角形區(qū)域內(nèi)的靜電場(chǎng)問題

角形區(qū)域內(nèi)的靜電場(chǎng)問題

在求解平面場(chǎng)中拉普拉斯方程或泊松方程的邊值問題時(shí)，它們的邊界形狀相對(duì)復(fù)雜，因此很難使用一般的方法進(jìn)行解算。在這項(xiàng)工作中，我們研究了角形區(qū)的靜電場(chǎng)問題。文獻(xiàn)采用鏡像法求解角域問題,這種方法只適用角域張角為一些特殊角的情形,可以證明當(dāng)n=παn=πα為非整數(shù)時(shí)不能用鏡像法求解,這就說明鏡像法求解角域問題有其局限性。本文采用保角變換中的冪函數(shù)變換不僅可以有效的化難為易,將復(fù)雜的邊界變?yōu)楹?jiǎn)單的邊界求解,而且可以把角域夾角推廣到任意角而精確求解。本文先求解張角為特殊角的角域,然后推廣到任意角,并用數(shù)學(xué)軟件Mathematica繪出角域夾角為直角時(shí),內(nèi)置無限長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)線后內(nèi)部的等勢(shì)線簇。本文最后總結(jié)了等勢(shì)線的幾個(gè)特點(diǎn),簡(jiǎn)要分析了角域中存在兩個(gè)線電荷的情況。1qp算法的比較設(shè)由兩個(gè)平面組成的夾角為直角的角域,有一電荷線密度為λ的無限長(zhǎng)直線置于二面角導(dǎo)體角域內(nèi),導(dǎo)體上的電位為零,如圖1所示。通過保角變換,求解該靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布并做出等勢(shì)線簇。上述問題實(shí)際上是平面場(chǎng)問題(如圖2)。建立Z平面坐標(biāo)系,λ位于(x0,y0)處。靜電場(chǎng)的電勢(shì)滿足如下的定解問題:{?2φ=-λε0δ(x-x0)δ(y-y0)limx→0+φ=0limy→0+φ=0(1)????????????2φ=?λε0δ(x?x0)δ(y?y0)limx→0+φ=0limy→0+φ=0(1)若采用分離變量法,求解過程會(huì)較復(fù)雜,但如采用保角變換法,則比較簡(jiǎn)單。對(duì)圖1所示的角域作保角變換W=Z2,即u+iv=(x+iy)2,這樣就可把二面角導(dǎo)體角域變成W平面的上半平面,無限長(zhǎng)線電荷密度λ不變,但其位置變到(u0,v0)處,其中u0=x2020-y2020,v0=2x0y0,容易求得W平面上半平面的電勢(shì)為φ(u,v)=λ4πε0lnW20W*2=λ4πε0ln(u-u0)2+(v-v0)2(u-u0)2+(v+v0)2(2)φ(u,v)=λ4πε0lnW20W*2=λ4πε0ln(u?u0)2+(v?v0)2(u?u0)2+(v+v0)2(2)再返回到Z平面有φ(x,y)=λ4πε0lnR20R*2=λ4πε0ln(x2-y2-x20+y20)2+(2xy-2x0y0)2(x2-y2-x20+y20)2+(2xy+2x0y0)2(3)φ(x,y)=λ4πε0lnR20R*2=λ4πε0ln(x2?y2?x20+y20)2+(2xy?2x0y0)2(x2?y2?x20+y20)2+(2xy+2x0y0)2(3)對(duì)(3)式進(jìn)行整理,得到φ(x,y)=λ4πε0ln[(x-x0)2+(y-y0)2][(x+x0)2+(y+y0)2][(x-x0)2+(y+y0)2][(x+x0)2+(y-y0)2](4)φ(x,y)=λ4πε0ln[(x?x0)2+(y?y0)2][(x+x0)2+(y+y0)2][(x?x0)2+(y+y0)2][(x+x0)2+(y?y0)2](4)(4)式即為直接采用電像法的結(jié)果,說明保角變換法與電像法的結(jié)果一致。2任意接地二面角體內(nèi)置無限長(zhǎng)線電荷的靜電場(chǎng)將圖1所示角域由2π→α2π→α,同樣可通過保角變換求解。為使表達(dá)簡(jiǎn)潔,采用極坐標(biāo)系。令線電荷位于Z平面上的(r0,θ0)處,作保角變換W=ΖπαW=Zπα,即ρei?=(reiθ)παρei?=(reiθ)πα,由于dWdΖ|Ζ=0=παΖπα-1|Ζ=0=0dWdZ∣∣Z=0=παZπα?1∣∣Z=0=0,故除Z=0(W=0)點(diǎn)外作保角變換W=ΖπαW=Zπα。經(jīng)變換后Z平面上的α導(dǎo)體角域變?yōu)閃平面的上半平面,線電荷密度變換后保持不變,位置落到了(ρ0=r0πα??0=παθ0)處。這時(shí)定解問題為{?2φ?ρ2+1ρ?φ?ρ+1ρ2?2φ??2=-λε0δ(ρ-ρ0)δ(?-?0)ρlim?→0φ=0lim?→πφ=0(5)(5)式與(1)式等價(jià),于是將(2)式由直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo),即可求得上半平面的電勢(shì)為φ(ρ??)=λ4πε0lnW20W*2=ρ2+ρ20+2ρρ0cos(?+?0)ρ2+ρ20-2ρρ0cos(?-?0)返回到Z平面得φ(r,θ)=λ4πε0lnR20R*2=λ4πε0lnr2πα+r02πα+2rπαr02παcos(παθ+παθ0)r2πα+r02πα-2rπαr02παcos(παθ-παθ0)(6)3繪制等勢(shì)線方法要畫出(4)式對(duì)應(yīng)的等勢(shì)線簇,可以采用文獻(xiàn)中Mathematica隱函數(shù)繪圖法,也可以采用Mathematica中Plot3D命令先畫出(4)式對(duì)應(yīng)的3D圖形,再用ContourPlot命令繪出等高線的方法,這種方法可以更方便的選取參數(shù)繪出等勢(shì)線。本文畫出了λ分別在(1,1)和(1,3)兩個(gè)位置時(shí)的各13條等勢(shì)線,如圖3、圖4所示。4討論4.1等勢(shì)線是一系列同心圓從圖3、圖4可以概括直角域中的等勢(shì)線有這樣幾個(gè)特點(diǎn):1)在線電荷附近,由于遠(yuǎn)離邊界,感應(yīng)電荷的影響可忽略,因而等勢(shì)線是一系列同心圓;2)當(dāng)?shù)葎?shì)線靠近邊界時(shí),感應(yīng)電荷的影響不能忽略,所以等勢(shì)線的密度要大一些,相反等勢(shì)線在角域開擴(kuò)方向的密度要小一些;3)由(4)式或(6)式可以看出線電荷的大小及正負(fù)不影響等勢(shì)線的分布規(guī)律,只是改變了電勢(shì)在各個(gè)方向上的梯度;4)有理由推斷出,任意夾角的角域中的等勢(shì)線也是符合上述特征的。4.2兩個(gè)線荷存在時(shí)的電勢(shì)根據(jù)電勢(shì)的疊加原理,只要在(4)式后再加上一項(xiàng)疊加電勢(shì)就得到了兩個(gè)線電荷存在時(shí)的電勢(shì)。同樣得到了兩個(gè)線電荷處在(1,2)和(2,1)時(shí),等號(hào)和異號(hào)時(shí)的電勢(shì)及等勢(shì)線圖,見圖5、圖6。5基于解析函數(shù)的變換由以上的論