2024屆一輪復習命題方向精講系列：25 平面向量的數(shù)量積及其應用（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關注微信公眾號：Hi數(shù)學派考向25平面向量的數(shù)量積及其應用1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標公式．（2）求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個應用：（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解．【注】用坐標法解題時，建立適當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關鍵，用基向量解題時要選擇適當?shù)幕祝?）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關系式．利用同角三角函數(shù)關系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，即通過向量的相關運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決物理問題的步驟如下：（1）抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；（2）建立以向量為主體的數(shù)學模型；（3）利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學模型；（4）用數(shù)學模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點）．反之，若，則點G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點I是的內(nèi)心．（4）外心．若點O是的外心，則或．反之，若，則點是的外心．1．設非零向量，是與的夾角．（1）數(shù)量積：．（2）模：．（3）夾角：．（4）垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|．【注】當與同向時，；當與反向時，．（5）性質(zhì)：|a·b|≤|a||b|（當且僅當a∥b時等號成立）?2．平面向量的模及其應用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應注意模的計算公式，或坐標公式的應用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用．1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．3．數(shù)量積的性質(zhì)設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．4．數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系（當且僅當時等號成立）5．向量中的易錯點（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）已知是邊長為a的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·遼寧·大連市一0三中學模擬預測）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2022·全國·高三專題練習）在矩形中，，，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．25．（2022·山東濰坊·模擬預測）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．6．（2022·河南開封·模擬預測（理））已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．1．（2022·上海松江·二模）已知正方形的邊長為4，點、分別在邊、上，且，，若點在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預測（理））在中，，為的外心，，，則（

）A．2 B． C．4 D．3．（2022·全國·高三專題練習）正方形ABCD的邊長為2，以AB為直徑的圓M，若點P為圓M上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇無錫·模擬預測）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長為2，其中動點P在圓上，定點A、B所在位置如圖所示，則最大值為（

）A．9 B．10 C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·河南安陽·模擬預測（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，M為AB的中點，D為AC的中點．將線段AC繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則（

）A． B． C． D．7．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）已知平面向量，，且非零向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．28．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．189．（多選題）（2022·湖北·模擬預測）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，，則（

）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是10．（多選題）（2022·山東·煙臺二中模擬預測）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關系象征著中國共產(chǎn)黨領導下的革命與人民大團結．如圖，五角星是由五個全等且頂角為36°的等腰三角形和一個正五邊形組成．已知當時，，則下列結論正確的為（

）A． B．C． D．11．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知均為非零向量，則下列結論中正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，且，則的最大值與最小值之和為12．（多選題）（2022·湖北·襄陽五中二模）已知點，若過點的直線交圓：于A，兩點，是圓上一動點，則（

）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為13．（多選題）（2022·重慶八中高三階段練習）已知是單位向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．的最大值為 D．的最小值是14．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三點共線，則存在實數(shù)使15．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知向量，滿足，，，則______．16．（2022·湖南·湘潭一中高三階段練習）已知等邊的邊長為6，平面內(nèi)一點P滿足，則____________．17．（2022·上海黃浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范圍為____________．18．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在中，為其外心，，若，則________．19．（2022·江蘇·常州高級中學模擬預測）設直角，是斜邊上一定點．滿足，則對于邊上任一點P，恒有，則斜邊上的高是________．20．（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量滿足，若，則的最大值是__________．1．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．63．（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．24．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2020·山東·高考真題）已知點，，點在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2020·海南·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2020·全國·高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．8．（多選題）（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．9．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．10．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．11．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．12．（2022·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．13．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，_______．14．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.15．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.16．（2020·浙江·高考真題）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為_______．1．【答案】B【解析】解：以中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則，，，設，則，，，所以，所以；所以當，時，取得最小值是．故選：B．2．【答案】C【解析】解：因為，為單位向量，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因為，所以；故選：C3．【答案】B【解析】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，設，，，，，，即的取值范圍為．故選：B．4．【答案】C【解析】解：∵，又∵∴9，∴故選：C．5．【答案】D【解析】，，又，，．故選：D．6．【答案】A【解析】由題意，又與的夾角為且為單位向量，所以，可得．故選：A1．【答案】C【解析】如圖，建立平面直角坐標系，則，，當在上時，設，，，當時，，當時，，即，當在上時，設，則，，知，當在上時，設，，，當時，，當時，，即，當在上時，設，，，當時，，當時，，即.綜上可得，，故選：C2．【答案】B【解析】如圖，設的中點為D,E，連接OD,OE,則,故，即,即，故,，即,即，故,故,故選：B3．【答案】B【解析】以為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，圓方程為，在圓上，設，，，，，所以．故選：B．4．【答案】C【解析】解：如圖所示：連接，因為中間陰影部分是正方形且邊長為2，所以可得，，，所以，在中由余弦定理可得，所以，設的夾角為，的夾角為，==-,當在所對的優(yōu)弧上時，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；當在所對的劣弧上時，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；綜上所述：最大值為.故選：C.5．【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

