2021年浙江省寧波市中考復(fù)習(xí)評估數(shù)學(xué)試卷（二）（解析版）

2021年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)評估試卷（二）

一.選擇題（滿分48分，每小題4分）

1.在-G，-0,1四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.1B.0C.--?D.--y/3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)實數(shù)大小比較判斷即可；

（詳解】1>0>-->->/3，

最大的數(shù)是1,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)比大小，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

2.如圖①，現(xiàn)有邊長為｝和a+方的正方形紙片各一張，長和寬分別為匕，a的長方形紙片一張,其中

a<b.把紙片I,HI按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足百=65，則

b滿足的關(guān)系式為（）

圖②

A.3b=4aB.2b=3aC.3b=5aD.b=2a

【答案】B

【解析】

【分析】用含a,b的代數(shù)式表示出St,S2,即可得出答案.

【詳解】由題意可得：S?=(a+b)2-b2-a2=2ab,S2=(b-a)a=ab-a2,

?/SI=6s2,

2ab=6(ab-a2)

2ab=6ab-6a2

b=3b-3a

3a=2b,

故選：B.

【點睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，用含a,b的代數(shù)式表示出Si,S2是解題關(guān)鍵.

3.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查了中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

4.我國北斗公司在2020年發(fā)布了一款代表國內(nèi)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最高水平的芯片，該芯片的制造工藝達(dá)到了

0.000000022米.用科學(xué)記數(shù)法表示0.000000022為()

A.22x10-10B.2.2x101°C.2.2xl0-9D.2.2xlO-8

【答案】D

【解析】

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為ax10-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不

同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：0.000000022=2.2x108.

故選：D.

【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.某幾何體分別從正面、左面、上面看到的平面圖形如圖所示，則該兒何體是（）

從TF面看從片面看從卜面看

A.圓柱B.圓錐C.長方體D.球

【答案】A

【解析】

【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

【詳解】解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體,根據(jù)俯視圖是圓可判斷出這個幾何體應(yīng)該是圓柱.

故選：A

【點睛】本題由物體的三種視圖，考查了學(xué)生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力和綜合能力.

6.我市某中學(xué)舉辦了一次以“陽光少年，我們是好伙伴”為主題的演講比賽，有9名同學(xué)參加了決賽，他們

的決賽成績各不相同，其中小輝已經(jīng)知道自己的成績，但能否進(jìn)前5名，他還必須清楚這9名同學(xué)成績的（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【解析】

【分析】9人成績的中位數(shù)是第5名的成績.參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前5名，只需要了解自己的

成績以及全部成績的中位數(shù)，比較即可.

【詳解】解：由于總共有9個人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第5名的成績是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前5

名，故應(yīng)知道自己的成績和中位數(shù).

故選：C.

【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義.反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)

計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用.

7.在下列命題中：①有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等

邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊

三角形.正確的命題有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形；三個內(nèi)角都相

等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題.

【詳解】解:①因為外角和與其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180。，已知有一個外角是120。,即是有一個內(nèi)角是60。,

有一個內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)論正確；

②兩個外角相等說明該三角形中兩個內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形

是等邊三角形.該結(jié)論錯誤；

③等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角

形.該結(jié)論錯誤；

④三個外角都相等的三角形是等邊三角形，說法正確，

正確的命題有2個，

故選：C.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問題.

8.如圖，己知在AABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分/ABC,交CD于點E,BC=5,DE=2,則^BCE

的面積等于（）

A.10B.7C.5D.4

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：如圖，過點E作EF±BC交BC于點F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE4F=2,所以^BCE

的面積等于gx3CxEE=；x5x2=5,故答案選C.

A

C

考點：角平分線的性質(zhì)；三角形的面積公式.

9.如圖，在紙上剪一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑r=l,扇形的

半徑為R,扇形的圓心角等于90。，則R的值是（）

A.R=2B.R=3C.R=4D.R=5

【答案】C

【解析】

【分析】利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，根據(jù)弧長公式計算.

