參數(shù)估計(jì)方法

第八章參數(shù)估計(jì)方法研究工作的目的在于了解總體特征的有關(guān)信息，因而用樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)，并由之進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷?？傮w特征的各種參數(shù)，在前幾章主要涉及平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等，并只從直觀上介紹其定義和公式，未就其歷，即參數(shù)估計(jì)(parameterestimation)的方法作討論。本章將簡要介紹幾種常用參數(shù)估計(jì)方法，即矩法、最小二乘法、極大似然法。第五章述及參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)和區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)，本章討論點(diǎn)估計(jì)方法。區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布而進(jìn)一步作出的推論，有關(guān)內(nèi)容將散見在其它各章。第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)及其估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)一、農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中需要估計(jì)的參數(shù)是多種多樣的，主要包括總體數(shù)量特征值參數(shù)，例如，用平均數(shù)來估計(jì)品種的產(chǎn)量，用平均數(shù)差數(shù)來估計(jì)施肥等處理的效應(yīng)；用百分?jǐn)?shù)(或比例)來估計(jì)遺傳分離比例、群體基因或基因型頻率、2個(gè)連鎖主基因間的重組率；通過變異來源的剖分，用方差來估計(jì)環(huán)境方差、遺傳方差和表型方差，在此基礎(chǔ)上以估計(jì)性狀的遺傳力等遺傳參數(shù)用標(biāo)準(zhǔn)誤來估計(jì)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣誤差，如重組率的標(biāo)準(zhǔn)誤、遺傳抽樣誤差、遺傳多樣性誤差、頻率誤差等。在揭示變數(shù)間的相互關(guān)系方面，用相關(guān)系數(shù)來描述2個(gè)變數(shù)間的線性關(guān)系；用回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)等來描述原因變數(shù)變化所引起的結(jié)果變數(shù)的平均變化的數(shù)量，用通徑系數(shù)來描述成分性狀對目標(biāo)性狀的貢獻(xiàn)程度等。有關(guān)數(shù)量關(guān)系和數(shù)量變化方面的內(nèi)容將在第9至11章介紹。二、參數(shù)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)討論參數(shù)估計(jì)方法前需要了解數(shù)學(xué)期望(expectation)的概念和評(píng)價(jià)估計(jì)方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。(一)數(shù)學(xué)期望在抽樣分布中，已經(jīng)講述了從總體中抽出所有可能樣本的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，這里，樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是一種數(shù)學(xué)期望。例如，一個(gè)大豆品種的含油量為20%，測定一次可能是大于20%，再測定可能小于20%，大量反復(fù)測定后平均結(jié)果為20%，這時(shí)20%便可看作為該大豆品種含油量的數(shù)學(xué)期望，而每單獨(dú)測定一次所獲的值只是1個(gè)隨機(jī)變量。抽象地，隨機(jī)變量的數(shù)字特征是指隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值，本書以前各章常見的數(shù)學(xué)期望有平均數(shù)和方差等。求數(shù)學(xué)期望往往是求總體的特征參數(shù)表達(dá)式。對于離散型(間斷性)隨機(jī)變量y的分布列為：P{y=y.}=p.,其中，i=l,2,…，那么隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望E(y)為： 11E(y)=￡yp (8?1)ii=1這樣可以求得總體平均值。對于連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)y的數(shù)學(xué)期望E(y)為：E(y)=J+8yf(y)dy (8?2)其中f(y)為隨機(jī)變量y的概率密度函數(shù)，這樣可以求得總體均值。方差在前面已有大量應(yīng)用，這里用D(y)表示，有D(y)=E[y-E(y)]2 (8?3)這就是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。同理，離散型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為：D(y)=￡^y-E(y)1p (8?4)iii=1連續(xù)型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為：D(y)=J+8b-E(y)1f(y)dy (8?5)—8數(shù)學(xué)期望有這樣一些常用的性質(zhì)：(1)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)本身；(2)隨機(jī)變量與常數(shù)的乘積的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積；(3)多個(gè)隨機(jī)變量分別與常數(shù)的乘積的求和函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積的和；(4)多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的乘積的數(shù)學(xué)期望是多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積。(二)參數(shù)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估計(jì)可用不同的方法，后文將介紹矩法、最小二乘法和極大似然法等，使用不同的方法會(huì)得到不同的參數(shù)估計(jì)量(parameterestimator),各種估計(jì)量均有其優(yōu)點(diǎn)，評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性、相合性等。無偏性參數(shù)估計(jì)量的期望值與參數(shù)真值是相等的，這種性質(zhì)稱為無偏性，具有無偏性的估計(jì)量稱為無偏估計(jì)量。例如，在抽樣分布中已經(jīng)介紹了離均差平方和除以自由度得到的均方的平均數(shù)等于總體方差，即該均方的數(shù)學(xué)期望等于相應(yīng)總體參數(shù)方差，這就是說該均方估計(jì)量是無偏的。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值在樣本容量趨近于無窮大時(shí)與參數(shù)的真值相等的性質(zhì)稱為漸進(jìn)無偏性，具有漸進(jìn)無偏性的估計(jì)量稱為漸進(jìn)無偏估計(jì)量。有效性無偏性表示估計(jì)值是在真值周圍波動(dòng)的一個(gè)數(shù)值，即無偏性表示估計(jì)值與真值間平均差異為0，近似可以用估計(jì)值作為真值的一個(gè)代表。同一個(gè)參數(shù)可以有許多無偏估計(jì)量，但不同估計(jì)量的期望方差不同，也就是估計(jì)量在真值周圍的波動(dòng)大小不同。估計(jì)量的期望方差越大說明用其估計(jì)值代表相應(yīng)真值的有效性越差；否則越好，越有效。不同的估計(jì)量具有不同的方差，方差最小說明最有效。如果一個(gè)無偏估計(jì)量相對與其它所有可能無偏估計(jì)量，其期望方差最小，那么稱這種估計(jì)量為一致最小方差無偏估計(jì)量。相合性用估計(jì)量估計(jì)參數(shù)涉及一個(gè)樣本容量大小問題，如果樣本容量越大估計(jì)值越接近真值，那么這種估計(jì)量是相合估計(jì)量。除以上三方面標(biāo)準(zhǔn)外，還有充分性與完備性也是?？紤]的。充分性指估計(jì)量應(yīng)充分利用樣本中每一變量的信息；完備性指該估計(jì)量是充分的唯一的無偏估計(jì)量。前幾章介紹了平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，實(shí)際上估計(jì)總體平均數(shù)與方差有多種統(tǒng)計(jì)數(shù)或公式，如平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)等，方差有以(n-1)或n為除數(shù)的方法等。經(jīng)比較算術(shù)平均數(shù)與由自由度n-1計(jì)算的方差最符合上述各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的綜合要求，因而得到廣泛的應(yīng)用。

