正弦定理和余弦定理課件

1本章內(nèi)容2正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例第一章 小結(jié)1.1

正弦定理和余弦定理正弦定理(第一課時(shí))正弦定理(第二課時(shí))余弦定理3第一課時(shí)返回目4錄它描述三角形邊與角怎樣1.

什么是正弦定理,的等量關(guān)系?2.

一個(gè)三角形中有哪些元素?

已知哪些元素時(shí),

用正弦定理可求其他元素?5問(wèn)題1:

如圖,

在

Rt△ABC

中,樣表示sinA,

sinB?

能用

a

與

sinA,與

sinC表示邊

c嗎?用邊a,

b, c怎b與sinB,

cACa

Bbc由這三個(gè)式子可得:這就是解三角形需要的一個(gè)重要定理——正弦定理.對(duì)銳角三角形和鈍角三角形是否成立?1.1.1

正弦定理嗎6ACabcBh思考:

在如圖的三角形中,bsinC等于哪一條邊,

csinB

呢?考慮作BC邊的高,則

c

sinB=

h,

b

sinC=

h,∴c

sinB

=

b

sinC,同理,

作AB邊的高,

可證得鈍角三角形是如何?請(qǐng)同學(xué)們證明.將右等式變?yōu)榉e的形式:7ABCabchc

sinB=

h,b

sin(180o?C)

=

h,∵

sin(180o?C)

=

sinC,∴

b

sinC=

h,∴

csinB

=

bsinC,各邊和它所對(duì)角正弦定理:

在一個(gè)三角形中,的正弦的比相等,

即8例(補(bǔ)充1).

在△ABC中,

已知

c=10,

A=45o,C=30o,

求b(保留兩個(gè)有效數(shù)字).解:又B=180o?A?C

=180o?45o?30o

=105o,≈

19.請(qǐng)問(wèn):

本題是已知什么?

求什么?已知兩角和一邊,

求另外的邊.9例(補(bǔ)充2).

在△ABC中,

已知a=

20,b=

28,A=40o,

求B(精確到1o).解:=

0.899,得B

=64°或116°.當(dāng)B

=

64°

時(shí),

C

=180°?40°?64°=

76°,當(dāng)B

=

116°

時(shí),

C

=180°?40°?116°

=

24°.10請(qǐng)問(wèn):

本題是已知什么?已知兩邊和一邊所對(duì)的角,求什么?求另外的角.一般地,11把三角形的三個(gè)角A、B、C

和它們的已知三角形的三個(gè)求其他元素的過(guò)程對(duì)邊a、b、c

叫做三角形的元素,元素(其中至少有一個(gè)元素是邊),叫做解三角形.問(wèn)題2.

一個(gè)三角形有幾個(gè)元素?

已知怎樣的幾個(gè)元素可以用正弦定理解三角形?一個(gè)三角形有六個(gè)元素,

已知三個(gè)元素:已知兩角和一邊;已知兩邊和一邊所對(duì)的角.已知這兩種情況的三個(gè)元素,

即可用正弦定理解三角形.例1.

在△ABC中,

已知A=

32.0°,

B=

81.8°,a=42.9cm,

解三角形.分析:

已知兩角和一邊,

即可用正弦定理解三角形.由三角形內(nèi)角和求出第三個(gè)角,即可用正弦定理求另外兩邊.ABC32.0°81.8°42.912例1.

在△ABC中,

已知A=

32.0°,

B=

81.8°,

a=42.9cm,

解三角形.解:

C=180°?(A+B)

=

66.2°,由正弦定理得≈80.1(cm);同理,≈74.1(cm).BCA

32.0°81.8°42.913例2.

在△ABC中,

已知a=

20cm,

b=

28cm,A=

40°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm).BCA40°201428分析:

已知兩邊及一邊所對(duì)的角,可用正弦定理首先求另一邊所對(duì)的角,然后再求第三個(gè)角和第三邊.例2.

在△ABC中,

已知a=

20cm,

b=

28cm,A=

40°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm).解:由正弦定理得,BCA40°2028≈0.8999,?B≈64°,

或B≈116°.(1)

當(dāng)B≈64°時(shí),C=180°?(A+B)

=76°,≈30(cm).15例2.