【詳解】解：扇形的弧長是：絲二=w，

1802

圓的半徑r=l,則底面圓的周長是2TT,

九R

圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長則得到：——=2n,

2

R

——2,

2

即：R=4,

故選C.

【點睛】本題主要考查圓錐底面周長與展開扇形弧長關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握圓錐底面周長與展

開扇形之間關(guān)系.

10.已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（）

77l77

A.k>--B.k>-一且厚0C.k>--D.k"一且rlk，0

4444

【答案】D

【解析】

【分析】由于二次函數(shù)與x軸有交點，故二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程kx2-7x-7=0中，U>0,解不等式即

可求出k的取值范圍，由二次函數(shù)定義可知"0.

【詳解】解：有由題意知：二次函數(shù)丫=1?2-7*-7的圖象和x軸有交點，

k^Q

則《，

[49+28)1>0

Ak>--且k翔.

4

故選：D.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，不僅要熟悉二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)與判別式的關(guān)系,還要會

解不等式.

11.如圖，下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與m、n的關(guān)系是

D.M=m(n+1)

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：尋找規(guī)律:

?.?3=(2+1)xl,15=(4+1)x3,35=(6+1)x5.

???根據(jù)數(shù)的特點，上邊的數(shù)與比左邊的數(shù)大1的數(shù)的積正好等于右邊的數(shù).

.1.M=m(n+l).故選D.

12.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,點Q是AB邊上的一個動點(點Q不與點B重合)，點M,N分別

是DQ,BQ的中點，則線段MN=()

C.3D.6

【答案】A

【解析】

【分析】連接BD,MN為4BDQ中位線，根據(jù)中位線定理求解即可.

【詳解】連接5。，如圖，

?..四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=6,

?*-BD=siAB2+AD2=60，

當(dāng)點。在AB邊上運(yùn)動時（點。不與點8重合），MN一直是AQO5的中位線,

則線段MN=LBD=3A.

2

故選A.

【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，求出BD=6應(yīng)是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題（滿分24分，每小題4分）

13.化簡：a+l+a(a+1)+a(a+1)2+...+a(a+1)"=.

【答案】(a+1)1M.

【解析】

【分析】原式提取公因式，計算即可得到結(jié)果.

【詳解】原式=(a+1)[1+a+a(a+1)+a(a+1)2+...+a(a+1)98J,

=(a+1)2[l+a+a(a+1)+a(a+1)2+...+a(a+1)97],

=(a+1)3[1+a+a(a+1)+a(a+1)2+...+a(a+I)96],

=(a+1)10°.

故答案：(a+1)100.

【點睛】考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵.

2x-5<0

14.關(guān)于X的不等式組《八無整數(shù)解，則4的取值范圍為

x-a>Q

【答案】心2.

【解析】

【分析】先求出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組無整數(shù)解列出關(guān)于a的不等式求解即可

5

X<一

【詳解】解：不等式組整理得：J2

[x>a

不等式組的解集是：?<%<-,

2

當(dāng)生工時，不等式組無解，

2

???不等式組無整數(shù)解，

a>2

故答案為：a>2.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握確定不等式組解集的方法.

15.已知x為實數(shù)，且滿足(d+3x)2+2C?+3x)-3=0,那么f+3x=

【答案】3

【解析】

【分析】設(shè)X2+3X=)，，方程變形后，得到關(guān)于y的一元二次方程，即可計算出y的值，即可確定/+3x.

【詳解】解：設(shè)N+3x=y,

方程變形得:y2+2y-3=0,即(y-l)(y+3)=0,

解得yi=l>y2=-3.即jfi+3x=1或x2+3x=-3.

▽??-(3丫9、9

又?x+3x-x----2----->

I2J44

.*.x2+3x=1.

故答案為I.

【點睛】掌握整體思想，會用換元法和因式分解法求解一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵，但是得注意N+3X

的取值范圍.