第二節(jié)矩法一、矩的概念矩(moment)分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。對于樣本y,y，…，y，各觀測值的k次方的平12n1均值，稱為樣本的k階原點(diǎn)矩，記為yk，有yk=￡yk，例如，算術(shù)平均數(shù)就是一階原點(diǎn)矩;ni=1 ' 用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為樣本的k階中心矩，記為(y-y)k或Q，有(y-y)k=丄￡(y-y)k，例如，樣本方差丄￡(y-y)2就是二階中心矩。k ni=1i ni=1'對于總體y，y，…，y，各觀測值的k次方的平均值，稱為總體的k階原點(diǎn)矩，記為12NE(yk)，有E(yk)=丄Nyk；用觀測值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為總體的Ni=1ik階中心矩，記為E[(y-卩)k]或卩，有E[(y-p)k]= ￡(y-p)k。k Ni=1i二、矩法及矩估計(jì)量所謂矩法就是利用樣本各階原點(diǎn)矩來估計(jì)總體相應(yīng)各階原點(diǎn)矩的方法，即—1yk=￡yk—E(yk) (8?6)ni=1i并且也可以用樣本各階原點(diǎn)矩的函數(shù)來估計(jì)總體各階原點(diǎn)矩同一函數(shù)，即若Q=f(E(y)，E(y2),???,E(yk))則 _ _/Xq=f(y，2,…,,)由此得到的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量。[例&1] 現(xiàn)獲得正態(tài)分布N(P，Q2)的隨機(jī)樣本y，y，…，y，要求正態(tài)分布1 2nN(p,Q2)參數(shù)卩和q2的矩估計(jì)量。首先，求正態(tài)分布總體的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩：e(y)=J+8yf(y)dy=J+8y1-^^exp神2兀1-^^exp神2兀Q(y-卩)22q2(此處exP-丁表示自然對數(shù)底數(shù)e的丁[的指數(shù)式，即丄才])EE[(y-n)]2=J+8(y-n)2f(y)dy=J+8(y-n)2?丄exp-8 -8 v2kq(y-A)2 ,一_￡2_dy=Q22q2然后求樣本的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩，為八 1 1 . /卩=y= ￡y，卩=s2= ￡(y-y)2ni=1i2 ni=1i最后，利用矩法，獲得總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)n=y」￡y，Q2=s2=丄￡(y-y)2ni ni

