華師大版數學七年級上冊 5.1相交線

第5章相交線與平行線5.1相交線1.對頂角【基本目標】1.在現實情境中識別對頂角，理解對頂角的性質；能畫出對頂角，并能利用對頂角相等的性質進行簡單的計算以及解決一些相關的實際問題.2.經歷觀察、猜想、說理、交流等過程，進一步發(fā)展空間觀念和有條理的表達能力.3.在動手實踐、自主探索、合作交流中獲得成功的體驗，建立自信心；感受數學與生活的密切聯系，增強運用數學的意識.【教學重點】通過觀察思考，了解對頂角的概念及其性質；進一步發(fā)展空間觀念和有條理的表達能力.【教學重點】從復雜圖形中分解出基礎圖形，提高數學學習能力.一、情境導入,激發(fā)興趣觀察下列圖片，你們覺得這些圖片有什么共同點嗎？【教學說明】通過觀察圖片，找到相交線的形象，激發(fā)探究興趣，滲透數學來源于生活的理念.二、合作探究，探索新知1.請同學們畫兩條相交的直線，觀察它們有幾個交點？形成幾個小于平角的角？2.學生畫圖，觀察后回答，教師畫圖總結.圖1（1）兩條直線相交，只有一個交點.（2）形成4個小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.【教學說明】學生畫圖解答，教師小結板書.3.你知道∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠1與∠4在位置和數量上有什么關系？請?zhí)钕卤?【教學說明】學生自主探究，通過填表找到這些角的位置和數量關系.4.請你根據上面的探究，觀察思考∠1與∠3、∠2與∠4位置和數量上有什么關系？請?zhí)钕卤?，并說明理由.5.教師歸納總結：（1）對頂角：如果兩個角有一個公共頂點，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，那么這樣的兩個角叫做對頂角.如圖1，∠1與∠3是對頂角.（2）對頂角的性質:對頂角相等.【教學說明】這是本節(jié)課的重點和難點，對于這些角的位置，學生描述可能不準確，教師一定要結合圖形，讓學生仔細觀察，掌握特征.對頂角相等需要通過推理得到，要求學生寫出推理的過程，以訓練學生推理的能力.三、示例講解，掌握新知例1如圖，直線AB、CD相交于點O，∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度數.分析：∠1和∠2有什么關系？∠1和∠3有什么關系？∠2和∠4有什么關系？解：∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°—∠1＝180°—30°＝150°.∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝150°.【教學說明】要充分應用對頂角相等來解決問題，注意推理格式的規(guī)范性.例2如圖，直線AB與CD相交于點O,射線OE是∠BOD的平分線，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC,∠BOE，∠EOD的度數.【教學說明】這個圖形比較復雜，教師可做適當的引導，注意過程的規(guī)范性和合理性.四、練習反饋，鞏固提高1.如圖，直線AB，CD相交于點O，∠1的對頂角是，∠4的對頂角是.第1題圖第2題圖2.如圖，直線AB，CD相交于點O，且∠AOC+∠BOD=118°，則∠AOD=.3.如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，OE是∠AOC的平分線，那么OF是∠BOD的平分線嗎？為什么？【教學說明】學生獨立完成，對于第3題，圖形比較復雜，教師可以做適當的引導.注意解題過程的規(guī)范性.【答案】1.∠3，∠22.121°3.解：OF是∠BOD的平分線.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.∴∠BOF=∠DOF∴OF平分∠BOD五、師生互動，課堂小結1.兩條直線相交，只有一個交點.2.對頂角：如果兩個角有一個公共頂點，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，那么這樣的兩個角叫做對頂角.3.對頂角的性質:對頂角相等.【教學說明】教師引導學生對本節(jié)課知識進行總結，加深印象，對出現的疑惑及時予以解答，使學生更好的掌握本節(jié)課知識.完成本課時對應的練習本節(jié)課的教學活動設計是建立在“以學生的發(fā)展為本，為學生的終身學習奠定基礎”的執(zhí)教理念上，融入了新課標的思想內涵，在重視對數學知識形成過程中發(fā)現和探究的同時，也十分重視對學生學習能力的培養(yǎng)，突出了學生的主體地位.使學生學會了將生活問題數學化.教師引導學生觀察生活中的相交線，從中抽象出數學模型，然后讓學生動手畫圖——觀察——猜想——說理，從而認識了對頂角，發(fā)現了“對頂角相等”這一性質.發(fā)現數學理論的過程也是不斷反思、不斷提出問題的過程.這種反思應該始終伴隨著活動的進行而開展，否則會丟掉很多很有價值的發(fā)現新知識的機會.學生在面對較難問題時，要學會合作交流，學會理性地思考，因為在現代社會中，學會表達與交流尤為重要.2.