2021年中考數(shù)學(xué)綜合題沖刺19 因旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的角度問題（拔高）（含答案及解析）

專題19因旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的角度問題(提優(yōu))

1.如圖1,已知PQ〃MN,且

(1)填空：ZBAN=600；

(2)如圖1所示，射線AM繞點(diǎn)A開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4N便立即回轉(zhuǎn)至A用位置，射線BP繞點(diǎn)8開始

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)至BP位置.若AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，

若射線BP先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線BP到達(dá)8。之前，射線4W轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩射線

互相平行？

(3)如圖2,若兩射線分別繞點(diǎn)48順時(shí)針方向同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度同題(2),在射線AM到達(dá)AN之前.若

兩射線交于點(diǎn)C,過C作NAC￡>交PQ于點(diǎn)，且NACC=120°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄縉BAC與

NBCD的數(shù)量關(guān)系亮否發(fā)生變化？若不變，請蓑出其數(shù)量關(guān)系；若改變，：青說明理由.

【分析】(1)根據(jù)48AM+NBAN=180°,/BAM：NBAN=2：1,即網(wǎng)得到N84V的度數(shù)；

(?)設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)f秒，兩射線互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0<f<90時(shí),.根據(jù)2f=H30+f),

可得f=30；當(dāng)90Vf<150時(shí)，根據(jù)l"30+f)+(2r-180)=180,可得f=110；

⑶設(shè)射莪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為/秒，根據(jù)N8AC于2「120°,ZBCD=120°-ZBCD=t-60°,即可得出/

BAC：NBCD=2：1,據(jù)此可得NH4c和NBCC關(guān)系不會變化.

【解答】解：(1)'：ZBAM+ZBAN=\S00；ZBAM：NBAN=2：1,

???N3AN=180。x1=60°；

士?'JrX

(2)設(shè)射線4W轉(zhuǎn)動(dòng)/秒，兩射線互相平行，--

-

①當(dāng)0VV90時(shí)，如圖1,

■:PQ〃MN、「

：?4PBD=ZBDA,'

,:AC〃BD,

???/C4M=N3ZM,

：.ZCAM=ZPBDv

丁.2/=1(30+力，、

解得r=30；人：「人

②當(dāng)90〈1<]50時(shí)，如圖2;

,:PQ〃MN,.

：.^PBD+ZBDA=\^OQ::.

■:AC//BD,:

:./CAN=/BDA.

AZPBD+ZCA7V=180°

.,.l*(30+r)+(2r-180)=180,

解箱J=H。,；_*.*1、■.

綜上所述，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)3?或110秒，西射線互相平行;

???

(3)NBAC和NBc6關(guān)系不會變化.<

理由：設(shè)射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為，秒，

QBDP

?.：NCAN=18(?-2/,

AZBAC=60°-(180°--It)=21-120°,

又,.,ZA8C=120。*r,

；.NBCA=18(T-2A8C,NBAC=18(T-f；-而/4'CD=120°,

A-ZBCD=1200-4BCA=\20°-(180°-),=L60°,

:.NBAC：/BCD=2：1,

即NBAC=2NBCO,

AABAC和ZBCD關(guān)系不會變化.

故滲案為；60.

.?”■/?.

【點(diǎn)評】本題.考查了平行線的判定與性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)手，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)"分類思

想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平彳亍，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..

2.(1)①如圖1,已如AB〃CQ,點(diǎn)E在直線AB、C￡＞之間，探究NABE、'/BED、NCQE之間的數(shù)亶關(guān)

系，并說明理由.

②將圖1中射線8A繞B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，射線BA交射線DC于F,得到圖2,形成四邊形

BFDE,探究四邊形中NB、NE、ND、NBFQ之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

77

(2)在圖3中，AB〃CD,NABE與NC￡?E的角平分線交于點(diǎn)N,NABM=^NABN,ZCDM=~ZCDN,

寫出與/E之M?數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)①過E作所〃A8,根據(jù)平行線的性質(zhì)’即可得到結(jié)論；：-

②過點(diǎn)B作GBACD,根據(jù)平行線的性質(zhì)艮的得到結(jié)論；

(2)由'(1)&的結(jié)論即可得到結(jié)果.

【解答】解：(1)①如圖1,過E作E/〃A8,

:./FEB+NEBA=18?！?