故總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，方差的分母為n。單峰分布曲線還有二個(gè)特征數(shù)，即偏度(skewness)與峰度(kurtosis),可分別用三階中心矩卩和四階中心矩卩來度量。但卩和卩是有單位的，為轉(zhuǎn)化成相對數(shù)以便不同分布之間的比3434較，可分別用偏度系數(shù)和峰度系數(shù)作測度。偏度系數(shù)(coefficientofskewness)是指3階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的3次方之比；峰度系數(shù)(coefficientofkurtosis)是指4階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的4次方之比。當(dāng)偏度為正值時(shí)，分布向大于平均數(shù)方向偏斜；偏度為負(fù)值時(shí)則向小于平均數(shù)方向偏斜當(dāng)偏度的絕對值大于2時(shí)，分布的偏斜程度嚴(yán)重。當(dāng)峰度大于3時(shí)，分布比較陡峭，峰態(tài)明顯，即總體變數(shù)的分布比較集中。由樣本計(jì)算的偏度系數(shù)cs=n迫由樣本計(jì)算的偏度系數(shù)cs=n迫3二丄￡(y—y)33 ni=l'峰度系數(shù)ck=n「64二丄￡(y—y)44 ni=i'-￡(y-y)2ni=1 ，￡(y-y)2ni=i'(8?7)(8?8)[例8.2]計(jì)算表3.4數(shù)據(jù)資料(-40行水稻產(chǎn)量)所屬分布曲線的偏度和峰度。首先，計(jì)算樣本的2、3、4階中心矩n， ，以及標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值:234n=-￡(y—y)2=1303.735ni=1 'n=-￡(y—y)3=3953.891ni=1 'n=-￡(y—y)4=4.67729X106ni=l' 6二示二J-￡(y—y)2=36.1072 'n1i然后，根據(jù)矩法原理，該分布的偏度與峰度估計(jì)值分別為：cs=n/63=0.08493ck=n/64=2.7523因此，說明資料比較集中在平均數(shù)左右，分布曲線并不是特別陡峭。[例&3]例6.9為研究秈粳稻雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機(jī)抽取76個(gè)系進(jìn)行試驗(yàn)，每系隨機(jī)取2個(gè)樣品測定干草重(g/株)。按單向分組方差分析進(jìn)行分析，結(jié)果見表6.9。此處用來說明由矩法估計(jì)誤差62、遺傳方差62和干草的遺傳力h2。T因?yàn)?6個(gè)系是隨機(jī)抽取的，因而為隨機(jī)模型。方差結(jié)果說明系間差異顯著，因而系間效應(yīng)存在。根據(jù)矩法，首先應(yīng)求出系間和誤差變異來源的樣本均方和總體期望均方(表6.9)。然后，利用矩估計(jì)原理，令樣本的均方與總體相應(yīng)變異的期望均方相等，從而求出62和62的T矩估計(jì)值。此處E(MS系統(tǒng)間)=E[Tt-E(Tt)]2，(Tt為各個(gè)系統(tǒng)的總和數(shù))=62+n62TE(MS)=E@),(e為誤差)誤差=62因而&2=17.7762+262=72.79T