16.如圖，一樓房AB后有一假山，其斜面坡度為i=l：石(斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的

比)，山坡坡面上點E處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米,

小麗從樓房頂測得E點的俯角為45。，則樓房AB的高為米.

【解析】

【分析】過點E作歷，BC的延長線于REHLAB于點H,解直角三角形即可求解.

【詳解】解：過點E作3c的延長線于F,于點H,

EF1

—lanZECF,

尸=30°,

，EF=；CE=10米，CF=10Q米，

.?.BZ/MEFUIO米，HE=BF=BC+CF=(25+106)(米)，

在RSAHE中，"：ZHAE=45°,

：.AH=HE=(25+1073)(米)，

；.AB=AH+HB=(35+1073)(米).

答：樓房AB的高為(35+1073)米，

故答案為：(35+loQ).

【點睛】本題考查r解直角三角形的應(yīng)用，涉及俯角及坡度的知識，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，O4BCC的兩邊AB、8c分別切。。于點A、C,若NB=50。，則/D4E=

【解析】

【分析】連接OA、0C,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得NOAB=/OC8=90°,再利用四邊形內(nèi)角和計算出/AOC

=130。，則利用圓周角定理得到NAEC=65°,接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NO=50°,然后利用三

角形外角性質(zhì)計算/D4E的度數(shù).

【詳解】解：連接OA、OC,如圖，

8c分別切。。于點A、C,

.'.OA1AB,OC1BC,

/OAB=NOCB=90。，

，NAOC=180。-ZB=180°-50°=130°,

NAEC=-NAOC=65。，

2

,/四邊形ABCD為平行四邊形，

.".ZD=ZB=50°,

ZAEC^ZDAE+ZD,

NZME=65°-50°=15°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑,

構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì).

18.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，反比例函數(shù)產(chǎn)一(k>0)的圖象上有兩點4,B(點A在8上

x

方)，直線A8的解析式為y=?x+18.在第一象限內(nèi)有一點C(8,12),NAC8=90。，若△A8C和△A3。

的面積相等.則攵的值為.

一，,84-528

【答案】一或一.

513

【解析】

【分析】分當(dāng)點C和。在AB的兩側(cè)和同側(cè)兩種情形分別求解即可.

【詳解】解:分兩種情形討論:

(1)當(dāng)點C和。在A8的兩側(cè)時，如圖1中，過點C作CELAB于E,連接0C交A8于F.設(shè)直線A8交

軸于點M,交x軸于點N,取4B的中點G,連接CG.過。作OOLAB于點力.