\'CD//AB,EF//AB,

J.CD//EF,

AZCD￡+ZDE^=180°,

：.ZCDE+ZDEB+ZABE=3>6Oa,

②如圖2,科:點(diǎn)8作68〃CD,

:.ZBFD=NGBF,

由(1)知NGB￡+/E+NZ>=3'60°,

ZB4-ZE+ZD+ZBFD=360°；

(2)如圖3,過M作M/〃AB,

\'AB//CD,

::MFaCD,

22

VZABM=.4ABN,ZCDM=|ZCDN,

，設(shè)/MBNg,ZMDN=yf則NMQC=2y,ZABM=2x,/EBN=3x,NEDN=3*y,

*-■W*：■***/.二々々

:./BMF=2x,ZrDMF=2y,NABE=6x,3/CDE=6y,

'：.NBMD=2(xA).

過Z作EG//AB,

,:AB〃CD,

：.EG//CD,

'Z.ZBEG=180°J-^ABE=180°-6x,ZDE(J=\S6°-NGDE=180°*63-,

:.NBED=NBEG+'NDEG=360°-(6x+6y)*=360°'-3ZBMDt"1'

.,.3ZBMD+ZBED=^60°...

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì)，虱練掌握平行線的性質(zhì)是解*題的關(guān)鍵.

3.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的

情況.如圖2,燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)至原位置，燈B射線自8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至

BQ便立即回轉(zhuǎn)至原位置，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/

/秒，且。、〃滿足|“-3|+(a+6-4)2=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ//MN,且N8AN

=45。.

(1)求。、匕的值.

(2)如圖1,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線第一次轉(zhuǎn)到AN之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)C,若NC=

70°,求/BAC的度數(shù).

(3)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次轉(zhuǎn)到BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，

兩燈的光線互相平行？...

【芬析】(1)由非蟒的性質(zhì)由可得出結(jié)果；_

(2)如圖I,過卓C作C￡〃MN,可得CE//PQ〃MN,設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間*x秒，貝i」NMAC=3x,4P8C

=x,根據(jù)角的和差關(guān)系得到關(guān)于K的方程，解方程即可求解；

(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)兩燈的光束互相平行，務(wù)兩種情況：①在燈A射媛到達(dá)AN之前；②在燈A射

線到達(dá)AN2舄進(jìn)行討論即可求解：

【解答】解：(1)V|a-3J+(4+/?-4)2=0,

.\a-3=0,ci+b-4=0,

薜得：〃=3,Z?—1；

(2)如圖1,過點(diǎn)C，作")MN,

?:PQ〃MN；

J.CE//PQ//MN.

設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為x電，^iZMAC=3x°,\ZPBC=x0,

???NCAN=I8/■13/,?,

:??/BCE=NPBC=x；,ZECA=ZCAN=(180-3x)-°,

VZACB=70°,

180-3x+x=70,

：.ZCAN=\5°”、

7Jr*

：.ZBAC=ZBAN-ZCAN=45°-15°二30°；

(3)‘設(shè)4燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，

①在燈A射線到達(dá)4V之前，由題意得：3(=(20+/)XI,

褪得：r=10；」

⑥在燈A射線到達(dá)AN之后，由題意獴：3/-180=180-(20+仁義1,

解得：r=85.

綜上所述，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

【唬評】本題考查亨行線的駒定與性質(zhì)、非多數(shù)的性質(zhì)：解方程等知識.；.熟練掌睡平行線的判定期

質(zhì)是解題的關(guān)鍵..

4.錢塘江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤

的情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈3射線自8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至3Q便立的

回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈4轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，且小〃滿足I”

-3*|+(“+6-4)2=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即「。〃MN,且NBAN=45°.

(1)求a、b的值；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)8Q之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈

的光束互相平行？

(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作CCAC交PQ

于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，/BAC與NBCZ)的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若

改變，請求出其取值范圍.

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)由參數(shù)/表示NBAC,NBCD即可判斷.

■-

A

【解答】解：(1),：\a-3b\+(a+6-4)2=0.

又：|。-3加20,(4+6-4)22o.

ci=3fb~1；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的I光束互相平行，..