c?2=(72.79-17.77)/2=27.51T27.5127.51+17.77=60.76%C27.5127.51+17.77=60.76%h2=g=g=t C2c2+C2c2+C2pgeT第三節(jié)最小二乘法從總體中抽出的樣本觀察值與總體平均數(shù)是有差異的，這種差異屬于抽樣誤差。因而，在總體平均數(shù)估計(jì)時(shí)要盡可能地降低這種誤差，使總體平均數(shù)估計(jì)值盡可能好。參數(shù)估計(jì)的最小二乘法就是基于這種考慮提出的。其基本思想是使誤差平方和最小，達(dá)到在誤差之間建立一種平衡，以防止某一極端誤差對決定參數(shù)的估計(jì)值起支配地位。這有助于揭示更接近真實(shí)的狀況。具體方法是為使誤差平方和Q為最小，可通過求Q對待估參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0,以求得參數(shù)估計(jì)量。[例&4]用最小二乘法求總體平均數(shù)卩的估計(jì)量。若從平均數(shù)為卩的總體中抽得樣本為y「y2、y3、…、yn，則觀察值可剖分為總體平均數(shù)卩與誤差ei之和，iy=^+eii總體平均數(shù)卩的最小二乘估計(jì)量就是使丁‘與卩間的誤差平方和為最小，即Q=Ze2=￡(y-“)2iii=1為最小。為獲得其最小值，求Q對卩的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0,可得：=-2￡(y-R)=0即 i=1'即總體平均數(shù)的估計(jì)量為：1n

i?=-￡y.ni=1i因此，算術(shù)平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計(jì)。這與矩法估計(jì)是一致的。此處順便介紹估計(jì)離均差平方和Q'=￡(y-y)2的數(shù)學(xué)期望：iEQ')=E[￡(y—y)2]=E[￡(y—?—y+?)2]ii=E[￡(y—?)2-2￡(y—?)(y—?)+￡(y—?)2]ii=E[￡(y—?)2-￡(y—卩)2]=nc2—nc2/ni=(n-1)c2因而，c2估計(jì)為：c2=Q'..(n—1)=￡(y—刃2/(n—1)i與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。[例8.5]求例6.13的兩向分組方差分析資料缺1個(gè)小區(qū)(表8.1)的最小二乘估計(jì)量和估計(jì)值。從第6章可知，這種資料模式的線性模型為：y=?+t+p+￡。該模型的約束條件ij ijiji=1j=1為：￡t=0，￡0i=1j=1Q=￡￡€2二工工(y-^-T—卩)2為最小時(shí)可以求出效應(yīng)和缺失小區(qū)y的估計(jì)量，即ijijijei=1j=1TOC\o"1-5"\h\z=￡￡2(y..—A—t—卩)(—1)=0

i=1j=1 ” 1 7=￡2(y..—卩—T.—卩)(—1)=0

.=1 .1.-=￡2(y..—卩—T.一卩)(—1)=0

i=1 " 1 .=￡￡2(y..—y—T.—0)=0

i=1j=1 ” 1 .從而，最小二乘估計(jì)量分別為：卩=y=丄￡￡y..ari=1j=1ijT=y.—y=-￡y..—丄￡￡y..i i rj=1ijari=1j=1ij卩.=y.—y=￡y..— ￡￡y..jj ai=1ijari=i.=1ijTOC\o"1-5"\h\z1r1 a1 a ry=n+T.+p.=-￡y.+-￡y.—丄￡￡y..i.r.=1 .a .=1 .ar .=1 .=1 .表8.1生長素處理豌豆的試驗(yàn)結(jié)果處理(A)-組(B)總和Ti平均yiIIIIIIIV對照(CK)6062616024360.8赤霉素656568ye198+ye動(dòng)力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌吟6265626425363.3馬來酸6162626525062.5總和T..——375382377310+兒T=1444+y”TOC\o"1-5"\h\z因而表8.1中，缺失小區(qū)的估計(jì)值可由下式求出：198+y310+y144+4yy= e+ e e4 6 4x6解上述方程，最小二乘估計(jì)值為：y=65.6。丿e缺區(qū)估計(jì)是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。不過，試驗(yàn)中盡可能不要缺區(qū)，因?yàn)槿眳^(qū)估計(jì)盡管可以估計(jì)缺區(qū)的值，但是誤差的自由度將減少，本試驗(yàn)的誤差自由度將減少1。一般地，若m個(gè)自變數(shù)X］、x2、x3、…、xm與依變數(shù)y存在統(tǒng)計(jì)模型關(guān)系y=f(x,x，…,x；0,0，…,0)+￡ (8?9)TOC\o"1-5"\h\z1 2m1 2k其中，0，0，…，0為待估參數(shù)。通過n次觀測(n>k)得到n組含有1 2 kX，x，…，x，y(i=1，2..”n)的數(shù)據(jù)以估計(jì)0，0，…，0。其最小二乘估計(jì)值為使1i 2i mii 1 2k