在△ABC中,

已知a=

20cm,

b=

28cm,A=

40°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm).解:由正弦定理得,ABC2028≈0.8999,B

40°20?B≈64°,

或B≈116°.(2)

當(dāng)B≈116°時(shí),C=180°?(A+B)

=24°,≈13(cm).16練習(xí):(課本4頁(yè))171.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):A=45°,A=60°,C=30°,B=45°,c=10cm;c=20cm.2.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):a=20cm,c=54cm,b=11cm,b=39cm,B=30°;C=115°.1.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):A=45°,A=60°,C=30°,B=45°,c=10cm;c=20cm.則B=180°?(A+C)=105°,由正弦定理得≈14(cm);同理,≈19(cm).18解:

(1)已知角A和C,

先求角B:1.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):A=45°,A=60°,C=30°,B=45°,c=10cm;c=20cm.則C=180°?(A+B)=75°,由正弦定理得≈18(cm);同理,解:

(2)≈15(cm).19已知角A和B,2.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):a=20cm,c=54cm,b=11cm,b=39cm,B=30°;C=115°.≈0.9091,?A≈65°,

或A≈115°.①當(dāng)A≈65°時(shí),C=180°?(A+B)

=85°,解:

(1)

由正弦定理得,≈22(cm).202.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):a=20cm,c=54cm,b=11cm,b=39cm,B=30°;C=115°.≈0.9091,?A≈65°,

或A≈115°.②當(dāng)A≈115°時(shí),C=180°?(A+B)

=35°,解:

(1)

由正弦定理得,≈13(cm).212.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):a=20cm,c=54cm,b=11cm,b=39cm,B=30°;C=115°.≈0.6546,?B≈41°,

或B≈139°.①當(dāng)B≈41°時(shí),A=180°?(B+C)

=24°,≈24(cm).22解:

(2)

由正弦定理得,2.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):a=20cm,c=54cm,b=11cm,b=39cm,B=30°;C=115°.≈0.6546,?B≈41°,

或B≈139°.②當(dāng)B≈139°時(shí),解:

(2)

由正弦定理得,B+C=139°+115°=254°>180°,不合題意∴此題只有一組解.用正弦定理要注意解的檢驗(yàn).23【課時(shí)小結(jié)】1.

正弦定理24【課時(shí)小結(jié)】正弦定理解三角形已知兩邊和一邊所對(duì)的角如:

已知a、b、A,

即可求B.已知兩角和一邊①已知兩角即可求第三個(gè)角.②

用已知邊及對(duì)角,

求另一個(gè)角的對(duì)邊.如:

已知A、a、B,

求b.25習(xí)題1.1A組第1、2題.26習(xí)題1.1A組1.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):A=70°,A=34°,C=30°,B=56°,c

=20cm;c

=68cm.解: (1)

由正弦定理得≈38(cm),B

=180°?(A+C)

=

80°,≈39(cm).27習(xí)題1.1(課本10頁(yè))A組1.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):A=70°,A=34°,C=30°,B=56°,c

=20cm;c

=68cm.解: (2)

C

=180°?(A+B)

=

90°,a=csinA=68×sin34°≈38(cm),b=csinB=68×sin56°≈56(cm).ABC282.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(1)

由正弦定理得≈0.6773,得

B≈43°,

或

B≈137°;①當(dāng)B=43°時(shí),A=180°?(B+C)=114°,≈35(cm).292.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(1)

由正弦定理得≈0.6773,得

B≈43°,

或

B≈137°;②當(dāng)B=137°時(shí),A=180°?(B+C)=20°,≈13(cm).302.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(2)

由正弦定理得≈0.5774,得

B≈35°,

或

B≈145°;①當(dāng)B=35°時(shí),C=180°?(A+B)=85°,≈17(cm).312.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(2)

由正弦定理得≈0.5774,得

B≈35°,

或

B≈145°;32不合題意,②當(dāng)B=145°時(shí),A+B=205°

>180°,∴此題只有一組解.2.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(3)

由正弦定理得≈0.8452,得

B≈58°,

或

B≈122°;①當(dāng)B=58°時(shí),A=180°?(B+C)=97°,≈47(cm).332.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1cm):b=26

cm,

c

=15cm,

C=23°;a=15

cm,

b

=10cm,

A=60°;b=40

cm,

c

=20cm,

C=25°.解:(3)

由正弦定理得≈0.8452,得

B≈58°,

或

B≈122°;②當(dāng)B=122°時(shí),A=180°?(B+C)=33°,≈26(cm).34第二課時(shí)返回目35錄1.