?①當(dāng)0</<60時(shí)，'

3尸(30+/)乂1,'

,解得f=15；,,--'.：，'f,

②當(dāng)60<f<120時(shí)，

3r-3X60+(30+f)XI=180,

??一解得f=82.5；,*■*-'_?一-?，，；；--

③當(dāng)120<fW15Q時(shí)，

3tr360—r+30,*b".,.1

解得r=195>150(不合題意)

綜上所述,當(dāng)r=15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行：

?(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)刖;間為/秒，??、，?.>

VZCAW=180°-3r,?'

；./a4C=45°-(1800-3。=3f-，135°,

又,：PQ〃MN,.

；./8CA=NC8Q+4cAN=r+180°-3r=l80°-It,'

'：/ACO=90,

?i^**■《4*<.a**)，'?TJr

...N8CO=90°口8。=90°-(180°-2r)=2L90],

/.ZBCD：N8AC=2：3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了解三元一次方程組，平行線的'判定與性質(zhì)，估算無理數(shù)的大小以及角的和差關(guān)

系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解..

5.如圖，錢塘江入海廳某處河道兩岸所在直線(PQ,MN)夾角為20°,槍可道兩岸安裝探照燈B和入,

若燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線自BQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不

停交叉照射巡視.設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是。度/秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是6度/秒.已知N8AN=50°

(1)當(dāng)8=2時(shí)，問燈B轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒后，射出的光束第一次經(jīng)過燈A?

（2）當(dāng)a=3,8=6時(shí)，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在1分鐘內(nèi)（包括1分鐘），問A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互

相平行？

（3）若A、8兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)（a>b\在45秒與90秒時(shí)，兩燈的光束各平行一次,求小。的值.

【分析】（1）根據(jù)B燈轉(zhuǎn)動(dòng)30度時(shí)第1-次經(jīng)過燈4列出方程即可得解；

（2）根據(jù),內(nèi)錯(cuò)角相等，兩燈的光線平行，可得結(jié)果；

?-（35分兩種情形，根據(jù)平行弱的判定；構(gòu)建方祥解決問施即可.?

V

【解答】解：（1）,速燈8轉(zhuǎn)動(dòng)r秒后，射出限木束第一次經(jīng)過燈人...

,由題意得：2f=30,

解得

答：燈8轉(zhuǎn)動(dòng)15秒后，射出的光束第,」熠過燈人

._（2?設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)x秒，段燈的光束互相平行.

根據(jù)題意得：180-50-3x=6x-30時(shí)，兩燈的光束互相平彳亍，

解得：x=等，'

y

答：4燈轉(zhuǎn)動(dòng)號秒，兩燈的光束互相平行.

（3）在45秒與90秒時(shí)，兩燈的光束各平行一次

455時(shí)第二次平行，.由題意得：45〃-130=30:45〃，,一

90秒時(shí)第二枚平任，.由題意得：90?-180-50=90/?-30,.\、

?人,，?

解得：〃=等b=|

答：a,〃的值分別為g度/秒§度/秒??

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定以及角的和差關(guān)系’的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行

.求解，解題時(shí)注意:一內(nèi)錯(cuò)治相等，兩直線平行”

6.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的

情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回

轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且“，人滿足|a

-3|+VF=f=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ〃MN,且N8AN=45°

(1)求a,6的值；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)B0之前，4燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈

的光束互相平行？

(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈4射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作CQLAC交PQ

于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)出呈中，/BAC與/8CQ的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？碧不變，請求出其數(shù)量關(guān)系.一

【分析】(I)利用手負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題艮叩'j

(2)分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

(3).參數(shù)/表示Na4C,乙BCD即可判斷.’’

【解答】解：“⑴???|a-3|+VF二彳=0.

又V|“-3|30,VK^T,'0."

—3?h~—1；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)f秒，兩燈的光束互相平行，,

①當(dāng)0</<60時(shí)，

3f=.(20+/)XI,

,解得r=10；

②當(dāng)60?⑶時(shí)一

3「3X60+(20+/)。1=18，，

解得/=85；

③當(dāng)120<r<160時(shí)，

?3f-360=f+20,-

解得f=190>160,(不合蹭意)

綜上所述，當(dāng)f=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行］

(3)設(shè)4燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為r秒，

???NC4N=18O°'-3。

r

：.ZBAC=45°t-（180°-3f）=3L135°：

又,：PQ〃MN,

：.ZBCA=ZCBmZCAN=t^\S0o-3/=180°-2r,

而/ACQ=90°,??.