6．【答案】D【解析】易得，D為線段EF中點，則，，，，則，又，則.故選：D.7．【答案】B【解析】設，則，，整理得，則點在以為圓心，為半徑的圓上，則表示和圓上點之間的距離，又在圓上，故的最大值是.故選：B.8．【答案】B【解析】解：，且所以：．故選：B.9．（多選題）【答案】BCD【解析】以AB中點O為原點建立平面直角坐標系，，，，設，則，，，由，得且，，故A錯；時，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD.10．（多選題）【答案】AB【解析】對于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；對于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；對于C，與不共線，C不正確；對于D，連接CH，BH，由選項A知，，而，則四邊形是平行四邊形，，D不正確.故選：AB11．（多選題）【答案】CD【解析】對于A選項，因為，當與的夾角為時，也符合要求，所以選項A不正確；對于B選項，若，，，則，但，所以選項B不正確；對于C選項，，所以選項C正確；對于D選項，不妨設，，，所以，整理得，即在平面對應的點C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，因此的最大值為，最小值為，所以選項D正確，故選：CD.12．（多選題）【答案】ABC【解析】如圖，當直線與軸垂直時，有最小值，且最小值為，所以A正確；當直線與垂直時，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.設，則，所以，所以的最小值為，所以C正確；當，，三點共線時，最大，且最大值為，所以D錯誤；故選：ABC.13．（多選題）【答案】ACD【解析】∵，∴，，∴，故A正確；由，可得，即，則不一定成立，故B錯誤；又是單位向量，，不妨設，設，又，∴，，∴，即，由可知圓心為，半徑為，∴，故C正確；由上可知，，即，又∵，∴的最小值是，故D正確.故選：ACD.14．（多選題）【答案】BCD【解析】解：對于A：給定的，其外心為，所以，故A不正確；對于B：因為為給定的的垂心，故，即,解得：,故B正確；對于C：因為重心為G，則有，，所以，故C正確；對于D：由于點在的平分線上，為單位向量，所以與的平分線對應向量共線，所以存在實數(shù)使，故D正確．故選：BCD．15．【答案】1或3【解析】∵∴，又∵，，∴．當時，，當時，．故答案為：1或316．【答案】【解析】因，則，等邊的邊長為6，則，所以.故答案為：17．【答案】【解析】因為，，設、所成角為，向量在方向上的投影為：，因為，所以，所以.故答案為:。18．【答案】【解析】設外接圓的半徑是，．設，則在等腰中，．所以．故答案為：.19．【答案】【解析】取中點，則，同理，又，故，即恒成立，所以.作，則為中點，故，所以.又因為直角，故，所以，即斜邊上的高是故答案為：20．【答案】【解析】∵，∴，又，則可設，設．由知C在以為圓心，1為半徑的圓上，取的中點為，由,又，所以所以D在以為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界），如圖所示．作圓N關于x軸的對稱圓圓P，其中，則表示圓面M內(nèi)一點與圓P上一點之間的距離，所以，即的最大值為．故答案為：．1．【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D2．【答案】C【解析】解：,,即,解得,故選：C3．【答案】C【解析】解：∵