第4章-直線與平面的相對

基本要求（一）平行問題

1．熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。（三）垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題

1．熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法；

2．能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。

第1頁/共43頁4-1直線與平面平行?兩平面平行一、直線與平面平行幾何條件若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。二、平面與平面平行幾何條件若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。第2頁/共43頁一、直線與平面平行若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行第3頁/共43頁[例題1]試判斷直線AB是否平行于定平面fg

f

g結(jié)論：直線AB不平行于定平面第4頁/共43頁[例題2]試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fbP55例4-104-11第5頁/共43頁二、兩平面平行

若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB

當(dāng)兩平行平面均垂直于投影面時,兩平面的集聚投影相互平行,反之成立.第6頁/共43頁[例題3]試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行第7頁/共43頁[例題4]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k第8頁/共43頁[例題5]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為PH平行SH，所以兩平面平行第9頁/共43頁4-2直線與平面的交點(diǎn)、兩平面的交線一、直線與平面相交只有一個交點(diǎn)二、兩平面的交線是直線三、特殊位置線面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交第10頁/共43頁一、直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BKA第11頁/共43頁M二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL第12頁/共43頁三、特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交第13頁/共43頁b

ba

acc

m

mnn

直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk

第14頁/共43頁判斷直線的可見性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。第15頁/共43頁()

求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點(diǎn)并判別其可見性。k21k'2'1'第16頁/共43頁四、一般位置平面與特殊位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性第17頁/共43頁一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf第18頁/共43頁判斷平面的可見性結(jié)果P60例4-12第19頁/共43頁五、直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見性

示意圖第20頁/共43頁1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。示意圖第21頁/共43頁ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第22頁/共43頁12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。k

k2

示意圖第23頁/共43頁CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第24頁/共43頁f

e

e直線EF與

ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

第25頁/共43頁直線EF與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見性Ⅳ第26頁/共43頁六、兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點(diǎn)的問題,

因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線

示意圖判別可見性例題6第27頁/共43頁

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．連接兩個共有點(diǎn)，畫出交線KE。示意圖第28頁/共43頁兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL第29頁/共43頁利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()1

2

第30頁/共43頁[例題6]試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。第31頁/共43頁分析過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH第32頁/共43頁作圖m

n

h

hnmPV1

12

21．過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。P62例4-13第33頁/共43頁4-3直線與平面垂直、兩平面垂直一、直線與平面垂直

幾何條件

定理1

定理2

例題7

例題8二、兩平面垂直

幾何條件例題12

例題13第34頁/共43頁直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。第35頁/共43頁定理1若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knk

n

第36頁/共43頁定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。第37頁/共43頁[例題7]平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。a

cac

n

nkk

第38頁/共43頁h

[例題8]試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。hhhh

h

（a）（c）（b）P63例4-144-15第39頁/共43頁兩平面垂直的幾何條件

若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD第40頁/共43頁

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點(diǎn)向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