AZBCD=900-ZBCA=90°-（180?！?1=2f-90°,

：.ZBACi/BCD與：2,'

即'2NBAC=3/BC￡）.^

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)般利用參數(shù)

構(gòu)翼方程解決向題，屬于中考產(chǎn)考題型」

7.長江汛期即將來臨，?防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的

情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自8P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回

轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速尾是“°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速號是//秒，且“、人滿足3"

=27=32?32假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即「?！ㄇ?B4V=45°

（1）求。、6的值；

（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，云燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈

的光束互相平行？

（3）如圖2,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作C￡>J_AC交

PQ于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，/BCD：NR4C=2：3.

【分析】（L）根據(jù)同底數(shù)哥乘法法則即可求八萬的值.

（2）由于燈4轉(zhuǎn)動(dòng)速度為燈B的3倍，故燈B射線到達(dá)8。前，燈/已轉(zhuǎn)到AN并返回轉(zhuǎn)，用以兩燈光

，束平行有兩種情況:@燈A射線還沒到達(dá)AN,一兩光束平行即兩轉(zhuǎn)動(dòng)角度相等，設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)/秒，即8

燈轉(zhuǎn)動(dòng)（20+f）段,，可用，表示兩轉(zhuǎn)動(dòng)角度"列方程即能求/；②燈A號線轉(zhuǎn)到AN之后，此時(shí)燈與

AN夾角為3/-180°,此度數(shù)與燈B轉(zhuǎn)動(dòng)角度互補(bǔ)，列方程即能求t：

（3）設(shè)兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)x秒，過點(diǎn)C作PQ的平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等的等量關(guān)系，即可用x表示圖中所

有角的度數(shù)，進(jìn)而求NBCQ：NBAC的值

6滿足3"

.??a=3,2序=3

:.b彳1

Fjff?'??jA.^

/(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)■少，兩燈的光束互相平行S

①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前,?..

,y<?,?.Lf

3t=(20+r)XI

解得r=10

'②在燈A射線轉(zhuǎn)到AW之話，,'；，

3/-180°=180°J-X20+r)XI

解得f=85^

綜上所述，當(dāng)f=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行

「(3：,如圖，過點(diǎn)C作CE〃M。，

O____________B____D___P

:

MAN

「：PQ〃MN

?//?4>J*]

:.CEHPQHMN

...JSW*.《.、-二.?■<j1

設(shè)兩燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間右X秒，則/MAC=3x,ZDBC=x

:?/BCE=NDBC=X,ZCA/V=180°-ZMAC-1800-3x

<.<?

???NACE=NCAN=180°-3x

'/4BAN=45°

:?/BAC=/BANTCAN=45。-(180°T-3x)=3x-1350■

9：CD1AC.>'

:.9ZACD=9O°、

???ZBCD=ZACD-ZACE-ZBCE=90°-(180°-3x)-x=2x-90°

2x-90°

:./BCD：ZBAC=2(x-45°)2

3x-1350=3(x-45°)=3

故管案為：2：3.

【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)基乘法法則，平行線的性質(zhì)，角度計(jì)算，由動(dòng)點(diǎn)問題引起的分類討論.

8.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的

情況.如圖1,燈A射線自A歷順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8Q便立即

回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是“°/秒，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，且a、〃滿足I”

-3加+■-26+1=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即且/BAN=45’.

(I)則a—3,b—1；

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈

的光束互相平行？

(3)如圖2,兩燈面時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束妄于點(diǎn)C,過C作C￡)L4C”交

PQ于點(diǎn)D,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，NBAC與NBCD的數(shù)量關(guān)系是2/8AC=3/BC￡>(請直接寫出結(jié)論).

【分析】⑴由絕時(shí)值的性質(zhì)得出｛③[3n=。，解得即可得出結(jié)果；.

(2)設(shè)4燈轉(zhuǎn)動(dòng)f秒，兩燈的光束互布平行，

①在燈A拓線到達(dá)AN之前，由題意得3f生(20+/).XI,解得尸10,

一②在燈A射線到達(dá)AN之后，由題意得3-18g180-(20+/)XI,解彳&/=85；一

,(3)設(shè)A燈瞥動(dòng)時(shí)間為/秒，則NC4N=18O-3/,ZBAC=ZBAN--^CAN=3t-135,由PQ〃例M

得到/8。4=/€'8。+/。4%于80-2力ZBCD=ZACD-ZBCA^2t-90,即可得出結(jié)果.