不解三角形,

怎樣判定三角形解的個(gè)數(shù)?2.

正弦定理與三角形外接圓有什么關(guān)系?36BabACh已知△ABC的邊

a,

b和角B(如圖),BA

邊上的高

h=asinB

是一個(gè)定值.(1)

當(dāng)b<h時(shí),

不能構(gòu)成△(如圖),△無(wú)解;(2)當(dāng)b=h時(shí),

只有

Rt△一種情況,

△只有一解;當(dāng)h<b<a時(shí),

能構(gòu)成兩種情況,

△有兩解;當(dāng)b=a時(shí),

又只等腰△一種情況,

△只有一解;當(dāng)b>a時(shí),

也只有一種情況,

△只有一解.bbbbb(一)三角形解的討論已知兩邊和一邊所對(duì)的角,

討論解的情況.A37aCb<asinB(1)

b<asinB

時(shí),

無(wú)解.aBBCb=asinB(2)

b=asinB

時(shí),

一解.AaBACasinB<b<aA(3)

asinB<b<a

時(shí),

兩解.AaBCb≥a38(4)b≥a時(shí),

一解.例(補(bǔ)充1).

在△ABC

中,

已知

a=15,

b=10,a=15>bb=10ACD3960°BA=60°.

試判斷三角形解的個(gè)數(shù).解:

如圖,a=15>b=10,∴三角形只有一解.已知b=40,c=30,C=30°.練習(xí).

在△ABC

中,試判斷三角形解的個(gè)數(shù).c=30b=40CB140bsinC=40sin30°=20.bsinC<c<b.∴三角形有兩解.30°B2解:

如圖,b=40,

c=30.A20畫(huà)圖:①任畫(huà)一個(gè)斜三角形ABC;②畫(huà)這個(gè)三角形的外接圓;③以三角形的一條邊AB和圓的直徑AD構(gòu)造一個(gè)三角形.ABCD問(wèn)題: (1)

△ABC

中正弦定理的比值與△ABD

中正弦定理的比值有什么關(guān)系?在△ABD

中,

正弦定理的比值等于哪條線(xiàn)段?你能得到正弦定理的一個(gè)什么結(jié)論?·41(二)正弦定理與三角形外接圓問(wèn)題: (1)

△ABC

中正弦定理的比值與△ABD

中正弦定理的比值有什么關(guān)系?(2)

在△ABD

中,

正弦定理的比值等于哪條線(xiàn)段?(3)你能得到正弦定理的ABCD·一個(gè)什么結(jié)論?在△ABC

中,在△ABD

中,①②∵C=D,

?

①

=

②.又sin∠ABD=1,于是猜測(cè)結(jié)論:42ABCD·在△ABC

中,(R

是△ABC

外接圓半徑).43例(補(bǔ)充2).

在△ABC中,

已知6sinA=4sinB=3sinC,AB=4,

求三角形另外兩邊的長(zhǎng).分析:

目標(biāo):

求邊長(zhǎng).已知:

一邊長(zhǎng),

三個(gè)角的正弦關(guān)系.思考:

是否能將三角關(guān)系轉(zhuǎn)換成邊關(guān)系?聯(lián)想:借助2R作為聯(lián)系紐帶,

將角的三角函數(shù)關(guān)系變?yōu)檫叺年P(guān)系.44例(補(bǔ)充2).

