潘春雷-平面幾何

2012年江蘇省高中數(shù)學(xué)夏令營平幾講座潘春雷2012年7月PAGEPAGE1平面幾何選講1.如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別在BC、CD上，且BE+DF=EF，試求∠EAF的度數(shù).2.如圖，A、B、C、D為直線上四點，且AB=CD，點P為一動點，若∠APB=∠CPD，試求點P的軌跡．3.如圖，以△ABC的底邊BC為直徑作半圓，分別與邊AB，AC交于點D和E，分別過點D，E作BC的垂線，垂足依次為F，G，線段DG和EF交于點M。求證：AM⊥BC.4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，I是△ABC的內(nèi)心，AI交⊙O于點D．求證：AB，BC，CA成等差數(shù)列的充要條件是S△IBC＝S△DBC．

5．P為△ABC內(nèi)一點，直線AC，BP相交于點Q，直線AB，CP交于點R，已知AR＝RB＝CP，CQ＝PQ，求∠BRC．6．在△ABC中，AB＝AC，∠B的平分線與AC交于點D，且BC＝BD＋AD．求∠A．7．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P，Q為三角形內(nèi)兩點，∠PAB＝∠QAC＝20°，∠PCB＝∠QCA＝10°，求證：B，P，Q三點共線．__B_C_A_P_Q8．設(shè)△ABC內(nèi)存在一點F，滿足∠AFB＝∠BFC＝∠CFA，直線BF，CF分別交AC，AB于點D，E．求證：AB＋AC≥4DE．9.上題中，證明：AF、ED、BC的中點M、N、P共線．

10．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC．又D，E分別是△APB及△APC的內(nèi)心．證明：AP，BD，CE交于一點．11．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，且內(nèi)切圓與三邊BC，CA，AB分別相切于點K，L，M，過B且平行于MK的直線交直線LM，LK于點R，S．求證：∠RIS＜90°．12．如圖，自⊙O外一點P引圓的兩條切線PE、PF，E、F為切點，過P點任意引圓的割線交⊙O于A，B，交EF于C．證明：EQEQ\F(2,PC)=EQ\F(1,PA)+EQ\F(1,PB)．13．過圓外一點P向⊙O作切線PA，PB與割線PCD，過點C作PA的平行線，分別交AB，AD于點E，F(xiàn)，求證：CE＝EF．

14．如圖，PA，PB分別與⊙O切于點A，B，⊙O的割線PCD交AB于點E，EF⊥PB于點F．求證：∠CFE＝∠DFE．15．P為⊙O外一點，PA切⊙O于點A，割線PBC，BD∥AP交AC于點D，OP交BD于點M，BD中點為N．求證：ON⊥AM．16．I是△ABC的內(nèi)心，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．求證：eq\f(IA2,bc)＋eq\f(IB2,ac)＋eq\f(IC2,ab)＝1．17．四邊形兩組對邊延長線分別相交且交點連線與四邊形的一條對角線平行．證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連線．

18．在△ABC中，O是外心，I是內(nèi)心，∠C＝30°，邊AC上的點D與BC邊上的點E，使AD＝BE＝AB，求證：OI⊥DE，且OI＝DE．__M_A_D_C_B_E_O_I19．設(shè)△ABC不是直角三角形，O為△ABC的外心，H為垂心，直線OH交AC于點K，交AB于點L，已知OK＝HL，求∠A的值．__L_H_E_F_B_C_D_A_O_K20.設(shè)E、F分別為四邊形ABCD的邊BC、CD上的點，BF與DE交于點P，若∠BAE=∠FAD，則∠BAP=∠CAD._G_E_F_B_C_D_A21.在凸四邊形ABCD中，∠CAB＝∠CAD，E，F(xiàn)分別是CD，BC_G_E_F_B_C_D_A

22.如圖，在四邊形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面積比是3∶4∶1，點M，N分別在AC，CD上，滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N共線。求證：M與N分別是AC和CD的中點.23．AF、BE、CD分別是△ABC的角平分線，中線與高，且AC＝b，AB＝c．求證：AF，BE，CD相交于一點的充要條件是cosA＝eq\f(c,b＋c)．24.如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線DE和AB交于點M，DF和AC交于點N．求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．

25.銳角△ABC中，AB>AC,O點是它的外心,射線AO交BC邊于D點.OABCD已知：cosOABCD求證：△ABD與△ACD的周長相等.26．設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，AP，BP，CP依次交BC，CA，AB于點A1，B1，C1，求證：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．27．△ABC中，∠C＝2∠B，P為△ABC內(nèi)滿足AP＝AC，PB＝PC的點，求證：AP是∠A的一條三等分線．

28．設(shè)D為△ABC的邊BC上一點，點P在線段AD上，過點D作一直線分別與AB，PB交于點M，E，與線段AC，PC的延長線交于點F，N．如果DE＝DF，求證：DM＝DN．29．在一個非鈍角三角形ABC中，AB＞AC，∠B