Q=￡€2=￡[y-f(x,x，…，x；0,0，…，0)]2 (8?10)i 1i 2i mi12ki=1 i=1為最小的0，0，…，0。這種估計(jì)方法稱為參數(shù)估計(jì)的最小二乘法(leastsquares)，或最小平12k方法。第9章將應(yīng)用最小二乘法估計(jì)線性回歸中有關(guān)參數(shù)的估計(jì)量，此處不再贅述。第四節(jié)極大似然法極大似然法(maximumlikelihoodmethod)是參數(shù)估計(jì)的重要方法。首先，通過舉例來說明其思路。例如，有1個(gè)射手射擊3次，命中0次。試問該射手的命中概率最有可能為3個(gè)命中概率：1/5、8/15和4/5中的哪一個(gè)？回答該問題可以從兩方面來看，一方面，該射手的命中率為0，與此最接近的命中概率為1/5，即1/5最有可能；另一方面，分別假定該射手的命中率為1/5、8/15和4/5，根據(jù)二項(xiàng)分布原理分別計(jì)算出該射手射擊3次命中0次的概率分別為：C0（-）0（1-C0（-）0（1--）335517283375C。（-^。仃-—）33-5 -5343337544C0（）。（1——）335 5273375因此，選擇使事件發(fā)生概率最大的可能命中概率為-/5，從而認(rèn)為該射手的命中概率最有可能為-/5。這種參數(shù)估計(jì)方法稱為極大似然法。極大似然法，包括二個(gè)步驟：首先建立包括有該參數(shù)估計(jì)量的似然函數(shù)(likelihoodfunction)，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出似然函數(shù)達(dá)極值時(shí)的參數(shù)估計(jì)量或估計(jì)值。上面根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算概率，因而包含有待估概率的二項(xiàng)分布便是似然函數(shù)，它是關(guān)于待估參數(shù)的函數(shù)。由于試驗(yàn)結(jié)果是由總體參數(shù)決定的，那么參數(shù)估計(jì)值就應(yīng)該使參數(shù)真值與試驗(yàn)結(jié)果盡可能一致，似然函數(shù)正是溝通參數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果一致性的函數(shù)。一、似然函數(shù)對于離散型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是多個(gè)獨(dú)立事件的概率函數(shù)的乘積，該乘積是概率函數(shù)值，它是關(guān)于總體參數(shù)的函數(shù)。例如，一只大口袋里有紅、白、黑3種球，采用復(fù)置抽樣50次，得到紅、白、黑3種球的個(gè)數(shù)分別為-2，24，-4，那么根據(jù)多項(xiàng)式的理論，可以建立似然函數(shù)為：其中P1，p2,P3分別為口袋中紅、白、黑3種球的概率(p3=1-pi-p2)，它們是需要估計(jì)的。50!12!24!14!50!12!24!14!（p1）12（p2）24（p3）14對于連續(xù)型隨機(jī)變量，似然函數(shù)是每個(gè)獨(dú)立隨機(jī)觀測值的概率密度函數(shù)的乘積，則似然函數(shù)為：L（0）=L（y，y，…，y；0）=f（y；0）f（y；0）???f（y；0） （8?11）12n12n若y1服從正態(tài)分布N（p,Q2）,則0=（卩，q），上式可變?yōu)椋海▂—W）2 （y——卜I）2 1L（p, Q）= 「e— 2。2 … 「e— 2。2 =（ 「）ne—2。2[（y1-W）2+…+（y”—W）2] （8?12）2兀Q 2兀。 2兀。

