2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：10 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。?.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。1.畫指數(shù)函數(shù)，且的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn):2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)且的圖象越高，底數(shù)越大.3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域.求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進(jìn)行討論.求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令，如果復(fù)合的兩個函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù).(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后分析式子與的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性.二是圖象法，作出函數(shù)的圖象或從已知函數(shù)圖象觀察，若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性.1.指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2.指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)1．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））已知，，，則正數(shù)，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)且，已知函數(shù)，則__________．4．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．5．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，，則_______.6．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）已知函數(shù)，則________.1．（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））定義：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，使得在上的值域為，則稱函數(shù)在上為“等域函數(shù)”，若定義域為的函數(shù)（，）在定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·鄭州一中模擬預(yù)測（理））在科學(xué)研究中，常用高德納箭頭來表示很大的數(shù).對正整數(shù)a，b，c，把記作，并規(guī)定，，則的數(shù)量級為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．3．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知某電子產(chǎn)品電池充滿時的電量為3000毫安時，且在待機(jī)狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電300毫安時；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時刻算起，t小時后的電量為當(dāng)前電量的倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機(jī)10小時后有超過5％的電量，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，若，則n的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．125．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（2022·安徽·肥東縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，，，，則，，這三個數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)（），若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)且，已知函數(shù)，則__________．9．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，記與圖像的交點(diǎn)橫，縱坐標(biāo)之和分別為與，則的值為________.10．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））函數(shù)在的值域為______．11．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.12．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③若，則點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．13．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若，則的最小值為_________．14．（2022·北京·一模）若函數(shù)的值域為，則實(shí)數(shù)的一個取值可以為___________.15．（2022·河北邯鄲·一模）不等式的解集為___________.16．（2022··模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.17．（2022·遼寧實(shí)驗中學(xué)模擬預(yù)測）偶函數(shù)的值域為______．18．（2022·福建龍巖·一模）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．19．（2022·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.20．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知不等式，對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．1．（2022·北京·高考真題）己知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．3．（2020·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．4．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，則（

）A． B． C． D．5．（2016·全國·高考真題（理））已知，，，則A． B．C． D．6．（2014·江西·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（

）A． B． C．1 D．27．（2016·全國·高考真題（文））已知，則A． B．C． D．8．（2015·山東·高考真題（文））設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．9．（2011·山東·高考真題（理））若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為A．0 B． C．1 D．10．（2017·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是____________.11．（2015·山東·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____________.12．（2015·福建·高考真題（文））若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于_______．13．（2013·上?！じ呖颊骖}（理））方程的實(shí)數(shù)解為_________.1．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，因為，可得，解得，即，所以.故選：B.2．【答案】A【解析】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正數(shù)，，的大小關(guān)系為.故選：A3．【答案】1【解析】，而，則；故答案為：14．【答案】1【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則有，即恒成立則恒成立即恒成立則，經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：15．【答案】.【解析】，；，；.故答案為：.6．【答案】【解析】因為，則.故答案為：.1．【答案】C【解析】當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，若在其定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，所以，消去，得，令，則，當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，所以符合條件的，不存在.當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，若在其定義域的某個閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，，即方程在上有兩個不等實(shí)根，即在上有兩個不等實(shí)根，設(shè)函數(shù)（），則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故選：C.2．【答案】C【解析】由題意可得，，∴.∵，∴.故選:C.3．【答案】C【解析】由題意得，小時后的電量為毫安，此時轉(zhuǎn)為B模式，可得10小時后的電量為，則由題意可得，化簡得，即令，則，由題意得，則，令分別為1，2時，這個不等式左右兩邊大小相等，由函數(shù)和的圖象可知，該不等式的解集為，所以，得，故選：C4．【答案】B【解析】因為當(dāng)時，，所以，又，所以，所以，，，所以若，則n的最大值為10，故選：B.5．【答案】D【解析】，因為，均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，易求值域為；又，所以是奇函數(shù)，圖像關(guān)于對稱.因為，，不妨設(shè)；作出簡圖如下:設(shè)點(diǎn)，此時直線的方程為，由圖可知，兩式相加可得；因為所以，即.故選：D.6．【答案】C【解析】因為，所以取，則，，，所以.故選：C.7．【答案】A【解析】函數(shù)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則，，所以，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)當(dāng)單調(diào)遞增所以令，，解得，令，則在上單調(diào)遞增，原不等式可化為，而，所以，解得，則，即解集為．故選：A．8．【答案】1【解析】，而，則；故答案為：19．【答案】.【解析】在和上都單調(diào)遞減，且關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，在上單調(diào)遞增，，所以的圖像也關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以與圖像有兩個交點(diǎn)且關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)這兩個交點(diǎn)為、，則，，所以，，所以.故答案為：.10．【答案】【解析】解：，設(shè)，當(dāng)時，，所以，所以在的值域為．故答案為：．11．【答案】##4.5【解析】當(dāng)時，，過定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，即，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.12．【答案】①③【解析】函數(shù)的定義域為.對于①：因為，所以是偶函數(shù).故①正確；對于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函數(shù)，可得②錯誤；對于③：當(dāng)時，點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率為.因為，所以，所以，所以.故③正確；所以正確結(jié)論的序號為①③．故答案為：①③13．【答案】【解析】依題意，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，此時，，所以，當(dāng)時，取最小值.故答案為：14．【答案】1【解析】如果，，其值域為，，不符合題意；如果，當(dāng)時，，就是把函數(shù)的部分以x軸為對稱軸翻折上去，∴此時的最小值為0，的最小值為-1，值域為，所以，不妨??；故答案為：1.15．【答案】【解析】由，可得.令，因為均為上單調(diào)遞減函數(shù)則在上單調(diào)逆減，且，，故不等式的解集為.故答案為：.16．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，因為，則，所以，，所以，，所以，，因為，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集為.故答案為：.17．【答案】【解析】由題設(shè)，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以的值域為.故答案為：.18．【答案】【解析】由題意得：有解令有解，即有解，顯然無意義,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故答案為：.19．【答案】，【解析】構(gòu)造函數(shù)，那么是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到，的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以圖象關(guān)于對稱．不等式等價于，等價于結(jié)合單調(diào)遞增可知，所以不等式的解集是，．故答案為：，．20．【答案】，，【解析】設(shè)，，則，對于，恒成立，即，對于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，綜上，的取值范圍為，，．故答案為：，，﹒1．【答案】C【解析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．2．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.3．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.4．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故選：B.5．【答案】A【解析】【詳解】因為，，，因為冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因為指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.6．【答案】A【解析】解：由題意得，所以，解得a=.故選：A7．【答案】A【解析】【詳解】因為，且冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.8．【答案】C【解析】【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值