在△ABC中,

已知6sinA=4sinB=3sinC,AB=4,

求三角形另外兩邊的長(zhǎng).解:代入6sinA=4sinB=3sinC

得即得6a=4b=3c.∵c=AB=4,∴得

a=2,

b=3.45練習(xí):

在△ABC中,

已知試求角C的大小.解:

由得∵a=2RsinA,

b=2RsinB,代入上式整理得sinA+sinB=cosA+cosB.sinA?cosA=

?sinB+cosB.在三角形中只有得∴角C=90°46【課時(shí)小結(jié)】三角形解的判定b<asinB

時(shí),

無(wú)解.b=asinB

時(shí),

一解.asinB<b<a

時(shí),

兩解.b≥a時(shí),

一解.正弦定理與三角形外接圓(R

是△ABC

外接圓半徑).47習(xí)題1.1B組48第1、2題.ABCb1.

證明:

設(shè)三角形的外接圓半徑是R,

則a=2RsinA,

b=2RsinB,

c=2RsinC.A′A′B=2R,49則在Rt△A′BC中,∠BA′C=∠BAC,∵a=A′Bsin∠A′,∴a=2RsinA.同理可證b=2RsinB,

c=2RsinC.證明:

如圖, (1)

當(dāng)AB是直徑時(shí),即可得

a=2RsinA.(2)

當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí),過(guò)B作圓的直徑A′B,c·aABCb1.

證明:

設(shè)三角形的外接圓半徑是R,

則c=2RsinC.A′則在Rt△A′BC中,A′B=2R,其它同理可證.結(jié)論:ABbcCA′50a=2RsinA,

b=2RsinB,證明:

如圖, (1)

當(dāng)AB是直徑時(shí),即可得

a=2RsinA.(3)

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),過(guò)B作圓的直徑A′B,∠BA′C=180°?∠BAC,∵a=A′Bsin∠A′=A′Bsin(180°?A)=2RsinA.c·a·a2.

在△ABC中,

如果有性質(zhì)

acosA=bcosB,

試問(wèn)這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn)?51解:

∵a=2RsinA,

b=2RsinB,代入題設(shè)條件得2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sinAcosA=sinBcosB,得sin2A=sin2B,得2A=2B,

或

2A=180°?2B,得A=B,

或A+B=90°,∴三角形是等腰三角形或直角三角形.返回目52錄它描述三角形邊與角怎樣1.

什么是余弦定理,的等量關(guān)系?用余弦定理2.

已知一個(gè)三角形的哪些元素時(shí),可求其他元素?53a問(wèn)題1:

在三角形中,

已知兩角和一邊或邊邊角,可用正弦定理解三角形.

那么已知邊角邊或邊邊邊時(shí),能用正弦定理解三角形嗎?需要另一個(gè)要解已知邊角邊或邊邊邊的三角形,解三角形的定理——余弦定理.如圖,

在△ABC中,

已知邊b、c及夾角A,如何求邊a?ABCbcAC

AB=

b2?2bc

cosA+c2.請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出:b2=

?

c2=

?54這一組是求邊的;余弦定理:

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.a2

=

b2+c2?2bc

cosAb2

=

c2+a2?2ca

cosBc2

=

a2+b2?2ab

cosC請(qǐng)同學(xué)們將上邊的式子用邊表示角.推論:這一組是求角的.余弦定理可解決邊角邊、邊邊邊的三角形問(wèn)題.55例(補(bǔ)充1).

在△ABC中,

已知a=7,

b=10,c=6,求A、B和C(精確到1°).解:

=

0.725,∴A≈44o.=

?0.1786,∴B≈100°.于是C

=180°?44°?100°=36°.此題是已知什么?

求什么?已知三邊,用余弦定理求角.56例(補(bǔ)充2).

在△ABC中,

已知

a=

2.730,

b

=3.696,

C=82°28′,

解這個(gè)三角形(邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字,

角度精確到1′).解:

∵c2

=

a2+b2?2ab

cosC=

2.7302+3.6962?2×2.730×3.696

cos82°28′≈18.47,∴c

=

4.297,查得A=

39°2′,

或A=140°58′

,

(不合題意)則B

=180°?39°2′?82°28′=58°30′.∴得

A=39°2′,

B=58°30′,

c=4.297.此題怎樣解可避免角的討論?可用余弦定理求角.=

0.6298,57例(補(bǔ)充2).