二、極大似然估計(jì)所謂極大似然估計(jì)就是指使似然函數(shù)為最大以獲得總體參數(shù)估計(jì)的方法。其中，所獲得的估計(jì)總體參數(shù)的表達(dá)式稱為極大似然估計(jì)量，由該估計(jì)量獲得的總體參數(shù)的估計(jì)值稱為總體參數(shù)的極大似然估計(jì)值。為了計(jì)算上的方便，一般將似然函數(shù)取對數(shù)，稱為對數(shù)似然函數(shù)，因?yàn)槿?shù)后似然函數(shù)由乘積變?yōu)榧邮?，其表達(dá)式為：InL(0)=InL(y,y,…，y；0)=￡Inf(y,0) (8?13)12nii=1通過對數(shù)似然函數(shù)和似然函數(shù)的極大化以估計(jì)總體參數(shù)的結(jié)果是一致的，一般說來，前者在計(jì)算上要容易處理些。因此，往往利用對數(shù)似然函數(shù)極大化的方法來獲得極大似然估計(jì)。求=￡詁(y「=￡詁(y「；0「i=1k由此獲得總體參數(shù)的極大似然估計(jì)量。［例&6］設(shè)y,y，…，yN(p,Q2)參數(shù)的極大似然估計(jì)量。y1，0=(0，0，…，0)，有12lQlnL（y,y，…,y；0,0，…,0）Q0 1 2 n 1 2 lk0，…,0)=0(k=1, l) (8?14)2l是正態(tài)總體Ng,Q2)的隨機(jī)樣本，求正態(tài)分布似然函數(shù)為：Lg,Q2）=n^^exp[—（yi 池]=[-^-}2exp[—-—￡（y—卩）2]i=]丁2兀o 2q2 12兀Q2丿 2q2曰z取對數(shù)，得：lnL（卩,lnL（卩,°2）=—:ln（2K）—:ln°2—12°2￡（y.-卩）2ii=1那么似然方程組為：Q 1——lnL（y,°2）=——￡（y一卩）=0即 °2.i<1Q n1 lnL@,°2）= + ￡（y一卩）2=02 2°2 2°41z解得：1-n卩=一￡y.=yni=1z°2=丄￡（y—A）2n.=1 z因此，正態(tài)分布總體平均數(shù)的極大似然估計(jì)量為：d=1￡y=y。當(dāng)總體平均值為未知ni=1i時(shí)，方差估計(jì)量為°2=丄￡(y—y)2；當(dāng)總體平均值為已知時(shí)，方差估計(jì)量為ni=1i°2=丄￡(y—d)2。ni=1i［例&7］求紅、白、黑球事例中p,p,p的極大似然估計(jì)值。