垂線【基本目標】1.使學生理解垂線的含義與垂線的畫法；2.能理解點到直線的距離，理解垂線段的意義；3.能在學習中了解幾何在不同情況下的分類，并能在一個三角形中作出三角形的高.【教學重點】理解點到直線的距離以及垂線段最短.【教學重點】垂線公理及垂線段最短的應用.一、情境導入，激發(fā)興趣〔投影〕如圖，取兩根木條a、b，將它們釘在一起，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a、b所成的角是如何變化的?其中會有特殊情況出現嗎?當這種情況出現時,a與b相交所成的四個角分別是多少度？總結歸納：有，當∠α＝90°時，所成的四個角都是90°.【教學說明】在轉動的過程中，必須注意到變與不變，什么變，什么不變，為什么，怎么變？當有一個角是直角時，另外三個角也是直角，這個在原理上必須讓學生明白.二、合作探究，探索新知1.垂直定義（1）顯然，兩條直線相交有一個角是90°是一種特殊的情況.（2）當兩直線相交所構成的四個角中有一個為直角時，稱這兩直線互相垂直.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖，直線AB垂直于直線CD，記作AB⊥CD,垂足為O.【教學說明】圖形與語言的結合（轉化）是幾何中的一個難點，教師要進行示范.（3）在生產和日常生活中，兩條直線互相垂直的情形是很常見的,如：〔投影2〕你能再舉一些其它的例子嗎？【教學說明】舉出實際生活中的實例，加深學生對垂直定義的理解.同時，也使學生了解數學知識來源于生活，又在生活中有著廣泛的應用.2.過一點畫已知直線的垂線（1）如圖，已知直線AB和直線AB外一點P，過點P畫出直線AB的垂線，你能畫出多少條呢？學生畫圖，觀察后總結：只能畫一條.（2）如圖，你能經過直線AB上一點P，畫出垂直于直線AB的直線嗎？這樣的垂線能畫多少條呢？學生畫圖后總結：只能畫一條.【教學說明】作圖的方法，可以作為一個補充知識進行講解.在畫垂線時，不一定局限于三角板或是量角器，也應懂得利用身邊的東西.（3）通過以上的操作，你有什么發(fā)現？歸納總結：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.【教學說明】這是一個難點，重點強調在同一平面內.3.垂線段（1）演示：在黑板上固定木條l,l外一點P,木條a一端固定在點P，使之與l相交于點A.左右擺動木條a,l與a的交點A隨之變動,線段PA的長度也隨之變化，a與l的位置關系怎樣時，PA最短?小結：a與l垂直時，PA最短.這時的線段PA叫做點P到直線l的垂線段.【教學說明】讓學生觀察思考后回答，教師強調垂線段和垂線的區(qū)別.（2）〔投影3〕畫出PA在擺動過程中的幾個位置.如圖，點A1、A2、A3….在l上,連接PA1、PA2、PA3…，PO⊥l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3…的長短，可知垂線段PO最短.小結：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.簡單說成:垂線段最短.【教學說明】學生通過比較得出結論，可以再多畫一些線段進行比較.然后教師再舉出一些實例加深理解.（3）我們知道，連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，這里我們把直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.如上圖，PO就是點P到直線l的距離.【教學說明】教師強調點到直線的距離和兩點間的距離一樣是一個正值，是一個數量，所以不能畫距離，只能量距離.三、練習反饋，鞏固提高1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,則BD的范圍是()A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm2.到直線l的距離等于2cm的點有()A.0個B.1個C.無數個D.無法確定3.點P為直線m外一點,點A,B,C為直線m上三點,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線m的距離為()A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm如圖,AC⊥BC,C為垂足,CD⊥AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6，AC=6,那么點C到AB的距離是,點A到BC的距離是,點B到CD的距離是,A、B兩點的距離是.5.已知:如圖,直線AB,射線OC交于點O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.試判斷OD與OE的位置關系.【教學說明】對于第4題距離的理解是難點，要提醒學生注意觀察，第5題要注意推理的合理性和格式的規(guī)范性.【答案】1.D2.C3.D4.4.866.4105.解：OD⊥OE，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC.∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×180°=90°.∴OD⊥OE.四、師生互動，課堂小結1.當兩直線相交所構成的四個角中有一個為直角時，稱這兩直線互相垂直.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.2.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.3.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短,簡單說成:垂線段最短.4.我們把直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.【教學說明】教師引導學生對本節(jié)課知識進行總結，加深印象，重點是對于垂線段最短的理解和應用.對出現的疑惑及時予以解答，使學生更好的掌握本節(jié)課知識.完成本課時對應的練習.引入新課時，教師從學生的實際出發(fā)，關注學生的生活經驗和知識基礎，從兩根木條的轉動中讓學生發(fā)現它們的特殊位置，為新知識的探究學習做了較好的準備.以此來激發(fā)學生的參與興趣，感受由垂線組成圖形的規(guī)矩之美，從而產生親近數學的情感.新知探究部分，充分發(fā)揮學生的主體性，體現以人為本.讓學生畫一條直線，經過直線外一點畫一條垂線，可以讓學生們畫出了不同方位直線在不同側的垂線.初步體會了用作圖工具三角尺畫出的垂線比較規(guī)范，然后教師演示過直線上一點畫已知直線的垂線的方法并同步介紹作圖步驟.然后放手讓學生畫過直線上一點畫已知直線的垂線.大家通過動口交流、動手操作、合作學習，積極主動地投入到垂線畫法的探究過程中去，利于學生操作技能的形成和實踐能力的培養(yǎng).既發(fā)揮了學生的學習主動性，又體現了教師的指導作用，提高了學生學習的有效性.讓學生經歷畫圖——觀察——總結——歸納的過程，形成知識點.對于垂線段的內容，是本節(jié)課的難點，要讓學生通過比較，得出定義和性質，教師結合具體的實例加深學生的理解.3.同位角、內錯角、同旁內角【基本目標】1.理解同位角、內錯角、同旁內角的意義；2.會熟練地識別圖中的同位角、內錯角、同旁內角.【教學重點】同位角、內錯角、同旁內角的識別.【教學重點】較復雜圖形中同位角、內錯角、同旁內角的識別.一、情境導入，激發(fā)興趣1.如圖，直線AB交直線CD于點O，則從前面的學習中，我們也知道在相交所形成的四個角中，有些角是相鄰且互補，有些角是對頂角且相等的.2.如圖，直線AB分別與直線CD、直線EF都相交，交點分別為P、Q，則圖中存在著八個角.這八個角中，有相同頂點的角是對頂角或是相鄰且互補.那么其它沒有相同頂點的角之間，又有什么位置關系？【教學說明】從兩條相交直線引導到一條直線截兩條直線是一個比較正常、合理的方法，也比較能理順學生的思路.二、合作探究，探索新知如圖，直線AB、CD與EF相交（或兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截）構成個角.現在，我們來研究其中沒有公共頂點的兩個角的關系.（一）同位角1.定義：如圖，∠1和∠5，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關系的一對角叫做同位角.2.請你找出圖中還有哪幾對角構成同位角？3.兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有對同位角.【教學說明】主要是找兩個角的位置關系，注意語言的規(guī)范性.教師總結要強調同位角的特征.通過找其他的同位角，加深學生印象.（二）內錯角1.定義：如圖，∠3和∠5，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關系的一對角叫做內錯角.2.請你找出圖中還有哪幾對角構成內錯角？3.兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有對內錯角.(三)同旁內角1.定義：如圖，∠3和∠6，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關系的一對角叫做同旁內角.2.請你找出圖中還有哪幾對角構成同旁內角？3.兩條直線被第三條直線所截構成的八個角中，共有對同旁內角.【教學說明】注意總結方法和規(guī)律，與找同位角相比照，教師總結它們的特征.三、練習反饋，鞏固提高1.找出圖中所有的同位角、內錯角、同旁內角.2.如圖所示：（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直線、被第三條直線所截而成的.（2）∠2的同位角是，∠1的同位角是.（3）∠3的內錯角是，∠4的內錯角是.（4）∠6的同旁內角是，∠5的同旁內角是，（5）∠4與∠A是同旁內角嗎？3.如圖所示：（1）AD，BC被BD所截而成的內錯角是；（2）CD，AE被AC所截而成的內錯角是；（3）AD，BF被AE所截而成的同位角是；（4）BD，AE被AD所截而成的同旁內角是.4.如圖，四個圖