在△ABC中,

已知

a=

2.730,

b

=3.696,

C=

82°28′,

解這個(gè)三角形

(邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字,

角度精確到1′).解:

∵c2

=

a2+b2?2ab

cosC=

2.7302+3.6962?2×2.730×3.696

cos82°28′≈18.47,∴c

=

4.297,≈

0.7767,得A=39°2′,則B

=180°?39°2′?82°28′=58°30′.此題已知什么?

求什么?已知兩邊及夾角,用余弦定理先求邊.58例3.

在△ABC中,

已知b=

60cm,

c=

34cm,59A=41°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1

cm).分析:

此題已知兩邊及夾角,則用余弦定理的求邊公式先求夾角的對(duì)邊.例3.

在△ABC中,

已知b=

60cm,

c=

34cm,A=41°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1

cm).得解:

a2=b2+c2?2bccosA=602+342?2×60×34×cos41°≈1676.82,a≈41(cm).又由正弦定理得≈0.9601,得

B≈74°,

或

B≈106°.①

當(dāng)B

=

74°時(shí),

C=

65°.②

當(dāng)B

=

106°時(shí),

C=

33°.問(wèn)題:此題的解有什么錯(cuò)誤嗎?課本中先求角C有什么好處?A=41°,

B=74°,

C=65°a=41,

b=60,

c=34A,

C不合大角對(duì)大邊.答案①:60例3.

在△ABC中,

已知b=

60cm,

c=

34cm,A=41°,

解三角形(角度精確到1°,

邊長(zhǎng)精確到1

cm).得解:

a2=b2+c2?2bccosA=602+342?2×60×34×cos41°≈1676.82,a≈41(cm).法二,

用余弦定理求角:≈?0.2737,61得則B≈106°.C=180°?

(A+B)

=

33°.(用余弦定理避免了討論)例4.

在△ABC中,

已知a=

134.6cm,

b=

87.862cm,

c

=161.7

cm,

解三角形

(角度精確到1′).分析:

此題已知三邊,則可用余弦定理的推論,

即求角的一組公式.例4.

在△ABC中,

已知a=

134.6cm,

b=

87.8cm,

c

=161.7

cm,

解三角形(角度精確到1′).解:≈0.5543,得

A≈56°20′;同理得

cosB≈0.8398,得

B≈32°53′;則

C=180°?(B+C)≈90°47′.63練習(xí):(課本第8頁(yè))641.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=2.7cm,

b=3.696cm,b=12.9cm,

c=15.4cm,C=82.2°;A=42.3°.2.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形

(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=7cm,a=9.4cm,b=10

cm,

c=6cm;b=15.9cm,

c=21.1cm.1.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=2.7

cm,

b=3.696

cm,b=12.9

cm,

c=15.4

cm,C=82.2°;A=42.3°.解:(1)≈4.3(cm);≈0.7821,得

A≈38.5°;則

B

=180°?(A+C)≈59.3°.651.

在△ABC中,

已知下列條件,

解三角形(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=2.7

cm,

b=3.696

cm,b=12.9

cm,

c=15.4

cm,C=82.2°;A=42.3°.解:(2)≈10.5(cm);≈0.5597,得

B≈56.0°;則

C

=180°?(A+B)≈81.7°.662.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=7cm,a=9.4cm,b=10

cm,

c=6cm;b=15.9cm,

c=21.1cm.解:

(1)=

0.725,得

A≈43.5°,同理得

B

≈100.3°,則

C

=

180°?(A+B)

≈36.2°.672.

在△ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.1°,

邊長(zhǎng)精確到0.1cm):a=7cm,a=9.4cm,b=10

cm,

c=6cm;b=15.9cm,

c=21.1cm.解:

(2)≈

0.9086,得

A≈24.7°,同理得

B

≈44.9°,則

C

=

180°?(A+B)

≈110.4°.68【課時(shí)小結(jié)】1.

余弦定理a2

=

b2+c2?2bc

cosA.b2

=

c2+a2?2ca

cosB.c2

=

a2+b2?2ab

cosC.69【課時(shí)小結(jié)】余弦定理解三角形已知邊角邊,

即可求角的對(duì)邊. 如:

已知a、b、C