￥

【解答】解：(I)'：\a-3b\+b2-2從1=0,

.(a-3b=0

,?U2-2&+l=0，

?解得:北二;，：..J'-*?*

故答案為：3,1；

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)/秘，兩燈的光束互相平行，..

①在燈A射線到達(dá)AN之前；由題意得：3f=(20+/)XI,

解得：f=10,

既在燈A射線藥威AN之后，由題意得：3L180=180-(20+玲XI,-

解貓：f=85,

上，..rM.9??(

繪上所述，A.專動(dòng)10秒或85秒時(shí)，兩可的光束互相平行;

(3)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為f秒，惻NCAN=180-3f,??

：.ZBAC=ZBAN-ZCAN=45-(180-3r)，=3L135,

'."PQ//MN,>>'

"ZBCA=ZCBD+Z/JAN=i+180-3f=180-2t,

.小S^4?干?*、,JB^

*:CD±AC9

-0=90°,

■\一.L','■-I.

*?.ZBCD=ZACD-?^BCA=90-(180-2r)=2f-90,.--

：.2ZBAC=3^BCD,

故答案為：24BAC=34BCD.

公，、?“「tt?、?，，//.■,.JF?/

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、解方程等知識；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.遼于汛期即將來臨，，防汛指揮.在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安亶了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的

情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4N便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線白BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回

,■?、

轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，且“、人滿足|a

-3|+(?+/?-4)2=0,假定這帶兩岸河堤是平行的，即PQ〃MN,且N84N=45°.

(1)請直接寫出a=3,b=1.

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，4燈轉(zhuǎn)動(dòng)10或85

秒，兩燈的光束互相平行,(請直接寫出答案)

-----------------------------------77

【分析】(1)根據(jù)-3b|+(a+方-4)2=0」可寤。-3/?=0,同-4=0,進(jìn)而得出a、b的值;

'(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)U秒，兩燈的光榮互相平行；益兩種情況進(jìn)行討論：灌燈4射線轉(zhuǎn)到4V之前，姆在

燈N射線轉(zhuǎn)到AN之辰，分別求得,的值即可；.°：,,

【解答】解：(1):a、。滿足|。-3|+.(。+匕-4)2=0,

.\a-3=0,Jiayb-4=0,

?,?〕?>,?;1

??4=3,b=1；

?故4案為：3,1；?

.■/?.

(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)，秒，兩燈的光束互相平彳亍，

①當(dāng)0VY60時(shí)，

*?r??<r*,?r

3t=<20+/)XI,

解得t亍io；"，■,

.②當(dāng)60<f<120時(shí)，..

A**?r?

3r-3X60+(20+/)X1-180°,?

解得r=85；.

?*w_jf;、.■<.*>9%jt/■

」?.③當(dāng)，12O<r<160時(shí)"，---

3r-360=r+20,

解得f=190>l60,《不合題意).^

f■f-?，^f■，，

綜上所述，當(dāng)r=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

故答案為：10或85.

.【金評】本題主要添了平行為的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以"及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，作決問題的關(guān)鍵■運(yùn)-.

用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：若兩個(gè)非乳數(shù)的和為0,則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均等于0.?,

10.如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ACE(NAEQ=30°的RtZ\),將三角板ABC(NACB

=45°的Rt4)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為a的角(0°<cW450),試問：

(1)當(dāng)。=15度時(shí),能使圖2中的A8〃OE；

(2)當(dāng)支=45度時(shí),能使圖3中的A8與AE重合；

(3)當(dāng)0°<67^45°時(shí)，連接8。(如圖12-4),探求NQBC+NCAE+NBOE的值的大小變化情況，

’并說明理由.」

B

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得Z8AE=/E=30°,再根據(jù)/84C=45",即可得出2平￡=45°

A

-30°=15°；

、?v><*J-*rw■f*.,、>?'?”,J??.

(2)根據(jù)當(dāng)施轉(zhuǎn)期A3與AE重疊時(shí)，/aeZBAC即'可得到結(jié)果；’

(3)先設(shè)8。分別交為E、AC?于點(diǎn)M、N,依據(jù)三角形內(nèi)扁和定理外及二角形外角性菽即可售出N8DE+

2cAE+NABC的度數(shù).