圖1

V5AABC=yS&ABO^?AB?OD,且△ABC和AAB。的面積相等,

：.CE=OD

'：NFEC=/尸。。=90°,NEFC=ZDFO,

:.△EFgXDFO(AAS),

：.CF=OF,

?：0(0,0),C(8,12),

：.F(4,6),

直線AB的解析式為y=Kr+18,

：.k'=-3,

直線4B的解析式為y=-3x+18,

：.M(0,18),N(6,0),

?；G是AB的中點，

:.GA=GB,

'：AM=BN,

(這個一般結(jié)論的證明如下：構(gòu)造如圖所示的圖形，四邊形PQOH是矩形,

■:PQ//OM,,

bn

mc

,:PH〃ON,,

Id

「s-kzic-k

如圖，?.?(其中S是矩形PQO”的面積),

akbk

：.G(3,9),

VZACB=90°,GA=GCf

：.CG=AGf

設(shè)A(機(jī)，-3/ZZ+18),則有(/n-3)2+(-3m+18-9)2=(8-3)2+(12-9)2,

解得“=3-姬或3+叵

(舍棄),

55

當(dāng)m=3-避5時,慶

-3機(jī)+18=3(3+2■),

55

：.k=(3-)x3(3+2^1)84

55T

(2)當(dāng)點C和點。在A8的同側(cè)時，如圖2中，由題意可得。C〃A8,

?：C(8,12),直線AB：y=>x=18,

3

/.直線AB的解析式為y=萬x+18,

：.M(0,18),TV(-12,0),

,:GA=GB,AM=BN,

:.GM=GN,

：.G(-6,9),

VZACB=90°,GA=GB,

；.AG=CG,

33

設(shè)A(tn,—m+18),則有(w+6)2+(—m+18-9)2=(8+6)2+(12-9)2,

22

/腐干//820/小云、

解得團(tuán)=-6+J---或-6-J----(舍棄)，

V13V13

弘正、,844528

..%的值為—或-,

513

故答案為為或；丁.

513

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程等知識，掌握運(yùn)用分類討論的思

想解決實際問題成為解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共78分）

19.解答下列各題:

(1)計算：2sin60o+|V3-2|-f^j+(2020-73)°.

(2)解方程：衛(wèi);一1=，一.

x—33-x

【答案】(1)1；(2)x=—4

【解析】

【分析】(1)原式利用特殊角三角函數(shù)、絕對值的代數(shù)意義、負(fù)指數(shù)事法則以及0指數(shù)基的運(yùn)算法則分

別化簡，即可得到結(jié)果；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，檢驗后即可得到分式方程的解的結(jié)

果.

【詳解】解：(1)原式=2x+2--2+1=1；

2

去分母得：2%-(1-3)=-1,

去括號得：2x-x+3=—l,

解得：尤=一4,

經(jīng)檢驗尤=-4是分式方程的解.

【點睛】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算和解分式方程，實數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵是掌握各運(yùn)算類型的法則，解分式方程時

把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，且一定注意要驗根.

20.圖1是由六個全等且邊長為2的小正五邊形，以及五個全等且頂角為36。、腰長為2的等腰三角形鑲嵌

而成的一個大正五邊形，正五邊形和等腰三角形的頂點稱為格點，連接格點而成的三角形稱為格點三角

形.在圖2的三個圖中，分別畫出一個與圖中已知AABC相似但不全等的格點三角形，并注明三角形的頂

點字母.

圖1圖2

【答案】見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可完成畫圖.圖①中，/EDF=/BAC=36。，DE=DF,

AB=AC；圖②中，GH〃AB,HQ〃BC；圖③中，ZBAC=108°,AB=AC.

【詳解】解：如圖，ADEF,AGHQ,AMNP即為所求.

DT

圖1圖2圖3

圖①中，?.?每個小五邊形都是正五邊形，

，ZERD=ZRDO=ZDOF=108°,ZRDE=ZODF=36°,

.?.NEDF=NBAC=36。，

：DE=DF,AB=AC,

.DEDF

△DEF^AABC,

故ADEF即為所求；

圖②中，根據(jù)題意，得GQ〃AC,GH〃AB,HQ/7BC；

/QGH=/CAB,/GQH=/ACB,且GQwAC,

則AABC和AGHQ相似但不全等，故圖2中^GFIQ即為所求；

圖③中，根據(jù)題意，得，SB=XA,SA=XC,ZASB=ZCXA=108°,

.'.△ASB^ACXA,

.\ZABS=ZCAX,AB=CA,

ZBSA+ZCAX=72°,

AZBAC=108°,

：MN=MP,ZPMN=108°,,

.MNMP

△MNP^-AABC,

故AMNP即為所求.

【點睛】本題考查了正多邊形的鑲嵌問題，三角形的相似判定，等腰三角形的性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，熟

練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.語文教研組為了解我校學(xué)生每天課外閱讀所用的時間情況，從我校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問

卷調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖不完整的頻數(shù)分布直方圖.

每天課外閱讀時間〃？頻數(shù)頻率

0<z<0.524

0.5<Z<l360.3

l<r<1.50.4

1.5<z<212b

合計a1

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)表中。=,b=

(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)我校有學(xué)生4800人，請估計我校學(xué)生每天課外閱讀時間超過1小時的人數(shù).

