人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)【課本】5年級(jí)第15講-公約數(shù)與公倍數(shù)進(jìn)階

第十五講公約數(shù)與公倍數(shù)進(jìn)階

這一講我們來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)約數(shù)與倍數(shù)更深入的知識(shí)．首先來(lái)看一下最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)與原數(shù)之間的關(guān)系．兩個(gè)數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是k．那么可以假設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為、，其中a、b互質(zhì)．a(chǎn)a和b互質(zhì)而它們的最小公倍數(shù)可以表示為．通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)．由此可得：兩數(shù)的最大公約數(shù)乘以最小公倍數(shù)等于兩數(shù)乘積注意，這個(gè)性質(zhì)只在兩個(gè)數(shù)的時(shí)候有效，如果數(shù)更多就不成立，同學(xué)們可以嘗試舉例說(shuō)明．性質(zhì)雖然好用，但它要求給出最大公約數(shù)，最小公倍數(shù)和兩數(shù)中的一個(gè)才行．如果只給出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，能不能把原來(lái)的兩個(gè)數(shù)都求出來(lái)呢？例題1．（1）兩個(gè)自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公約數(shù)是18，最小公倍數(shù)是216．這兩個(gè)數(shù)是多少？

（2）若兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是18，最小公倍數(shù)是1080．這兩個(gè)數(shù)有哪幾組？「分析」最大公約數(shù)是18，說(shuō)明兩個(gè)數(shù)都是18的倍數(shù)，可以分別設(shè)為和，且a、b互質(zhì)．接下來(lái)，我們討論一下a、b的取值．練練習(xí)1（1）兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是432．求這兩個(gè)數(shù)．

（2）若兩個(gè)不成倍數(shù)關(guān)系的自然數(shù)，最大公約數(shù)是45，最小公倍數(shù)是900．求這兩個(gè)數(shù)．經(jīng)過(guò)前面的例題，我們知道，如果知道兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，就可以把這兩個(gè)數(shù)表示出來(lái)．比如說(shuō)兩數(shù)的最大公約數(shù)是12，那么這兩個(gè)數(shù)都是12的倍數(shù)，可以設(shè)為12a和12b，而且a和b互質(zhì)．那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、和、差以及乘積就都可以用a和b表示出來(lái)了．例題2．兩個(gè)小于150的自然數(shù)的乘積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個(gè)數(shù)．「分析」可以設(shè)兩個(gè)數(shù)分別是和，且a、b互質(zhì)．練練習(xí)2兩個(gè)自然數(shù)的乘積是288，它們的最大公約數(shù)是6，求這兩個(gè)數(shù)．

例題3．兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是420，如果這兩個(gè)數(shù)相差18，那么較小的數(shù)是多少？「分析」兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是6，我們可以假設(shè)這兩個(gè)數(shù)是，，它們的最小公倍數(shù)是，那么可知等于420．那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障呢？練練習(xí)3兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是10，最小公倍數(shù)是300，如果這兩個(gè)數(shù)相差70，那么較小的數(shù)是多少？約數(shù)與倍數(shù)的問(wèn)題，最重要的就是分析清楚數(shù)的構(gòu)成，最常用的方法就是分解質(zhì)因數(shù)，由此同學(xué)們可以看出分解質(zhì)因數(shù)在數(shù)論問(wèn)題中是多么的重要．例題4．甲、乙兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是126．請(qǐng)問(wèn)：甲數(shù)是多少？「分析」這道題只告訴了三個(gè)數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，能否通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)，然后比較它們質(zhì)因數(shù)的構(gòu)成來(lái)求解呢？練練習(xí)4三個(gè)正整數(shù)a、b、c，已知a與b，a與c，b與c的最小公倍數(shù)分別是525，28和300．那么a的值是多少？例題5．有4個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是1111．它們的最大公約數(shù)最大是多少？「分析」這4個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和1111有什么關(guān)系呢？根據(jù)前面的題目可知，幾個(gè)數(shù)的和，一定是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的倍數(shù)．那么最大公約數(shù)可能是多少？

之前在學(xué)習(xí)約數(shù)的時(shí)候，我們學(xué)習(xí)過(guò)如果知道約數(shù)個(gè)數(shù)怎么去反求原數(shù)．有些題目里面，利用約數(shù)個(gè)數(shù)反求原數(shù)和利用公約數(shù)公倍數(shù)反求原數(shù)都會(huì)用到．例題6．甲、乙是兩個(gè)不同的自然數(shù)．它們都只含有質(zhì)因數(shù)2和3，并且都有12個(gè)約數(shù)．它們的最大公約數(shù)是12．請(qǐng)問(wèn)：甲、乙兩數(shù)之和是多少？「分析」甲、乙只含有質(zhì)因數(shù)2和3，且它們都是12的倍數(shù)，所以都是的形式．并且它們都有12個(gè)約數(shù)，由約數(shù)個(gè)數(shù)公式可得．所以要把12拆成兩個(gè)大于1的數(shù)相乘，這只能是或．我們可以把這樣的數(shù)都寫(xiě)出來(lái)，從中選取符合題目要求的數(shù)．

親和數(shù)你能看出220和284之間有什么關(guān)系嗎？大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的回答是：220的約數(shù)除本身外為1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它們的和為284；而284的約數(shù)除本身外為1，2，4，71，142，它們的和為220。這兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)的所有約數(shù)之和等于另一個(gè)數(shù)，我們稱之為親和數(shù)。這對(duì)特殊的數(shù)還帶著神秘的色彩。很多人相信，刻著這兩個(gè)數(shù)字的護(hù)身符能讓佩帶它的人們永葆完美的友情。假如其中一個(gè)人受到了傷害，即使只是被針扎了一下，遠(yuǎn)在地球另一邊的伙伴也能感覺(jué)。在魔法、巫術(shù)、占星和算命等活動(dòng)中，這對(duì)數(shù)扮演著重要的角色。奇怪的是，以后再?zèng)]發(fā)現(xiàn)新的親和數(shù)。直到1636年，偉大的法國(guó)數(shù)論專家費(fèi)馬才宣布17296與18416結(jié)成另一對(duì)親和數(shù)。兩年后，法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡兒發(fā)現(xiàn)了第三對(duì)。1747年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉系統(tǒng)研究了親和數(shù)，推出了30對(duì)，然后又?jǐn)U充到60多對(duì)。今天，我們已經(jīng)知道900多對(duì)親和數(shù)，這些數(shù)對(duì)都有相同的奇偶性。如果它們是奇數(shù)對(duì)，就都是3的倍數(shù)；如果是偶數(shù)對(duì)，它們的數(shù)字總和都是9的倍數(shù)。

甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是多少？

已知兩個(gè)不成倍數(shù)關(guān)系的自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，那么這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

兩個(gè)數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公約數(shù)是8