

CE作垂線)解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，F(xiàn)G⊥B