【解答】解：(1)如圖2,當(dāng)AB〃￡)E時(shí)，NBAE=NE.30°,

VZBAC=45_“，

1?J—wLA>r.JL^

???NCAE=45°-30°=15°,

即Na=15°,'a.'.

施答案為：15；

(2)如圖3中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A8與AE重疊時(shí)，Na=NBAC=45°

故答案為：45；

'(3)如圖4,當(dāng)0°'<aW45。時(shí)，N￡>8eJr&E+/B￡>E=105",‘保輪不變；」

理由：設(shè)BZ)分別交4E、AC于點(diǎn)M、M.

.在中，ZAMN+ZCAE^ZANM=180°,

>/*F^^^**46/>1P/?J*/?

?.,/ANM三ZC+ZDBC,/AMN=ZE+ZBDE,

,,*t*'?'；、>?.j*>

AZE+ZBDE+ZCAE+AC+ZDBC=\SO°,

VZE=30°,ZC=45,

：.ZDBC+ZCAE+ZBDE=180°-75°=105°.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用.解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變化

?前后，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)小心而距離相等，每一對哥應(yīng)點(diǎn)看旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)我的窿轉(zhuǎn)角相等.

11.(1)如圖1,AB//CD,將點(diǎn)P在48、CD內(nèi)部，NB,ZD,NP滿足的數(shù)量關(guān)系是/BPD=/

B耘D,并說明理由..,,,

(2)在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)8逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CQ于點(diǎn)Q,如圖2,利用(1)中的

結(jié)論（可以直接套用），求NBPD、ZB.ZD.NBQ。之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）科技活動(dòng)課匕雨軒同學(xué)制作了一個(gè)圖（3）的“S旋鏢”，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)乙R4C=30°,/PBC=35°,

他很想知道/AP8與NAC8的數(shù)量關(guān)系，你能告訴他嗎？說明理由.

【分析】（1）迓P作平行于48的直線，恨據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可得出蘭個(gè)歲的關(guān)系.

（2）連接。尸并延長至凡根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得48尸。、ZB.ZD./8QO的關(guān)系；

⑶'連接CP并延總至G,根據(jù)三角形的外角在質(zhì)可得ZB,5zZ乙4。3的關(guān)系，代人即高.

【解答】解'：'（1）'NBPD='>8+N￡>,如圖f/51P'點(diǎn)作.PEAB,

'：AB//CD,

：.CD//PE//AB,

:.NBPE=NB,：NEPD=2D,,■,

,/NBPD=NB.PE+NEPD,、

：.ZBPD=ZB+ZD.

故答案為：NBPD=NB+ND；

(2)ZBPD^ZB+ZD+ZBQD,連接QP并延長至尸，如圖2,

2BPF=/ABP+NBAP,./FPD=ZPDQ+NPQD,

工NBPD=NB+ND+NBQD；

(3)ZAPS=65°+ZACB,連接CP并延長至G,如圖3,

VZAPG^ZA+ZACP,NBPG=/BtNBCP,'

A

???ZAPB=N8+NA+NAC5,X*<,A.

*>}t;A1.

；NA=30°,N3=35°j,

.,.ZAPB=65°+ZACB.■■

【點(diǎn)評】此題警平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是住出輔助線后；利用平行線和三角形外鬲性質(zhì)解答.

12.已知：如圖，直線MNJ_P。于點(diǎn)C,△ACS是直角三角形，且/ACB=90°,斜邊AB交直線PQ于點(diǎn)

（2）如圖2,當(dāng)AACB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（即AB與MN不平行），其他條件不變，問NF的度數(shù)

是否發(fā)生改變？請說明理由.

【4析】⑴由A8/MN,?直為MNLPQ,C耳平分NA&V,DF平分N@>B,易求軸NDCE與NC”

的度數(shù)，然后利用；角形外角的性質(zhì)，求得NF的度數(shù).?.,、

'--'?'?、'

（2）由題意可得NOCE=N4C￡>+/4CE：/4CD+gN4CN,ZCDF=~ZBDC=^ZA+^ZACD,則可

////

It

得NF=NDCE-ZCDF=ZACD+^ACN-^ZA--ZACD=1（ZACN+ZACD）繼而求得答

案.......