【答案】(1)120,0.1；(2)補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖見解析；(3)我校學(xué)生每天課外閱讀時間超過1小時的

有2400人.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)0.5<fWl的頻數(shù)和頻率，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)，然后即可計算出a和b的值；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出的頻數(shù)，然后即可將頻數(shù)分布直方

圖補(bǔ)充完整；

(3)根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出我校學(xué)生每天課外閱讀時間超過1小時的人數(shù).

【詳解】解：(1)a=36+0.3=120,6=12+120=0.1,

故答案為：120,0.1；

(2)的頻數(shù)為：120X0.4=48,

補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示;

(3)4800X(0.4+0.1)=2400(人)，

即我校學(xué)生每天課外閱讀時間超過1小時的有2400人.

【點睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

22.如圖，在。ABCD中，BC=2AB=4,點E,F分別是BC,AD的中點.

(1)求證：ZXABEgACDF；

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積.

【答案】(1)見試題解析；(2)26

【解析】

【分析】(1)由oABCD可得AB=CD,BC=AD,NABC=/CDA,再結(jié)合點E、F分別是BC、AD的中點

即可證得結(jié)論：

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時，可得△ABE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】：在ciABCD中，AB=CD,

，BC=AD,ZABC=ZCDA.

XVBE=EC=—BC,AF=DF=—AD,

22

；.BE=DF.

/.△ABE^ACDF.

(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時，△ABE為等邊三角形，

四邊形ABCD的高為，

，菱形AECF的面積為2也.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的對邊平

行且相等，對角相等；菱形的四條邊相等.

23.某商店經(jīng)營一種小商品，進(jìn)價為40元，據(jù)市場調(diào)查，銷售價是60元時，平均每天銷售量是300件，而

銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出20件.

⑴假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種小商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)產(chǎn)-20/+100.什6000；(2)每件小商品銷售價是2.5元時，商店每天銷售這種小商品的利潤

最大，最大利潤是6125元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)總利潤=(實際售價-進(jìn)價)X銷售量，即可得函數(shù)解析式；

(2)將(1)中函數(shù)解析式配方即可得最值情況.

【詳解】(1)依題意有：尸(60-X-40)(300+20x)=-20A-2+100X+6000；

(2)Vy=-20A2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125；

?；a=-20<0,.?.當(dāng)A2.5時y取最大值，最大值是6125,即降價2.5元時利潤最大，，每件小商品銷售價

是2.5元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是6125元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

13

24.已知拋物線G的解析式為)，=一/+一》+2,拋物線與x軸交于4,8兩點(A在B在左邊)與y軸于C

-42

點.

(1)求點A、B、C的坐標(biāo)；

(2)將拋物線Ci平移得到拋物線C2,且C2經(jīng)過G上一點尸(2,小)。2交丫軸于。，當(dāng)P。與y軸相交所

成的銳角為45。時，求C2的解析式；

(3)將拋物線G沿直線8c平移，與射線AC僅有一個公共點，求拋物線頂點橫坐標(biāo)的取值或取值范圍.

1311

【答案】解：(1)A(-4,0),8(-2,0),C(0,2)；(2)拋物線C2為y=—/--x+8或y=—/+不.什4；

4242

(3)滿足條件的拋物線橫坐標(biāo)W為x,貝Ix=-1或-9Wx<-3.

【解析】

【分析】(1)令x=0求出y,可得C點的坐標(biāo)，令y=0求出x,可得A、B點的坐標(biāo)；

(2)先求出P點坐標(biāo)，再根據(jù)PQ與y軸相交所成銳角為45。，可得Q點的坐標(biāo)，設(shè)平移后的拋物線Cz

為：y=~x2+bx+c,代入P、Q點的坐標(biāo)即可求解；

4

(3)分兩種情況：①拋物線沿直線向上平移時，列出方程組根據(jù)A=0求解；②拋物線沿直線2C向下

平移時，求出拋物線經(jīng)過點A(-4,0)時頂點的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖像可解.

