2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題25

2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題

1.閱讀資料：小明是一個愛動腦筋的好學生，他在學習了有關(guān)圓的切線性質(zhì)后，意猶未盡，

又查閱到了與圓的切線相關(guān)的一個問題：

如圖1,已知PC是00的切線，48是。。的直徑，延長BA交切線PC與P,連接AC、

BC、0C.

因為尸C是。。的切線，A8是。。的直徑，所以NOCP=NACB=90°,所以N1=N2.

又因為NB=Nl,所以NB=N2.

在△以C與△PCB中，又因為：NP=NP,所以△以Cs/XPCB,所以空=里，即PC2

PCPB

^PA-PB.

問題拓展：

(I)如果尸8不經(jīng)過。。的圓心。(如圖2)等式R^=B4?P2,還成立嗎？請證明你

的結(jié)論；

綜合應用：

(II)如圖3,。。是△ABC的外接圓，PC是。。的切線，C是切點，BA的延長線交

PC于點P；

(1)當48=鞏，且PC=12時;求用的值；

【分析】(I)證法一：如圖2-1,連接PO并延長交。。于點D,E,連接BD、AE,

易證得△尸BQSAPEA,然后由相似三角形的對應邊成比例，可得PA?PB=PD,PE,由

圖1知，PC?=PD*PE,即可證得結(jié)論；

證法二：如圖2-2,過點C作。。的直徑CC,連接40,BC,AC,由尸C是。。的切

線，易證得△PBCs^po,然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結(jié)論；

(II)(1)由(1)得，PC?=PA'PB,PC=12,AB=PA,即可求得PC2=B4?P8=B4

CPA+AB)=2必2,繼而求得答案；

(2)證法一：過點A作AF//BC,交PD于點F,由平行線分線段成比例定理即可求得更

PA

,又由「。2=%.尸8,即可證得結(jié)論；

AFAFAE

證法二：過點A作AG〃OP,交BC于點、G,由平行線分線段成比例定理即可求得更=

PA

毀，型=患，又由PC2=%?PB,即可證得結(jié)論.

GDDGAE

【解答】解：(I)當尸8不經(jīng)過。。的圓心。時，等式PC2=fiVPg仍然成立.

證法一：如圖2-1,連接尸。并延長交。。于點。，E,連接B。、AE,

；.NB=NE,NBPD=NAPE,

:.XPBDs^PEA,

.PDPB

??---="一,

PAPE

即B\"PB=PD'PE,

由圖1知，PC2=PD'PE,

：.PC1=PA'PB.

證法二：如圖2-2,過點C作。。的直徑CD連接AO,BC,AC,

:PC是。。的切線，

：.PCLCD,

...NC4￡>=NPCD=90°,

即Nl+/2=90°,/。+/1=90°,

；./￡>=N2.

,:ND=NB,

，NB=N2,

NP=NP,

:.叢PBCs叢PCA,

所以Fl匹，

PCPB

即PC2=PA'PB.

(II)由(1)得，PC2^PA-PB,PC=12,AB=PA,

：.PC2^PA'PB^PA(%+AB)=2孫2,

；.2“=144,

，布=±6&(負值無意義，舍去).

.?.以=6后.

(2)證法一：過點A作AF〃8C,交PD于點F,

.PB=BDCD=CE

"PAWAFAE-

為8C的中點，

:.BD=CD,

.BD=CD

■市AF,

.PB=CE

**PAAE-

,:PC2=PA，PB,

2

.PC_PA'PB_PB=CE

一市三產(chǎn)而市，

gpPCl=CE.

PA2杷

證法二：過點A作4G〃￡>P,交8c于點G,

.PB=BDCD=CE

**PAGD'DGAE'

?.,。為BC的中點，

:.BD=CD,

?BD=