【解答】解：（1）?FAB/MN,直線可，尸。,一

：.PQLAH,-

：

.-ZBDC=ZDCN=9t0°,?/If,

?.?/4CNqNA=36°,CE平分NACN,

.?./ACE=18°：ZACD=90°-ZA=54",

■.■

：.ZDCE=ZACD+QACE=12\,---

:..QF平分NCQB,

：.ZCDF=45°,

：.ZF=ZDCE-ZCDF=21°；

一，(2?不發(fā)生改變.

理由：：CE是NACN的平分線，??<

NACE=3NACN,

,：.ZDCE^'ZACD+^ACE^ZACD+三NACN,_._

,：ZBDC=ZA+YACD,公尸平分N8OC,.：,

：.-ZCDF=±NBDC=

4LL

...?*?

:.NF=4DCE-ZCDF=ZACD+^ZACN-^ZA-^ZACD=1(/ACN+NACD)-1z/\=1x90"

-1V36°=27°*

-2^

【點(diǎn)評】此題考草了平行線的性質(zhì)、角平分等的定義以及三角形外角的吠質(zhì).此題難度適中，注卑掌握

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.一副直角三角板疊放如圖①，現(xiàn)將含45。角的三角板AOE固定不動(dòng)，把含30°角的三角板ABC繞頂

點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(a=NBA。且0°<a<180°),使兩塊三角板至少有一組對應(yīng)邊(所在的直線)

垂直.

(1)如圖②，a=15°時(shí)，BC1AE；

(2)請你在下列備用圖中各畫一種符合要求的圖形，計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角aJ條用符號表示出垂直的邊.

【分析】(1)如圖②根據(jù)條件只需證BC±AE即可，a^ZDEA-ZBAC=45°-30°-15"；?JL'

(2)如備用圖，4C：4E時(shí),?a=NEAC-2BA￡=90°?-30°=60°',AB,_LAE時(shí)，a=105°.

【解答】解：(1)如圖②在△ABC中，AC±BC,AE與4c重合;

則AE_LBC,a±N￡)EA-N8AC=45°-30°=15°

所以，當(dāng)a=15°時(shí)，BCLAE.-

故答案為15°:'>''.、

(2)如圖1中，AC_LAE時(shí)，a=105°".

B.

A

如圖5中，,當(dāng)A8J_OE時(shí)，a=45"-!

【'點(diǎn)評】本試題考查兩條線段的垂直關(guān)系.兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)90'。，就說這兩條直線

互相垂直??

14.如圖①，AB,C￡>是兩條射線，P為夾在這兩條射線之㈣的一點(diǎn)，連以和PC,作NB43和/PCZ）的

平分線相交于點(diǎn)。.

（1）旋轉(zhuǎn)射線A8,使4B〃C￡>,并調(diào)整點(diǎn)P的位置，使/APC=180°,如圖②，請直接寫出/。的度

數(shù)；

（2）當(dāng)AB〃8時(shí)，再調(diào)整點(diǎn)P的位置如圖③，猜想舁證明/。與/P有何等量關(guān)系；

（3）如圖④，若射線A8,CD交于一點(diǎn)R,其他條件不變，猜想/尸、/Q和/R這三個(gè)角之間滿足什

么樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)輔線而性質(zhì)和角平分線的由通求6/用Q+/PCQ-9/,由根據(jù)三角形的內(nèi)角莉加

可得出/Q的度數(shù);'

（2）先延長轉(zhuǎn)交8于點(diǎn)￡,延長A。交C/）F點(diǎn)尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N84Q=NCF。，

=NBAE,根據(jù)三角形的外角得出NAPC=/PCE+NPEC=NPCE+/ZME=2NQCF+2NBAE=2（Z

QCF+NBAE),最后根據(jù)ZAQC=ZQCF+《BAE即可得出NAPC=24AQC.

(3)連接RQ,舁媼長RQ,連接KP并延長‘RP,利用三角形的外角得424QC=NARC+/QCR+」d4R,

從而得出2/AQC=2/4RC+2/QCR+2/0AR①，根據(jù)/4PCuNARC+2/QAA+2/QCR@,由①心

②即可得出2ZAQC-ZAPC=ZARC.

【解答】解:Y1)'：A