1,3

【詳解】解：(1)當(dāng)y=0時，1r+/X+2=0解得xi=-2,xi--4,

故A(-4,0),8(-2,0),

當(dāng)x=0時，y—2,故C(0,2).

(2)設(shè)平移后的拋物線Q為：y=-x2+bx+c.

4

Vx=2

—x2-4—x2+2=6,

42

：.P(2,6),

???尸。與y軸的夾角為45。，

：.Q\(0,8),。2(0,4),

1c=8

①將尸(2,6),Q\(0,8)代入y=—工2+加+。得《,

“4[1+2。+。=6

[.3

b=——

???<2,

。二8

13

?二拋物線C2為y=IN--x+8.

1fc=4

②將P(2,6),Qi(0,4)代入>=一/+云+。得〈,

4[l+2/?+c=6

???拋物線C2為y=%+gx+4.

(3)由題意可知直線AC為：y=-x+2,直線BC為：y=x+\,

2

131

?..拋物線沿直線BC平移，拋物線>=一/+—x+2的頂點為（-3,-

424

可以設(shè)平移后拋物線為y=L（x+3-M2+m-

'44

1c

>=于+2

Im'\1

①由，消去y得一N+(1-—)1+—初2一—m=0,

y=；(x+3―/")21'4242

I+m~—

ni121、

由題意：△=0,(I--)2-4x—x—m~—m=0,解得帆=2,

2442J

17

此時拋物線為），=一（X+1）2+一,

44

，拋物線頂點的橫坐標(biāo)為-1.

②由圖象可知將拋物線G沿直線BC向下平移拋物線與射線AC也只有一個交點，當(dāng)拋物線經(jīng)過點4（-4,

0）時，

—（-m-1）-+m--=0,解得m=-6（或0舍棄）,

44

,.,〃1=-6時，頂點的橫坐標(biāo)是-9

；?平移后的拋物線頂點的橫坐標(biāo)為x,則-9<x<-3.

綜上所述滿足條件的拋物線橫坐標(biāo)卬為x,則x=-I或-9q<-3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及圖像的平移，解題的關(guān)鍵利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程或方

程組并求解.

25.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).如圖（1）,已知四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點

O,點M是BC邊的中點，過點M作ME〃AC交BD于點E,作MF〃BD交AC于點F.我們稱四邊形0EMF

為四邊形ABCD的“伴隨四邊形”.

圖⑵

（1）若四邊形ABCD是菱形，則其“伴隨四邊形”是,若四邊形ABCD矩形，則其“伴隨四邊形”是:

（在橫線上填特殊平行四邊形的名稱）

（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是矩形，M是BC延長線上的一個動點，其他條件不變，點F落在AC的

延長線上，請寫出線段OB、ME,MF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）矩形；菱形

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE=MF,得至ijOB+MF=BE,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到

EB=EM,證明結(jié)論.

【詳解】（1）如圖1,：ME〃AC,MF〃BD,

四邊形OEMF是平行四邊形，

???四邊形ABCD是菱形，

；.AC_LBD,

.".ZBOC=90°,

四邊形OEMF是矩形；

如圖2,：ME〃AC,MF〃BD,

四邊形OEMF是平行四邊形，

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.OB=OC,

?；M是BC邊的中點，

.".ME=—OC,MF=—OB,

22

AME=MF,

.,?四邊形OEMF是菱?形；

故答案為矩形；菱形.

(2)VME/ZAC,MF〃BD,

???四邊形OEMF是平行四邊形，

???OE=MF,

JOB+MF=OB+OE=BE,

???四邊形ABCD是矩形，

.\ZOBC=ZOCB,

?.?ME〃AC,

AZEMB=ZOCB,

AZEBM=ZEMB,

???EB=EM,

???EM=OB+MF