中考數(shù)學專題復習：相似圖形

-.z.中考數(shù)學專題復習相似圖形【根底知識回憶】成比例線段：1、線段的比：如果選用同一長度的兩條線段ＡＢ，ＣＤ的長度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們的比，即：=2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果=則四條線段叫做同比例線段，簡稱3、比例的根本性質(zhì)：=<＝>4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【提醒：表示兩條線段的比時，必須使示用一樣的，在用了一樣的前提下，兩條線段的比值與用的單位無關即比值沒有單位?！慷?、相似三角形：1、定義：如果兩個三角形的各角對應各邊對應則這兩個三角形相似2、性質(zhì)：⑴相似三角形的對應角對應邊⑵相似三角形對應點的比、對應角平分線的比、對應的比都等于⑶相似三角形周長的比等于面積的比等于判定：⑴根本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似⑵兩邊對應且夾角的兩三角形相似⑶兩角的兩三角形相似⑷三組對應邊的比的兩三角形相似【名師提醒：1、全等是相似比為的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等，一般要先證判定方法中最常用的是三組對應邊成比例的兩三角形相似多用在點三角形中】三、相似多邊形：1、定義：各角對應各邊對應的兩個多邊形叫做相似多邊形2、性質(zhì)：⑴相似多邊形對應角對應邊⑵相似多邊形周長的比等于面積的比等于【名師提醒：相似多邊形沒有專門的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進展判定】位似：1、定義：如果兩個圖形不僅是而且每組對應點所在直線都經(jīng)過則這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做這時相似比又稱為2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點到位似中心的距離之比都等于【名師提醒：1、位似圖形一定是圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個圖形放大或2、在平面直角坐標系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比位r，則位似圖形對應點的坐標的比等于或】【典型例題解析】考點一：比例線段例1

如圖，△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是，cosA的值是．〔結(jié)果保存根號〕考點：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．分析：可以證明△ABC∽△BDC，設AD=*，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可列出方程，求得*的值；

過點D作DE⊥AB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值．點評：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關系可以求出線段之間的數(shù)量關系；在求cosA時，注意構造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解．對應訓練2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，假設AC=2，則AD的長是〔〕A．B．C．D．考點二：相似三角形的性質(zhì)及其應用例2△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則ABC與△DEF的面積之比為．對應訓練2．△ABC∽△A′B′C′，相似比為3：4，△ABC的周長為6，則△A′B′C′的周長為．考點三：相似三角形的判定方法及其應用例3如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC=BC．圖中相似三角形共有〔〕A．1對 B．2對 C．3對 D．4對考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)．例4〔1〕如圖〔1〕，正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果〔不必寫計算過程〕；

〔2〕將圖〔1〕中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖〔2〕，求HD：GC：EB；

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．對應訓練3.如圖，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于點O．則以下四個結(jié)論中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四點在同一個圓上，一定成立的有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓周角定理．4.在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

〔1〕如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

〔2〕如圖2，連接AA1，CC1．假設△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

〔3〕如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：〔1〕由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)；〔2〕由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積；

〔3〕由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．解答：解：〔1〕由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…〔2分〕

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

〔2〕∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．

∴，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=；

〔3〕①如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

當P在AC上運動與AB垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7．點評：此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應關系．考點四：位似例5如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標系的*軸、y軸的正半軸上，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點O′為中心的位似圖形，AC=3，假設點A′的坐標為〔1，2〕，則正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是〔〕A．B．C．D．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．分析：延長A′B′交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的對應訓練5．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標為〔1，0〕，則E點的坐標為〔〕A．〔，0〕B．〔C．D．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．【聚焦中考】1．矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，假設四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=〔〕A． B． C． D．2考點：相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換〔折疊問題〕．2．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在*軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，則點B′的坐標是〔〕A．〔-2，3〕 B．〔2，-3〕 C．〔3，-2〕或〔-2，3〕 D．〔-2，3〕或〔2，-3〕考點：相似多邊形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．3.在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F，假設EC=2BE，則的值是〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．4.為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：①BC，∠ACB；

②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有〔〕A．1組 B．2組 C．3組 D．4組F考點：相似三角形的應用；解直角三角形的應用．5．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為〔4，0〕，〔8，2〕，〔6，4〕．△A1B1C1的兩個頂點的坐標為〔1，3〕，〔2，5〕，假設△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為．考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．6．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成以下各題：

〔1〕試證明三角形△ABC為直角三角形；

〔2〕判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；

〔3〕畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與△ABC相似〔要求：用尺規(guī)作圖，保存痕跡，不寫作法與證明〕．考點：作圖—相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【備考真題過關】一、選擇題1．，則的值是〔〕A．B．C．D．2．如圖，△ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC．假設△ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為〔〕A．2B．3C．D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，則四邊形EFGH的周長是〔〕A．B．C．D．考點：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)．4．小用手機拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應線段是〔〕

A．FG B．FH C．EH D．EF考點：相似圖形．5.如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則以下結(jié)論正確的選項是〔〕A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL6.以下4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是〔〕A． B． C． D．7.如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的選項是〔〕A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．考點：相似三角形的判定．8．如圖，在△ABC中，EF∥BC，，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=〔〕A．9 B．10 C．12 D．13考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．9.如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理．10．〔2012?〕圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是〔〕A．點M B．點N C．點O D．點P11．如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O．假設點A的坐標是〔1，2〕，則點A′的坐標是〔〕A．〔2，4〕 B．〔-1，-2〕 C．〔-2，-4〕 D．〔-2，-1〕考點：位似變換；坐標與圖形性質(zhì)．二、填空題14.正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當BM=cm時，四邊形AB的面積最大，最大面積為cm2．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．15.如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ON⊥OM，假設AB=6，AD=4，設OM=*，ON=y，則y與*的函數(shù)關系式為?？键c：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．16.如圖，E是?ABCD的邊CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AD=4，，則CF的長為．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．17.如圖，在邊長一樣的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值是．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．18．如圖，利用標桿BE測量建筑物的高度，標桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為m．19.如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場M處的運發(fā)動林丹把球從N點擊到了對方的B點，網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM=米．考點：相似三角形的應用．20.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．紙板的兩條直角邊DE=40cm