50！由12!24；14!（pi）12（p2）24（p3）14可獲得對數(shù)似然函數(shù)InL（p,p,p）=C+12Inp+24Inp+14Inp1 2 3 1 2 3=C+12Inp+24Inp+14ln（1一p—p）1212其中，C為常數(shù)。分別求InL（pjp2，1-pi—p2）對P],p2的偏導(dǎo)數(shù)，并令為0,得似然方程組:lnL（p，p，1—p—p）=—^ — （—1）=0dp 1 2 1 2p1—p—p<11 1 2d 24 14 lnL（p，p，1—p—p）=—+ （—1）=0dp 1 2 1 2p1—p—p2212聯(lián)立求解，得:p=6/2冷,=12/2歷=7/251 2 3顯然，極大似然估計(jì)值p，p，p等于其觀測頻率。123[例&8]兩個(gè)親本的基因型分別為AABB和aabb，這兩個(gè)親本雜交后F2出現(xiàn)了4種基因型，分別為A_B_、A_bb、aaB_和aabb，得到四種基因型的個(gè)數(shù)分別為c、d、e、f已知AA和BB兩對基因間存在連鎖關(guān)系，現(xiàn)欲估計(jì)重組率？設(shè)重組率為r,根據(jù)遺傳學(xué)推導(dǎo)，可以得到4種基因型的概率見表&2。表8.2F2群體基因型的分離情況基因型 2^.ABAbbaaBaabb總數(shù)觀察得到基因型個(gè)數(shù)c(289)d(26)e(29)f(76)n(420)概率2+(1—r)241-(1-r)241—(1—r)24(1—r)241首先，通過表&3介紹由兩對連鎖主基因控制的F2群體16種基因型的概率計(jì)算出4種表現(xiàn)型的概率（表8.2）。表8.3只2群體的基因型及其概率配子及概率ABr2 2^-Ab(1—r)2aB(1—r)2abri2AB r.，''‘2AABBr2/4AABbr(1—r)/4AaBBr(1—r)/4AaBbr2?：4Ab(1—r)/2AABbr(1—r)?4AAbb(1—r)24AaBb(1—r)2/4Aabbr(1—r)?4aB(1—r)2AaBBr(1—r)4AaBb(1—r)2/4aaBB(1—r)2/4aaBbr(1—r)?4abrl2AaBbr2/4Aabbr(1—r”4aaBbr(1—r)/4aabbr2J4按多項(xiàng)式分布，可以根據(jù)概率函數(shù)得到似然函數(shù)為:(8?15)(8?16)(8?17)n! J2+(1—r)21cf1—(1—r)2 J1—(1—r)2(8?15)(8?16)(8?17)c!d!e!f!I4II4II4II4I若以0=（1-r）2代入上式，則似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù)分別為：L咲chf!I竽｝C擰｝d｛字｝e佇｝f2 I0 1一0 0lnL（0）=k+cln[- ]+（d+e）ln[- ]+fln[]（k是常數(shù)項(xiàng)）4 4 4對上式求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)為0，可得方程：

TOC\o"1-5"\h\zc d+e f 八\o"CurrentDocument"-+=0

2+o I-。 e上式化解為一元二次方程ne2-(c-2d—2e+f)-2f=0入(c-2d-2e-f)±、：'(c-2d-2e-f)2+8fn z 、e= (8?18)2n在e的兩個(gè)解中取一個(gè)符合遺傳規(guī)律的解，那么，重組率的解為：r=1-扁\對于本例，有 e(289-2X26-2x29+76)±<(289-2x26-2x29+76)2+8x76x420—2x420=0.1226±0.6140取正根，e=0.7366，由此，r—1-J0.7366=0.142。統(tǒng)計(jì)理論已證明：重組率方差估計(jì)量為：(1-e統(tǒng)計(jì)理論已證明：重組率方差估計(jì)量為：(1-e)(2+0)2n(1+26)(8?⑼對于本例，有—0.019sG)=JD?)=](1-0.7366)(2+0.7366)

S廠_丫? 2x420x(1+2x—0.019三、關(guān)于三種估計(jì)方法的討論通過上述3種參數(shù)估計(jì)方法已獲得總體平均數(shù)、方差的估計(jì)量。對于總體平均數(shù)的估計(jì)量，3種估計(jì)方法都具有無偏性、有效性和相合性；對于總體方差的估計(jì)量，由離均差平方和期望值所得的是無偏的，但由矩法和極大似然法所得兩種估計(jì)量是有偏的，但都是相合的；最小二乘法無直接的總體方差估計(jì)量。本章介紹了點(diǎn)估計(jì)的3種常用方法，但其要求不同。極大似然法要求已知總體的分布，才能獲得估計(jì)量，另外兩種方法對分布沒有嚴(yán)格的要求。一般地，極大似然法估計(jì)結(jié)果大多具有無偏性、有效性和相合性等優(yōu)良的估計(jì)量性質(zhì)，因此被廣泛采用，但也并不是該法估計(jì)的結(jié)果就一定最好，例如極大似然方法估計(jì)平均數(shù)盡管是無偏估計(jì)，但其估計(jì)的方差是有偏